白 杰，孫熠璇，劉子嘉，杜建祥

（北京空間機電研究所，北京 100094）

0 引言

空間相機在軌工作時處于微重力（10-3g～10-4g）環(huán)境，而其裝配與測試一般在地面重力環(huán)境下進行，因此需要進行重力卸載來模擬空間微重力環(huán)境[1]，以保證成像光路中所有光學(xué)元件的面形、位移及角度在地面測試過程中與在軌成像時一致?？臻g相機對光學(xué)元件的面形及位置精度有極高的要求，特別是具備可見光成像功能的空間飛行器，其反射鏡的面形RMS 一般需要達到(1/50)λ，甚至(1/60)λ；反射鏡的位置精度一般需要達到0.01 mm 級別，甚至μm 級別。同時，受火箭發(fā)射能力及發(fā)射成本的制約，常常要求空間相機的光機主體進行結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計，因此空間相機常具有尺寸大、剛度低的特點，且其光機系統(tǒng)對位置穩(wěn)定性要求很高，使得空間相機地面裝調(diào)過程中的微重力環(huán)境模擬異常復(fù)雜困難。在空間相機地面裝調(diào)重力卸載仿真計算過程中，仿真模型較結(jié)構(gòu)實際狀態(tài)存在誤差，故一般要求仿真計算的反射鏡面形RMS 及位置精度優(yōu)于指標要求的30%，因而對于一般的反射鏡，仿真計算結(jié)果需滿足其面形RMS 優(yōu)于(6/1000)λ，位置變化量小于1 μm。

針對空間相機及其他空間飛行器的地面微重力環(huán)境模擬，諸多學(xué)者設(shè)計了不同的重力補償方案和重力卸載結(jié)構(gòu)[2-6]，但未發(fā)現(xiàn)有文獻提出有效的重力卸載點選取及卸載力計算方法。然而，隨著超輕量化空間遙感相機、2～4 m 大口徑及4～10 m 超大口徑空間遙感相機的研制逐漸成為國內(nèi)外光學(xué)遙感領(lǐng)域的研究熱點[7]，在空間相機光機結(jié)構(gòu)裝調(diào)過程中，有效重力卸載點的識別難度增大，需設(shè)置的重力卸載點個數(shù)增多，利用一般的試錯法調(diào)整卸載點位置及卸載力已無法滿足要求，而其仿真優(yōu)化的難度亦隨著相機口徑的增大和結(jié)構(gòu)輕量化水平的提高呈指數(shù)級增加。

鑒于此，著眼于高效、快速地獲得使系統(tǒng)優(yōu)化目標精度最佳的卸載點系及最優(yōu)卸載力，本文提出一種基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的重力卸載仿真優(yōu)化方法。貪心算法的策略為將單個全局最優(yōu)問題劃分為若干個迭代的局部最優(yōu)子問題，通過求解一系列的局部最優(yōu)解來獲得全局最優(yōu)解[8-9]?；诖瞬呗?，可將光機系統(tǒng)重力卸載的仿真優(yōu)化問題分解為逐個提取系統(tǒng)的相對最佳卸載點，從而獲得系統(tǒng)的相對最優(yōu)卸載點系，繼而計算出其對應(yīng)的最優(yōu)卸載力。每組卸載點系的最佳卸載力值利用天牛須算法進行迭代搜索計算。

1 重力卸載仿真優(yōu)化方法

1.1 光機系統(tǒng)建模

將空間相機的光機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)離散化，建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣K；設(shè)離散化光機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)節(jié)點的位移矢量為d，所受到的力為F，則可建立空間相機光機系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程

求解式(1)即可獲得光機系統(tǒng)各個離散位置的變形量。

在利用基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的光機系統(tǒng)重力卸載仿真優(yōu)化過程中，每組卸載點系的最佳卸載力采用天牛須搜索算法進行迭代計算，無須知道系統(tǒng)具體的結(jié)構(gòu)求解模型，只需在每次計算求解式(1)前設(shè)置力矢量F，并能獲取式(1)求解后的位移矢量d即可。因此，可以建立光機系統(tǒng)的有限元模型，并利用有限元軟件的二次開發(fā)功能實現(xiàn)對力矢量F的設(shè)置和對位移矢量d的獲取。

