焦雄風 張獻州 蔣英豪 陳 錚 譚社會

(1.西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院,成都 611756; 2.高速鐵路運營安全空間信息技術國家地方聯合工程實驗室,成都 611756; 3.中國鐵路上海局集團有限公司,上海 200071)

1 概述

影響高速鐵路路基沉降的因素較多,建立各影響因素與形變過程之間精確的函數模型十分關鍵。已有許多學者開展相關研究,毛文飛等研究了改進的MEEMD-ARMA殘差修正組合預測模型[1];岳春芳等將RBF神經網絡組合模型應用于GPS高程擬合中[2];楊帆等研究自回歸預測模型變權組合定階方法[3]。上述研究表明,組合預測模型不論是從信息豐度還是預測效果方面都優(yōu)于單類預測模型。然而,在每一次預測計算時,需要根據往期先驗信息重新調權,會造成大量計算冗余。近年來,自適應Kalman濾波理論趨于成熟,馮磊等研究自適應Kalman濾波在高鐵沉降觀測數據處理中的應用[4];Christopher等將自適應Kalman濾波應用于INS/GPS的組合導航中[5];Akbar等基于協方差采樣提出一種自適應卡爾曼濾波模型,并驗證了該方法的有效性[6]。基于前人的研究,采用基于極大似然估計的自適應Kalman濾波算法與組合預測模型進行結合,與目前較為實用的預測模型進行比較,從擬合情況、精度評判指標等方面,探究上述自適應kalman濾波組合預測模型的可靠性。

2 單類因素預測模型構建

2.1 單類因素預測模型容量選擇

研究表明,并不是囊括越多單類因素預測模型,其組合預測模型的精度就越好[7]。相反,如果構建的單類預測模型精度不高,甚至與其他單類預測模型發(fā)生信息沖突,還會降低組合預測模型的精度。為了解決上述問題,嘗試采用包容性檢驗原理[8]來處理組合預測模型的容量選擇問題,步驟如下。

假設w1、w2為兩種不同的單類預測模型,兩者第t期的預測值為δ1,t、δ2,t,當期實際變化量為γt時,可表示為

Φ1、Φ2分別表示回歸系數,且兩者之和為1,ut為方程隨機噪聲。

上式同時減去δ1,t,有

設εi,t=γt-δi,t(i=1,2),則有

由此,組合預測模型的容量選擇問題可看作對式(3)的線性假設的顯著性檢驗, 給出假設

(3)當Φ1=0,Φ2=1時,則表示w2包容w1,即w2包含w1的信息,w1對組合預測模型沒有影響,可裁去w1;當Φ2=0,Φ1=1時,則表示w1包容w2,即w1包含w2的信息,w2對組合預測模型沒有影響,可裁去w2。

當單類預測模型推廣到n個時[9],可將其看作第i類單類預測模型和n-i個單類預測模型的集合,首先對單類預測模型進行預測精度評價,然后對其預測效果進行排序,基于上述兩種單類預測模型包容性檢驗的思想,對單類預測模型逐個檢驗,最后得到1組效果最優(yōu)的組合預測模型。

2.2 單類因素預模型定權

建立組合預測模型正確與否取決于兩大核心問題:①單類模型的正確選擇;②單類預測模型的權重。針對第二點,采用熵值法進行權重賦予。

利用熵值法對單類預測模型賦權,λit為單類預測模型相對誤差,有

αit表示t期第i類預測模型的預測相對誤差值,其取值如下

3 改進Kalman濾波

3.1 基于極大似然估計的自適應Kalman濾波

標準Kalman濾波函數模型為:

其中,xk為(n×1)初值參數矩陣;zk為(m×1)監(jiān)測參數矩陣;wk為(n×1)動態(tài)噪聲;vk為(m×1)監(jiān)測噪聲;Φk/k-1為(n×n)狀態(tài)轉移矩陣;Hk為(m×n)觀測矩陣;Bk/k-1為(n×r)控制參數的增益矩陣;uk-1為(r×1)控制參數矩陣;下標k為第k時刻在某一時刻的估值,可按如下公式遞推演算得到。

