陸祖良

(中國計量科學研究院，北京 100029)

1 引 言

正弦信號的相角是重要的參數(shù)，本質上是兩個時間量的比。單個正弦信號的相角與參考點的選取有關，某個觀察點的相角是該點與參考點之間的時間與周期的比。兩個同周期正弦信號之間的相角差具有確定的含義。相角在電學計量中有廣泛應用，如交流功率除與電流、電壓有關之外，還與它們之間的相角差有關。因此相角研究受到重視，包括相角參考標準的建立以及相角準確測量方法的設計等[1～3]。相角問題研究，涉及功率、工頻諧波、分流器[4～10]，以及阻抗等計量問題[11～13]。

數(shù)字技術應用于相角研究，例如通過模數(shù)轉換器(ADC)的采樣技術和不同的分析方法測量兩個信號的相角差；數(shù)模轉換器(DAC)產生設定相角差的兩個信號。在一般的DAC中，量化過程使輸入的數(shù)字量與輸出的模擬量之間存在一個以LSB/2為限的誤差。這使輸出的幅值產生誤差，也使相角的輸出與輸入之間存在不一致。這反過來給相角的精確設置帶來困難。隨著DAC分辨率的提高，這個問題會得到緩解。但是嚴格說，輸入數(shù)據(jù)的量化所帶來的相角輸出是不連續(xù)的；出現(xiàn)在正弦波中，可視為波動的一種量化效應。它對測量尤其是精密測量的影響應予評估。量子交流電壓出現(xiàn)之后，人們用已知的兩個電壓比組成電橋來測量阻抗比[14，15]，對于可編程量子電壓而言，這種量化所固有的不連續(xù)性，成為阻礙電橋不確定度水平提高的重要因素之一。盡管人們已經認識到[5,16，20]，這種誤差有大小的不同，存在個別特定相角，獲得的實際結果與設定值之間的偏差幾乎可以忽略，但缺乏深入的分析及內在規(guī)律的一般性了解。

作者將此問題歸結為階梯波的性質加以研究。因為通常的DAC，脈寬調制型除外，其輸出實質上是階梯波，原因是轉換為模擬量并予保持的時間不可能為無限小。而所需要的正弦波則是階梯波的基波。進而將獲得的結論歸結為階梯波的固有特性，供相關研究參考。

關于階梯波基波有效值量化誤差實驗研究的初步結果已有發(fā)表[17]，認識到這種量化誤差基本上是固定的，因而其大部分可通過補償克服；相角在 0 rad 附近變化時，誤差顯現(xiàn)了某種對稱規(guī)律。本文則著重于相角量化誤差內在規(guī)律的研究。

本文定義了相角的量化誤差，提出并證明了相角量化誤差的主要特性，描述了相角量化誤差的具體分布特性，研究了相角量化誤差的零點分布等有關性質，討論了其應用。

2 相角的量化誤差

原始正弦信號y(x)=sinx，其中x=2 π t/τ(τ為周期)，在一個周期內用N(N≥3)個等間隔的點離散。間隔為H=2 π /N，離散點的值則為：

yn=sin(nH)

(1)

式中：離散序號n=0,1,2,…,N-1。一個周期內的離散數(shù)據(jù)，以下稱為數(shù)據(jù)列。

DAC將式(1)的數(shù)據(jù)列轉換為模擬信號。在零階保持(zero-order-hold)中，形成連續(xù)的階梯波形。如果DAC的分辨率無窮小，或者說，不考慮幅值的量子誤差，則輸出結果可以寫成：

z(x)=yn=sin(nH)，nH≤x<(n+1)H

(2)

這個階梯波中包含階次與N有關的諧波分量[18]，其中基波的幅值和相角為：

(3)

φ1=-π /N

(4)

基波幅值與原始信號的幅值相差1.6449/N2，是原始信號中的主要部分，基波相角比原始信號超前-π /N。第一個諧波位于N-1的階次上。因此可通過N值的調整使基波之外所有諧波遠離基波并占很小的比例，從而方便地將諧波濾除而保留基波，生成所需要的正弦波。

當考慮量化誤差時，式(1)表示的數(shù)值被量化：

(5)

(6)