光機系統(tǒng)的基本建模過程如下：

1）利用有限元軟件建立光機結(jié)構(gòu)的離散化網(wǎng)格模型；

2）利用有限元軟件建立光機結(jié)構(gòu)的位移邊界條件及初始力邊界條件，前者為光機結(jié)構(gòu)裝調(diào)時的固定約束，后者為地面重力加速度；

3）利用有限元軟件建立光機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜力學(xué)分析工況；

4）利用有限元軟件的二次開發(fā)功能建立優(yōu)化算法與有限元軟件的通信接口，進行數(shù)據(jù)交換與相關(guān)設(shè)置。

將優(yōu)化算法調(diào)整光機系統(tǒng)力矢量F，以及控制有限元軟件分析計算獲得最終系統(tǒng)位移矢量d的過程用f1表示，則有

1.2 貪心算法

在空間相機的地面裝調(diào)重力卸載仿真優(yōu)化過程中，若采用傳統(tǒng)的牛頓法或梯度下降法，則需要建立光機系統(tǒng)的精確求解方程，并推導(dǎo)計算目標值的方向?qū)?shù)或最快下降梯度。而光機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)離散化后的節(jié)點數(shù)量非常龐大，一般在幾萬甚至幾十萬個以上，相應(yīng)地，系統(tǒng)方程的維度也在幾萬甚至幾十萬個以上，其方程的建立、求解和推導(dǎo)異常復(fù)雜，并且針對不同的優(yōu)化目標所建立的方程會有差異，需重新進行推導(dǎo)和計算；若利用一般的試錯法進行計算，隨著光機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜程度的增加，需施加卸載力的個數(shù)也將不斷增多，計算量會呈指數(shù)級增加，導(dǎo)致優(yōu)化效率急劇降低。而貪心算法的基本策略優(yōu)勢則可以將復(fù)雜問題分解簡單化，且在求解子問題的過程中，可利用天牛須搜索算法進行迭代搜索計算，無須建立光機系統(tǒng)的具體求解方程，因而對不同的優(yōu)化目標具有更好的適應(yīng)性，能更加高效地獲得系統(tǒng)最優(yōu)卸載力。

基于貪心算法的基本策略，將光機系統(tǒng)重力卸載的仿真優(yōu)化分解為逐個提取系統(tǒng)最優(yōu)卸載點的迭代過程，具體如下：

1）提取光機結(jié)構(gòu)的可行卸載點集。

2）第1 次計算時，從可行卸載點集中提取1 個或1 組最佳卸載點；利用天牛須搜索算法計算被選卸載點的最優(yōu)卸載力，以使系統(tǒng)獲得最佳性能。

3）第i(i＞1)次計算時，從可行卸載點集中提取1 個或1 組最佳卸載點，該個或該組卸載點與前(i-1)次添加的卸載點共同組成卸載點系；利用天牛須搜索算法計算每組卸載點系的最佳卸載力，以使系統(tǒng)獲得最佳性能。

4）重復(fù)步驟3），不斷增加卸載點的個數(shù)，直至其最優(yōu)卸載力使得光機系統(tǒng)滿足各項指標要求。

設(shè)系統(tǒng)的可行卸載點集為SF，已添加的卸載點集為SF0，光機系統(tǒng)的優(yōu)化目標所對應(yīng)的位置點集為SD，從系統(tǒng)位移矢量d到優(yōu)化目標值的轉(zhuǎn)換函數(shù)為f2。每次從可行卸載點集SF中提取1 個或1 組卸載點，且該卸載點不屬于SF0，保證原系統(tǒng)在增加該卸載點后的最優(yōu)卸載力使得集合SD中所有位置的最大優(yōu)化目標最小。設(shè)第i次施加的卸載點為Pi，則Pi須保證

一般情況下，f2為計算某個光學(xué)鏡的位置函數(shù)或面形函數(shù)。

利用貪心算法進行系統(tǒng)最佳卸載點系提取的算法復(fù)雜度為O(n)，而窮盡所有可行卸載點系找尋最優(yōu)解的算法復(fù)雜度為O(2n)，可見利用貪心算法可以極大降低計算復(fù)雜度；同時由式(1)可知，求解模型為一近似的線性系統(tǒng)，一般情況下，施加較多卸載力的最佳卸載點系包含施加較少卸載力的最佳卸載點系，因而能保證該算法的高效性。