狀態(tài)值及估計協方差矩陣一步預測為

測量誤差、測量誤差協方差及最優(yōu)卡爾曼增益一步更新為

通過上述公式遞推流程,若給定初值狀態(tài)參數以及在k時刻下的觀測值Zk,就能得到在k時刻下目標狀態(tài)的一步預報值

上述標準Kalman濾波中的Q和R都為固定參數,無法隨著預測誤差的變化動態(tài)調整,有學者提出一種基于極大似然估計理論的自適應Kalman濾波[10],從系統(tǒng)測量出現概率最大的方面來預測,不但可以追蹤預測誤差變化,還可以捕捉預測誤差的協方陣變化[11]。其自適應性體現在系統(tǒng)噪聲協方差陣Q和觀測噪聲協方差陣R的實時修正[12],主要通過基于預測

式中,tr表示對矩陣求逆。由此,對Q、R的修正問題轉變?yōu)閷郸燎髮У膯栴}。

根據標準Kalman濾波基本方程,有

假設濾波處于穩(wěn)態(tài)時,狀態(tài)誤差的方差陣Pk-1理論上無限接近某常量,有

通過上述公式,可以求得α的實時估計,進而可以對Q、R進行實時修正。

3.2 噪聲協方差矩陣的幾種修正方式

(1)測量噪聲協方差矩R修正

假設系統(tǒng)噪聲協方差陣Q已知,式(20)可以簡化為

(3)噪聲協方差陣Q、R同步修正

通過上述修正方式可以看到,當對其中1個噪聲協方差陣進行調整時,必須假設另1個為已知量,即兩者必須有1個作為已知量。同步調整2個噪聲協方差陣時,若不考慮已知信息,則可能導致式(21)、式(24)不成立[15],繼而導致濾波穩(wěn)態(tài)喪失,達不到所要求的自適應性。故應慎重考慮同時對Q、R的同步修正。

4 基于極大似然估計的自適應Kalman濾波組合預測模型

4.1 組合預測模型建立

一般情況下,對同一觀測值,假設用m種單類預測模型預測,其組合預測模型為

例如某種變形量與溫度、時間因子的組合預測模型[16],有

式(29)、式(30)建立后,即可用基于極大似然估計的自適應Kalman濾波算法進行推算。

4.2 模型預測精度評價指標

引入Pearson相關系數、相關指數R2、均方根誤差RMSE[17]、平均絕對誤差MAE來進行相關性分析及模型預測精度評價,pearson能衡量兩變量之間是否存在線性相關關系,其值越接近1,表示兩者相關性越強;R2能衡量模型回歸效果,其值越接近1,表示回歸效果越顯著;RMSE能反映估值與監(jiān)測值之間的偏差,其值越小表明其模型預測精度越好;MAE能反映估值誤差的實際情況,其值越小,表明模型擬合程度越高,公式為

式中,m為觀測期數;表示模型估計值表示觀測量平均值;yi、xi表示實際觀測量。

5 實例分析

5.1 高速鐵路路基沉降監(jiān)測數據分析

(1)工程概況

某高速鐵路路基區(qū)段,長1.916km,共26個觀測斷面,每個觀測斷面在上下行各設1個路基觀測樁進行監(jiān)測,路基填筑完成時間為2018年12月31日,利用高精度水準儀及精密水準尺進行若干次的周期性重復測量,監(jiān)測內外業(yè)精度均符合相關規(guī)定。

(2) 數據分析

現對該路基的小里程段、中里程段、大里段各挑選1個觀測斷面,選取2016年6月至2019年12月對應的上行路基觀測樁 0085880L1、0086686L1、0087492L1監(jiān)測數據(共180期)進行分析,數據如圖1所示。

由圖1可知,3個斷面路基觀測樁的監(jiān)測數據都表現為逐漸沉降且趨于穩(wěn)定。

圖1 累計沉降監(jiān)測數據

路基沉降主要受外力荷載的影響,堆載預壓都會使路基隨時間發(fā)生一定程度的沉降。另外,還需要考慮荷載作用次數及地質類型等,這類參數因子難以量化,而通過路基填筑平均高度及時間的變化來建立路基沉降預測模型,可定量分析具體沉降趨勢。

5.2 單類預測模型建立

路基沉降擬合預測常用方法有雙曲線法、三點法、泊松曲線法等,這些方法均考慮以時間因子為自變量,累計沉降量為因變量,即沉降隨時間發(fā)生變化。因此,根據上述3個監(jiān)測樁的沉降趨勢,提出6種以時間因子為自變量的預測模型,有