它是實際的輸出波形，其基波的傅里葉系數(shù)是：

(7)

(8)

一般，在計算基波的傅里葉系數(shù)時，使用的基函數(shù)為cosnH和sinnH；上兩式說明，在由N個臺階值計算階梯波的基波時，相應的基函數(shù)為[sin(n+1)H-sinnH]和[-cos(n+1)H+cosnH]。其實這個結論也適用于量化前的情況，式(3)、式(4)就是由此獲得。

新的基函數(shù)的物理意義是，盡管分割仍然由N個均勻分布的點代表，但實際上是N個等寛的臺階，所處理的對象是連續(xù)的階梯波信號。

這樣式(6)所示階梯波中基波幅值和相角成為：

(9)

(10)

考察量化前后的兩個階梯波表達式(2)和式(6)，以及它們基波的相角表達式(4)和式(10)，定義：

(11)

為“階梯波基波的相角量化誤差”。為簡化表達，以下簡稱“相角量化誤差”。這樣定義的物理意義是，表達僅由數(shù)據(jù)“量化”而引起的誤差，而數(shù)模“轉換”、濾波等過程引起的誤差則并不包括在內。

3 主要特性

3.1 起始點輪換不變性

首先說明一個重要的現(xiàn)象，當數(shù)據(jù)列的起始點在量化前階梯波式(2)和量化后階梯波式(6)中同步輪換時，相角量化誤差將保持不變。

事實上這是一個簡單的現(xiàn)象，但合理性并不明顯。以下用三段論述對此作出證明。

首先，討論限于任意的正弦波和一般的DFT。信號y(x)=Csin(x+φ)，不失一般性，這里C是信號按DAC內置電壓V歸一的無量綱相對幅值，C=c1/V(C≤1)，該信號的一個周期被N點均分，N符合采樣定理的要求，間隔H=2 π /N。記某個數(shù)據(jù)的序號為0，其余依次標記。從序號為0的采樣點開始的N個數(shù)據(jù)，經過一般DFT，按照采樣定理，記獲得的被測正弦波為y(x)=Csin(x+φ)。第1次輪換后，從序號為1的數(shù)據(jù)點作為起始點，對同樣但次序變化了的N個數(shù)據(jù)，運算獲得的波形則為y(x)=Csin(x+φ+H)，即比首次運算的波形相角滯后H。這個結論不難從正弦波時間軸上N個均分點對應的圖像思考而得到，見圖1。起始點每后移1個點，新的正弦波圖像的相角滯后一個相角H。此后的輪換依次類推。

其次，把考察對象從正弦波數(shù)據(jù)列擴展到一般的數(shù)據(jù)列，它們同樣來自均勻分割而總數(shù)為N，所有數(shù)據(jù)相互之間不必符合正弦規(guī)律，只是需限制數(shù)值為無窮大的情況(此即傅里葉變換可積性條件的離散化形式，它對數(shù)學的完整性具有意義，一般的實際情況下均可得到滿足。但對于特殊應用的場合需要注意)。

在本文的討論中，由于DAC的需要，其最大值按歸一化要求不大于1。此數(shù)據(jù)列可視為某個周期性曲線在N個點上的采樣；這個曲線可分解成三角級數(shù)。由于曲線的一般性假設，不排除三角級數(shù)有無窮多項的情況(例如方波)；只要N≥3，一定可以指出其中的基波，形如y(x)=Csin(x+φ)所表示。因此當起始點輪換時，起始點每后移1個點，所涉及的基波相角滯后一個角度H。事實上，這里沒有改變時間軸上的N個均勻分割，改變的只是縱坐標的大小。而本文所討論的量化操作，則正是這種縱坐標大小的改變。

為形象地展示上述結論，用實驗1模擬兩個信號的數(shù)據(jù)列。其中y1n=sin(nh+ π /6)表示一個規(guī)則的正弦波。y2n=(0.8R+0.6)sin(nh+ π /6)，R是位于[-0.5,0.5)之間的隨機數(shù)(平均分布)，其中包含了y1n的波形，但只占60%，其余40%是隨機數(shù)。實驗1取DAC的分辨率為8 bit，N=20；分別計算這兩個數(shù)據(jù)列，按式(5)計算量化后的數(shù)據(jù)列；然后按(7)、式(8)進行DFT并按式(10)計算相角。結果表示在表1中，其中“起點0”表示選擇序號為0的數(shù)據(jù)點作為起始點。