1.3 天牛須搜索算法

天牛須搜索算法是一種模擬天牛覓食的仿生算法。在自然界中，天牛覓食時利用左右觸須來探測食物氣味，從而獲取下一個飛行方向。在多維空間搜索優(yōu)化過程中，假設(shè)天牛在任意位置的方向是隨機的，在某初始隨機化位置，首先計算左右觸須的位置，然后將位置值代入系統(tǒng)模型獲得左右觸須探測到的氣味值，再根據(jù)氣味值的大小判斷天牛下一步的飛行方向，同時指定飛行步長，即可計算出天牛的下一位置坐標。由于天牛須搜索算法每次計算時只考慮一個個體，故具有較高的計算效率，尤其隨著搜索維度的增加，相比于其他算法，其在計算效率方面的優(yōu)勢更加明顯，能更高效、快捷地進行系統(tǒng)尋優(yōu)。但是在該算法中，設(shè)置不同的初始位置、不同的觸須距離、不同的迭代步長等均可能導(dǎo)致算法收斂于局部最優(yōu)點；可在優(yōu)化過程中調(diào)節(jié)相應(yīng)參數(shù)，例如迭代步長，以提高算法的全局優(yōu)化精度[10-11]。

給定一組卸載點系，設(shè)其卸載點的個數(shù)為k，天牛的第n次位置為Fn，天牛的朝向為Dn，天牛左右觸須的探測距離為l。其中，Dn為k維隨機歸一化矢量。則：

一般情況下，天牛的觸須探測長度l與步長step 為同一個數(shù)量級，以保證天牛的位置收斂方向與天牛須的探測收斂方向一致，因此令

將式(9)分別代入式(4)和式(5)可得：

對比式(8)、式(10)、式(11)可知，按照式(9)的方式設(shè)置天牛須探測長度，天牛的下一位置為左須和右須探測到的最優(yōu)位置，可簡化搜索流程。

2 算法驗證

2.1 測試結(jié)構(gòu)模型搭建

以國內(nèi)某遙感相機次鏡的重力卸載仿真計算為例，驗證本文所提出的算法。該遙感相機次鏡的各項指標要求極高，基于其基本結(jié)構(gòu)形式，搭建如圖1 所示的近似光機主體結(jié)構(gòu)，由主承力板、前鏡筒和次鏡組成，其最大外包絡(luò)直徑為2000 mm、長度為2600 mm。一般情況下，相機結(jié)構(gòu)的剛度越低，在重力作用下的變形會越大，重力卸載仿真的難度會增大。為了更充分地驗證算法的有效性，在搭建近似光機主體結(jié)構(gòu)時進一步降低其剛度，僅采用簡易的環(huán)形梁和橫梁來搭接其前鏡筒；次鏡口徑350 mm、質(zhì)量3.5 kg，用直徑10 mm、厚度2 mm 的空心管連接到前鏡筒上；主承力板及前鏡筒的材料一般選用密度較小、彈性模量較高的C-SiC 復(fù)合材料，本文為了增加分析難度，將其設(shè)置為鈦合金。

圖1 光機結(jié)構(gòu)組成Fig. 1 Configuration of the opto-mechanical structure

光機結(jié)構(gòu)裝調(diào)測試狀態(tài)如圖2 所示，以主成承力板兩端為固定約束邊界條件。

圖2 光機結(jié)構(gòu)裝調(diào)狀態(tài)Fig. 2 Assemblage of the opto-mechanical structure

考慮到測試過程中的實施誤差，設(shè)定仿真目標為次鏡的面形RMS 不大于(6/1000)λ，位置變化小于1 μm，角度變化小于1″。

2.2 測試模型剛度分析

建立該測試結(jié)構(gòu)的有限元模型，施加固定位移約束條件及重力載荷。在不施加任何卸載力的情況下，次鏡的結(jié)構(gòu)位移為0.73 mm，如圖3 所示。

圖3 測試模型無卸載力情況下的結(jié)構(gòu)變形Fig. 3 Distortion of the test model without unloading force