式中,分別表示基于時間因子的模型預測值;t為以天為單位數值化的時間因子;φi表示模型回歸參數。

為篩選出最優(yōu)預測模型,以前120期的監(jiān)測數據為建模樣本,預測后一期的累計沉降量,有關精度分析情況如圖2、表1所示。

圖2 基于時間因子的單類模型預測結果及殘差

表1 精度評價指標

為判斷路基填筑平均高度與路基樁沉降是否具有強相關性,取監(jiān)測當日、前15d、前30d和前45d的路基填筑平均高度與當日路基觀測樁沉降量的pearson相關系數,如表2所示。

表2 pearson相關系數

由表2可知,該段路基填筑平均高度變化與路基樁沉降量存在強線性相關。取監(jiān)測當日、前15d、前30d、前45d的路基填筑平均高度作為自變量,預先構建線性模型,有

式中,分別表示基于路基填筑平均高度的模型預測值,μi表示回歸參數。θi表示監(jiān)測當日的前i天的路基填筑平均高度。

選擇與基于時間因子預測模型同樣的數據進行計算,結果如圖3、表3所示。

表3 精度評價指標

圖3 基于路基填筑平均高度的單類模型預測結果及殘差

確定上述單類預測模型具體參數后,利用2.1節(jié)的包容性檢驗原理對兩個單類預測模型之間的信息包含程度進行分析,取顯著性水平α=0.025,經計算,3個點0085880L1、0086686L1、0087492L1的t統(tǒng)計量分別為4.054、4.5823、4.2359,由此可見,t0.0025(58)=2.0017,原假設不成立,即單類預測模型可組合。

組合預測中的單類預測模型容量確定后,再利用熵值法對兩單類預測模型進行定權,取第前119期的兩單類預測數據作為計算數據,求得120期數據的各單類模型權值,結果如表4所示。

表4 單類模型權值分配情況

5.3 模型預測分析

當上述組合預測模型確定后,即可利用基于極大似然估計的自適應Kalman濾波進行濾波推估,取組合預測模型第120期的預測模型參數為狀態(tài)參數初值,取初始估計協方差矩陣P0為I(單位矩陣),考慮組合預測系統(tǒng)的估計誤差,采用2.3節(jié)的第二種方差調整方式進行自適應調整,系統(tǒng)噪聲協方差矩陣Q=1、觀測噪聲協方差矩陣取R=0.01,為對所提出組合預測方法性能進行客觀評價,增加基于非等間隔灰色系統(tǒng)的最優(yōu)權組合預測模型進行對比實驗,計算結果及精度評價如圖4、表5所示。

表5 精度評價指標

由圖4、表5可知,基于非等間隔灰色系統(tǒng)的最優(yōu)權組合預測模型的平均絕對誤差、均方根誤差、相關指數最優(yōu)精度分別為0.2257mm、0.3954mm、0.9254;基于極大似然估計的自適應Kalman組合預測模型的平均絕對誤差、均方根誤差、相關指數最優(yōu)精度分別為0.1028mm、0.1585mm、0.9780。實驗表明,基于極大似然估計的自適應Kalman組合預測模型各項精度指標皆優(yōu)于基于非等間隔灰色系統(tǒng)的最優(yōu)權組合預測模型。由此可見,在對單類預測模型加權組合后,其預測精度得到了提高,而結合自適應Kalman濾波,可進一步增強組合預測模型的自適應性。

圖4 兩種預測模型預測殘差

6 結語

建立組合預測模型來分析高速鐵路路基沉降監(jiān)測數據十分必要,上述研究表明,組合預測手段能在一定程度上改善預測精度,結合基于極大似然估計的自適應Kalman濾波算法,利用其只需一定的初始參數,就能自動更新迭代,且在更新的過程中不斷對噪聲方差進行修正的自適應特性,可解決組合預測模型中冗余計算等問題,有效減少組合預測模型誤差的積累,提高組合預測模型的自適應能力。但上述模型只考慮2種單類預測模型的組合問題,而現實中其他環(huán)境因素的并沒有考慮,需要進行深入研究。