圖1 實驗1中的兩個數(shù)據(jù)列，規(guī)則正弦波為y1，較為任意的波形為y2，8 bit/DAC，N=20Fig.1 Two data sequence，y1,y2 and the fundamental of y2,in experiment 1 with 8 bit of DAC and N=20

表1中提供了以序號分別為0、1和2的數(shù)據(jù)點為起始點的階梯波基波的相角值。由此計算各起始點的相角量化誤差，y1n的相角量化誤差均為 -0.000 201 rad，而y2n的則均為0.000 619 rad，與上述結論一致。當起始點輪換時，無論是量化前還是量化后，相角的步進值均為0.314 159 rad，與H=π /10之差不大于10-11rad數(shù)量級。這在數(shù)據(jù)列y1n以及較為任意的數(shù)據(jù)列y2n中均是如此，即，與設置信號的參數(shù)(幅值C和相角φ)無關。

表1 實驗1結果，數(shù)據(jù)列起始點輪換后階梯波基波的相角/rad，8 bit/DAC，N=20Tab.1 Results of experiment 1,phase angle value in rad of fundamental in staircase waveform when starting data-point is rotated,with 8 bit of DAC and N=20

這個結論的內在機理，在于盡管起始點在輪換，但數(shù)據(jù)列本身(觀察對象)和DFT運算中的基函數(shù)(觀察方法)都沒有改變。觀察對象沒有改變，是指數(shù)據(jù)列中各點之間相鄰關系、及各自大小沒有變化，同時N點均勻分割保持不變；觀察方法沒有改變，是指基函數(shù)的次序沒有輪換，同時基函數(shù)不被量化。至于式(5)所表示的量化方式對這個結論不是最重要的。

實驗2使用真實的DAC，NI6733，分辨率16 bit，內部參考電壓10 V，利用文獻[19]中的一組實驗的采樣值。N=24，量化前的數(shù)據(jù)由數(shù)列yn=sin(nH+H/2)獲得。將其輸入DAC生成階梯波。由ADC測量其臺階值。ADC參數(shù)：NI5922，24 bit@500 kHz至16 bit@ 15 MHz，其內部參考電壓10 V，采用2 V峰峰值量程。采樣率為1 Ms/s，將階梯波每個平臺再細分M=50。ADC采樣10組數(shù)據(jù)，每組含10個周期。

處理如下：首先將10組平均成為1組，該平均的標準偏差一般位于10-5量級，臺階轉換處個別點標準偏差稍大，但不大于(1～2)×10-4；然后將1組內10個周期平均成為1個周期，該平均的標準偏差一般為(1～2)×10-5；由于每個臺階50個測量數(shù)據(jù)兩端存在過渡過程和吉布斯現(xiàn)象，按片段采樣 (13,25,12)只取中間25個采樣值平均作為該平臺的值，此時標準偏差小于(3～5)×10-6。將此一個周期內24個值作為量化后的數(shù)列。按式(7)、式(8)作DFT,并計算相角量化誤差。對應于每個序號數(shù)據(jù)點作起始點輪換，計算結果表明，相角量化誤差均為-278.780 3 nrad，見表2。

表2 實驗2結果，實測階梯波基波相角數(shù)據(jù)/rad，16 bit/DAC，16 bit/ADC，N=24，原始數(shù)據(jù)源于[19]Tab.2 Results of experiment 2,phase angle value in rad for real experimental of staircase waveform,with 16 bit of DAC，16 bit for ADC and N=24,the original data came from [19]

進一步計算相鄰起始點之間相角的步進值，并與H比較，對應于量化前和量化后，每一個起始點的步進值與H之差大部分小于2×10-12rad，個別小于1×10-11rad。

以上是對于階梯波基波相角量化誤差的基本認識。即，對于幅值C和相角φ任意設定的原始信號y(x)=Csin(x+φ)，當起始點在數(shù)據(jù)序列中輪換時，相應階梯波基波的相角量化誤差都是相等的。為與量化后的相角區(qū)別，下文稱原始信號相角為設置(初)相角。