該測試模型在固定約束邊界條件下的前3 階約束模態(tài)分別為10.9 Hz、19.6 Hz、27 Hz，如圖4 所示。可以看到，該測試模型在重力作用下變形較大，其自由模態(tài)和約束模態(tài)都較低，即整體剛度較低。而一般情況下，光機結(jié)構(gòu)在重力作用下的變形小于0.4 mm，一階模態(tài)不低于30 Hz，因此利用該模型可充分驗證算法的有效性。

圖4 測試模型的前3 階約束模態(tài)Fig. 4 First three constrained modes of the test model

2.3 多目標優(yōu)化分析處理

由于光學(xué)鏡的面形RMS、位移及角度偏差需同時滿足指標要求，而天牛須搜索算法中的方向判據(jù)為單個指標，所以需利用主目標函數(shù)法，提取主要優(yōu)化目標，將其他優(yōu)化目標作為約束條件。

光學(xué)鏡的面形RMS 及角度偏差均由光學(xué)鏡的位移變化而產(chǎn)生，故一般情況下，光學(xué)鏡的位移偏差較小時，其面形RMS 及角度偏差均較小，因此本文提取光學(xué)鏡的位移偏差為主目標，面形RMS 及角度偏差作為約束條件。在該計算分析過程中，f2設(shè)置為計算次鏡的最大位移變化，以次鏡的面形RMS 及角度變化作為收斂計算的判據(jù)。

2.4 仿真算法平臺搭建及求解

在該測試模型的驗證過程中，有限元仿真軟件選取Femap，算法開發(fā)環(huán)境選取vs 2010 MFC 開發(fā)平臺，基于式(3)、式(6)～式(8)、式(10)和式(11)，利用C++語言編寫基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的空間相機地面裝調(diào)重力卸載仿真計算程序，并利用Femap 提供的ATL 開發(fā)包建立MFC 與Femap的通信接口，以設(shè)置Femap 的加載力，控制其仿真計算并提取計算結(jié)果，完成整個算法模型的搭建。仿真算法平臺界面如圖5 所示。

圖5 仿真算法平臺界面Fig. 5 The interface of the simulation platform

在該測試光機結(jié)構(gòu)中，可行卸載點集選取前鏡筒12 根橫梁與3 個環(huán)形梁的交叉點，共36 個點?？紤]到結(jié)構(gòu)的對稱性，以相機豎直中心面對稱的每2 點組成1 組，故可行卸載點集中共有21 組卸載點。在天牛須搜索法中，搜索步長step 設(shè)置為5 N，步長調(diào)整系數(shù)ratio 設(shè)為0.95，每輪搜索次數(shù)設(shè)為50 次。

利用該仿真算法平臺，經(jīng)過5550 次迭代搜索計算得到，共需添加6 組卸載力，卸載點分布如圖6所示。在該卸載力下，次鏡最大位移0.6 μm，面形RMS 變化(1/1000)λ，角度變化0.5″，均滿足指標要求。光機結(jié)構(gòu)的變形如圖7 所示。仿真計算得到的卸載力大小如表1 所示。

圖6 仿真計算得到的重力卸載點分布Fig. 6 Unloading points distribution calculated by simulation

圖7 測試模型在重力卸載后的結(jié)構(gòu)變形Fig. 7 Structural distortion of the test model with unloading forces

表1 仿真計算得到的卸載力大小Table 1 Values of the unloading forces calculated by simulation單位：N

3 結(jié)束語

重力卸載的仿真優(yōu)化是空間相機地面裝調(diào)的難點之一，通過人為試錯和調(diào)試的方法進行仿真優(yōu)化計算，往往需要數(shù)日甚至數(shù)月的時間才能獲得滿足指標的解。本文提出一種基于貪心算法結(jié)合天牛須搜索的重力卸載仿真優(yōu)化方法，通過計算機智能化迭代計算分析表明，在無須人為干預(yù)的情況下，在數(shù)小時之內(nèi)即可獲得滿足系統(tǒng)指標的解，可以高效、快速地獲得系統(tǒng)最佳卸載點系及最優(yōu)卸載力，是解決空間相機地面裝調(diào)時重力卸載仿真優(yōu)化的有效方法。