3.2 周期性

相角差為pH的兩個數(shù)據(jù)列

y1n=Csin(nH+φ)y2n=Csin(nH+φ+pH)

(12)

式中:p=1,2,…,N-1，所生成的階梯波基波具有相同的相角量化誤差。

這里沒有指明起始點，表示起始點序號為0。

這是第3.1節(jié)結論的一個推論。證明如下：當y1n的起始點作輪換時，將生成y2n，并對應于p的不同取值。因此y2n與y1n有相同的相角量化誤差。

其物理意義是，在設置相角為橫軸，相角量化誤差為縱軸的坐標圖上，當橫軸上的點為φ,φ+H,φ+2H,…,φ+(N-1)H時，縱坐標都是等高的，都等于φ點的相角量化誤差；當φ點在區(qū)間[0,H]之間變化時，這個結論仍然成立。換言之，相角在區(qū)間[0,2 π ]范圍之內變化時，其量化誤差的分布，只要知道第1個區(qū)間[0,H]的分布就可以了。這就是相角量化誤差的周期性，周期為H。為了與通常的“信號周期”相區(qū)別，稱這種周期為“相角量化誤差周期”，按其特征，簡稱為“H周期”。

實驗3驗證了相角量化誤差的周期性。DAC分辨率為12 bit，取N=10，在式(12)中按設置的幅值和相角，分別計算兩個數(shù)據(jù)列，并按式(5)計算它們量化后的數(shù)據(jù)列；然后按式(7)、式(8)進行DFT，并按式(10)計算量化前后的相角，最后按式(11)計算相角量化誤差。表3提供了3個不同幅值和相角設置情況下的結果，結果表明上述結論成立。不同的p值下，y2相角量化誤差與y1的相等，兩者差值小于(1～2)×10-11rad。

表3 實驗3結果，周期性驗證，12 bit/DAC，N=10Tab.3 Results of experiment 3,verification for periodicity with 12 bit of DAC and N=10 nrad

3.3 對稱性

一個H周期內相角量化誤差的分布是對稱的。具體描述以下：兩個信號的設置初相角分別位于H周期的對稱點上，或說，與周期H的開始點和終止點有相等的距離。則它們的相角量化誤差絕對值相等，符號相反。

以正弦函數(shù)信號為例，兩個數(shù)據(jù)列：

y1n=Csin(nH+α)y2n=Csin(nH+H-α)

(13)

此處不妨有0<α

(14)

對稱性來源于第3.2節(jié)周期性與三角函數(shù)本身性質。證明如下：

y2n=Csin(nH+H-α)

=Csin(-NH+nH+H-α)

=Csin[-(N-1-n)H-α]

=-Csin[(N-1-n)H+α]

=-Csin(n*H+α)=-y1n*

這里在正弦函數(shù)符號內增加項-NH，是因為NH=2 π 。最后引入了新的序號n*=N-1-n，表示反向排序，因為當n=0,1,2,…,N-2,N-1時，有n*=N-1,N-2,…,2,1,0。

因此式(13)實際上是這樣的兩組采樣列，一個是另一個的反符號反向排列(反符號指相應數(shù)據(jù)值絕對值相等而符號相反)。

按式(7)、式(8)計算數(shù)據(jù)列y2n的傅里葉系數(shù)a1(y2)和b1(y2)，此處符號中不加序號n，是強調傅里葉系數(shù)是整個數(shù)據(jù)列的特征值，需要指出的關鍵是，在DFT計算中，相乘的數(shù)據(jù)列與基函數(shù)數(shù)據(jù)列應該有相同的序號。

a1(y2)=y2n[sin(n+1)H-sinnH]

=-y1n*[sin(N-1-n*+1)H-

sin(N-1-n*)H]

=-y1n*[sin(-n*H)-sin(-n*-1)H]

=-y1n*[sin(n*+1)H-sinn*H]

=-a1(y1)

b1(y2)=y2n[-cos(n+1)H+cosnH]

=-y1n*[-cos(N-1-n*+1)H+

cos(N-1-n*)H]

=-y1n*[-cosn*H+cos(n*+1)H]

=y1n*[-cos(n*+1)H+cosn*H]

=b1(y1)

因此,φ1(y1)=-φ1(y2)。

現(xiàn)計算數(shù)據(jù)列y2的相角量化誤差

這就是需要證明的式(14)。

余弦函數(shù)信號可同樣證明。

一個需要說明的情況是，在正弦函數(shù)信號情況下，兩個反符號的數(shù)值，經過式(5)的量化之后，是否會產生絕對值相差1個LBS的情況？注意到Microsoft Excel所提供的INT(x)函數(shù)是“將數(shù)值向下取整為最接近的整數(shù)”。因此，式(5)中函數(shù)INT(x+0.5)，當且僅當數(shù)值x的小數(shù)部分絕對值[x]嚴格等于0.5時，才會產生所擔心的情況，如：INT(2.5+0.5)=3,而INT(-2.5+0.5)=-2。

在[x]=0.5的基礎上，增加(或減少)1×10-14，都使反符號的兩個數(shù)值量化之后成為絕對值相等的整數(shù)，如：INT(2.500 000 000 000 01+0.5)=3而INT(-2.500 000 000 000 01+0.5)=-3；

INT(2.499 999 999 999 99+0.5)=2,而INT(-2.499 999 999 999 99+0.5)=-2。

因此所擔心的情況是小概率事件。但存在這樣的情況，兩個絕對值本應相等的數(shù)值，由于計算誤差，在模擬實驗中可能出現(xiàn)相差10-11量級的不一致，大多數(shù)情況下這不會引起問題。但如果運算值[x]恰巧位于0.5的兩側，盡管相差很小，也會導致INT(x+0.5)相差1個LBS。

當C的分辨力與LBS可比時，上述情況會出現(xiàn)。如C=1-γLSB，α=0；N=24，在離散點對(90°，270°)，sinnH絕對值等于1，考慮數(shù)據(jù)列(1-γLSB)sinnH，其中γ={0.5，1.5，…}，在這對離散點上有[x]=0.5，這是[x]嚴格等于0.5的情況。而在離散點對(30°，330°)和(150°，210°)，sinnH絕對值等于0.5，數(shù)據(jù)列(1-γLSB)sinnH，其中γ={1，3，…}，此時[x]很可能橫跨0.5。在這些情況下應用式(5)，會相差1個LBS(絕對值)。

這是式(5)本身的缺陷。面臨類似情況，可使其中的一個等于另外一個，從而使絕對值相等的數(shù)據(jù)量化之后仍然相等。

實驗4驗證對稱性。

式(13)中的設置值取C=0.907 8，α=5/17H，N=24，DAC的分辨率取為16 bit。其余與實驗3相似。實驗結果如表4所示。表4的結果證實了對稱性(準確到2×10-11rad)及其證明中提到的中間結論，兩個數(shù)據(jù)列的基波相角絕對值相等而符號相反，量化前后都是這樣。

表4 實驗4結果，對稱性驗證，N=24，16 bit/DAC，C=0.907 8，α=5/17HTab.4 Results of experiment 4,verification for symmetry,with 16 bit of DAC,N=24,C=0.907 8 and α=5/17H

4 一個H周期內相角量化誤差分布

下面進一步研究相角量化誤差在一個H周期之內的分布情況。

4.1 實驗結果

實驗5以式(13)中信號y1=Csin(x+α)(余弦函數(shù)同樣實驗)為基礎，DAC的分辨率取為16 bit，不失一般性，取幅值C=1，將H細分10等分，分別取α=0.0H,0.1H,…,1.0H為設置初相角，分別取N=24、23、22、21。實驗過程與實驗3相似。實驗5的結果表示在圖2中。

以設置初相角α與H之比為橫軸，以相角量化誤差為縱軸，將結果標注在圖上。由于周期性，只報告了相角在一個H周期，即[0.0H,1.0H]上的分布。前述對稱性結論在圖中得到反映，如α=0.1H與α=0.9H，它們的相角量化誤差絕對值相等符號相反，其余類推。

圖2 實驗5結果，相角量化誤差在一個周期H內的對稱分布，16 bit/DACFig.2 Results in experiment 5,symmetry distribution of quantization error of phase angle in one H-period,with 16 bit of DAC

圖2中，點與點之間的虛連線僅僅表示它們屬于同一種函數(shù)(正弦或余弦)；并不表示它們之間真實的分布，實際上兩點之間的分布不是線性的。

從圖2可見進一步的特性。敘述并證明如下。

(1)初相角α=0.5H時，相角量化誤差與α=0.0H相等，且為零。

首先，當α=0H時，相角量化誤差是0，事實上這是最早被認識到的一個事實[5,16]。這里給出證明如下。

在第3.3節(jié)對稱性的證明中，結合周期性，可以看到，在設置初相角為0的兩側，相角量化誤差是對稱的，即絕對值相等符號相反。因此α=0.0H時，其相角量化誤差既應為正，又應為負；而這一點的量化誤差存在，因此其值必須是0(這是由對稱性而不是線性決定的)。

同樣，由于對稱性，相角量化誤差在α=0.5H兩側表現(xiàn)為絕對值相等符號相反。與上述同樣的理由，對稱性區(qū)間的中點，α=0.5H，其量化誤差是0。因而與α=0.0H時的相等，且兩者值均為0。

(2)N/2為偶數(shù)時，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)有相同的相角量化誤差分布。

此時N是4的倍數(shù)(如N=24，見圖2(a))，N/4是存在的某個數(shù)據(jù)點的序號。根據(jù)周期性，有Csin(nH+α)=Csin(nH+NH/4+α)，其中NH/4=π /2，根據(jù)三角函數(shù)本身的性質，有Csin(nH+ π /2+α)=Ccos(nH+α)，因此Csin(nH+α)=Ccos(nH+α)，即正弦與余弦信號有相同的相角量化誤差分布。

(3)N/2為奇數(shù)時，正弦與余弦信號相隔半個H周期有相同的相角量化誤差分布。

當N/2是奇數(shù)時(如N=22，見圖2c)，(N/2+1)/2是存在的某個數(shù)據(jù)點的序號，根據(jù)周期性有Csin(nH+α)=Csin[nH+(N/2+1)H/2+α]。其中(N/2+1)H/2=π /2+H/2。這樣，

Csin(nH+α)=Csin(nH+ π /2+H/2+α)

=-Ccos(nH+H/2+α)

上述兩個數(shù)據(jù)列，對于確定的序號n，相應的兩個數(shù)據(jù)絕對值相等符號相反，它們的數(shù)據(jù)本身量化誤差的絕對值是一樣的[式(5)的適用性同前]；進而從整個數(shù)據(jù)列看，絕對值相等符號相反數(shù)據(jù)的排列次序是一樣的，因此從式(7)、式(8)和式(10)可知，數(shù)據(jù)列Csin(nH+α)和數(shù)據(jù)列-Ccos(nH+H/2+α)產生的階梯波的基波具有相同的相角量化誤差，即僅僅符號相反對于相角量化誤差沒有影響。

這樣，Csin(nH+α)與Ccos(nH+H/2+α)有相同的相角量化誤差，即當N/2是奇數(shù)時，正弦與余弦信號相隔半個H周期有相同的量化誤差分布。

余弦函數(shù)信號證明相似。

(4)N為奇數(shù)時，存在次周期現(xiàn)象，周期H的前一半和后一半有相同的分布。即[0H,0.5H]與[0.5H,1H]中有相同的相角量化誤差分布。

N為奇數(shù)時(如N=23、21，見圖2(b)、2(d))，信號周期(為NH=2 π )的中點(即 π )上不存在數(shù)據(jù)點，該信號中點位于兩個數(shù)據(jù)點的中間，這兩個數(shù)據(jù)點的序號是(N-1)/2和 (N+1)/2。由H周期性，知Csin(nH+α)與Csin[nH+(N-1)H/2+α]有相同的相角量化誤差。

再根據(jù)三角函數(shù)本身的固有性質，有Csin(x+α)=-Csin(x+ π +α)。已知僅僅符號相反對于相角量化誤差沒有影響，因此兩個信號Csin(x+α)和-Csin(x+ π +α)對應數(shù)據(jù)列產生的階梯波的基波具有相同的相角量化誤差?；蛘哒f，數(shù)據(jù)列Csin(nH+α)和Csin(nH+NH/2+α)具有相同的相角量化誤差。后者又可寫為Csin[nH+(N-1)H/2+H/2+α)。繼續(xù)利用H周期性，知此數(shù)據(jù)列與Csin(nH+H/2+α)有相同的相角量化誤差。綜合以上，知Csin(nH+α)與Csin(nH+H/2+α)有相同的相角量化誤差。這就是周期H中前后兩個半?yún)^(qū)間存在周期性的證明。

余弦函數(shù)信號的證明相類似。

(5)N為奇數(shù)時，半個H周期內具有對稱性，即[0H,0,25H]與[0.25H,0,5H]中相角量化誤差絕對值相等符號相反。

與H主周期內的對稱性證明方法類似，將H/2次周期區(qū)間[0H,0.5H]中，后半個區(qū)間[0.25H,0.5H]等效到整個信號周期的最后，即[ (N-0.25)H,NH]，使問題轉化為初相角為零這一點兩側區(qū)間[-0.25H,0H]與[0H,0.25H]之間的關系。具體過程略。

(6)N為奇數(shù)時，初相角α=0.25H和α=0.75H時，相角量化誤差與α=0H的相等，且為零。

與本節(jié)(1)的證明相似，由對稱性和該點相角量化誤差的存在性作出證明。具體過程略。

5 相角量化誤差的其他性質

5.1 零點分布

從以上的實驗與分析可以看到，正弦信號Csin(x+α)或余弦信號Ccos(x+α)，當設置初相角α=0H時，由其產生的階梯波，其基波的相角量化誤差為零。稱α=0H是相角量化誤差的零點(以下簡稱零點)。

進一步，由于相角量化誤差的周期性，α=1H,2H,…,(N-1)H也是零點。

由于相角量化誤差的對稱性，零點還可以是α=0.5H,1.5H,…,(N-0.5)H。

如果N是奇數(shù)，與周期性相關的零點還增加有α=0.5H,1.5H,…,(N-0.5)H。

如果N是奇數(shù)，與對稱性相關的零點增加有α=0.25H,0.75H,1.25H,1.75H,…,(N-0.25)H。

圖3是實驗5結果之一，取N=19,DAC分辨率為18bit，顯示了3個H周期內的零點分布?？梢郧逦乜吹?，從α/H=0.00開始，每隔0.25出現(xiàn)一個零點，同時可見所述的周期性及對稱性。

圖3 實驗5結果，相角量化誤差零點在3個H周期內的分布，N=19，18 bit/DAC，C=1Fig.3 Results in experiment 5,zero-point distribution of quantization error of phase angle in tree H-period,with 18 bit of DAC,N=19 and C=1

需要指出的是，這里的零點是階梯波的固有性質。在表2報告的實驗2結果中，N=24是偶數(shù)，設置初相角為0.5H，該初相角屬于具有對稱性質的零點，即該處相角量化誤差應為0 rad，可是實驗結果顯示，量化前后之差為-278.7803 nrad。兩者不一致的原因是，量化前后之差中不僅有相角量化誤差，還有DAC的轉換誤差，特別是還有ADC的采樣誤差。表2結果分析中指出了每個平臺值的測量標準偏差小于(3～5)×10-6，所以相角存在3×10-7rad的誤差是合理的。這個解釋給文獻[17]中式(5)補償不徹底的問題找到了原因。需要進一步指出的是，由于不同誤差因素之間可能的抵消作用，在實際使用ADC和DAC時，不排除在非零點上出現(xiàn)誤差為零的情況，但不能認為這個位置就是零點。

5.2 零點對幅值的獨立性

以上論述顯示，零點與原始信號幅值的大小沒有關系，即信號C1sin(x+α)與信號C2sin(x+α)有相同的零點，這里C1≠C2。證明如下。在4.1節(jié)關于α=0H時相角量化誤差為0的證明中，在絕對值相等的數(shù)據(jù)量化后仍然相等的假設下，幅值可為任意值；該證明所涉及的對稱性、周期性及其基礎的證明中，沒有對幅值有特別的限制。

圖4是實驗5之一，取N=17,DAC分辨率為18 bit，顯示了幅值不相同時零點的分布?？梢钥吹剑瑢τ诓煌姆翟O置，無論是正弦還是余弦，當N為奇數(shù)時，一個H周期內的零點仍然保持在α/H=0.25、0.50、0.75和1.00處。

圖4 實驗5結果，幅值為不同值時相角量化誤差零點分布， 18 bit/DAC，N=17，正弦C=0.1,余弦C=0.01Fig.4 Results in experiment 5,zero-point distribution of quantization error of phase angle for different amplitudes,with 18 bit of DAC and N=17，sine wave with C=0.1,cosine wave with C=0.01

6 應用討論

相角量化誤差的零點可以用來設置原始信號的相角差，由此消除量化因素帶來的誤差影響。

設置兩個原始信號為C1sinx和C2sin(x+α)，兩者的相角差(應滿足α=pH=2 π p/N，這里p是整數(shù)集{1,2,…,…,(N-1)}中的任一個，還可以在這個整數(shù)(含0)上加上0.5；當N為奇數(shù)時，這個整數(shù)(含0)上還允許加上0.25或0.75。

注意到p/N是有理數(shù)，對于任意指定的相角差α，總是能夠找到這樣的數(shù)p和整數(shù)N，滿足上述相角差要求，使相角的量化誤差小于指定的不確定度。至于如何從一個任意的相角差α，使其與2 π 之比成為有理數(shù)p/N，同時滿足指定的不確定度要求，這是一個已知的數(shù)學問題。

對應某一個指定的相角差要求α，可以有多個解決方案，例如當相角差α=π /3時，數(shù)據(jù)對(p，N)可以有(6，36)，(5，30)，(4，24)，(2.5，15)等選擇，這個自由度為其他要求的滿足提供了機會。

本文討論階梯波基波相角固有性質，在實際應用中，還會出現(xiàn)其他因素的影響，如實驗2所示的DAC轉換和ADC采樣產生的誤差。它們中的固定部分，即系統(tǒng)誤差，可以歸結為第5.2節(jié)中幅值的變化，對設置相角差的實現(xiàn)沒有影響；但它們中的隨機部分將產生誤差。為了估計隨機誤差帶來影響的規(guī)模，模擬實驗表明，在量化后的數(shù)據(jù)列上，以相對誤差形式加某個量級的隨機數(shù)(如±5×10-6)之后，實際相角差與設定值將有偏離，偏離的程度大部分為隨機數(shù)規(guī)模的1/10(如±5×10-7rad)，少部分接近1/5(如±1×10-6rad)。這些其他因素原則上不在本文研究范圍之內，擬另文研究。

7 結 論

采用一般DAC由數(shù)據(jù)列產生模擬的正弦信號，實質上是階梯波的基波。DAC的量化過程將使此基波相角與其設置值產生偏差。定義量化前后數(shù)據(jù)列對應的階梯波基波相角之差為相角量化誤差。設置相角在0至2 π 之間變化時，相角量化誤差呈現(xiàn)周期性重復現(xiàn)象，周期為離散間隔H，H=2 π /N。在一個H周期內，相角量化誤差的分布是對稱的。這些分布中存在若干零點；零點分布是量化的，量化寬度為0.5H；當N為奇數(shù)時，量化寬度縮小為0.25H。當設定相角選擇為該量化寬度的整數(shù)倍p時，可克服相角量化誤差。注意到p/N是有理數(shù)，可以在規(guī)定的不確定度下逼近任意數(shù)α/(2 π )，因此原則上任何預先要求的相角差α都能夠得到實現(xiàn)。

至于非零點上的相角量化誤差，對其規(guī)模的估計具有重要意義。按照本文敘述的周期性和對稱性，只需在一個零點量化寬度范圍內掃描即可。本文實驗設置了不同參數(shù)，結果可供參考。綜合實驗2之外的所有實驗結果(特別是實驗5)，在所選擇的參數(shù)情況下，在非零點上的相角量化誤差的最大值(以rad為單位)約為數(shù)據(jù)量化誤差限相對值[為(LSB/2)/C，其中C為按DAC內置電壓標準歸一的信號幅值]的0.1～0.5。