宋志明, 劉海棟, 陳曉宇, 王茂才

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 湖北 武漢 430074; 2.智能地學(xué)信息處理湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430078)

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,星座應(yīng)用技術(shù)在移動(dòng)通信、氣象預(yù)報(bào)、遙感探測、軍事偵察、資源勘探、災(zāi)害監(jiān)測、導(dǎo)航定位等多個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮越來越重要的作用。在星座應(yīng)用領(lǐng)域中,對地服務(wù)是一個(gè)非常重要的組成部分。星座的對地服務(wù),是基于星座中衛(wèi)星攜帶的各種樣式與功能的星載傳感器對地面進(jìn)行持續(xù)或者間斷性地服務(wù)來實(shí)現(xiàn)的。將星座對地服務(wù)中涉及到的問題統(tǒng)稱為星座對地覆蓋問題。目前,已經(jīng)有很多學(xué)者針對星座對地覆蓋這一復(fù)雜問題進(jìn)行了相關(guān)研究。

網(wǎng)格點(diǎn)法是求解星座對地覆蓋問題的一種經(jīng)典方法。該方法是由Morrison在1973年提出來的[1],而后,有很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)[2-4]。網(wǎng)格點(diǎn)法對幾乎所有類型覆蓋問題都能進(jìn)行求解,且可以通過增加網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)目得到更高精度的結(jié)果,但當(dāng)結(jié)果精度要求較高時(shí),算法的效率會(huì)大幅度下降。覆蓋帶法也是衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展早期常用的一種方法[5-6],而后在很多覆蓋問題求解中被廣泛應(yīng)用[7-8]。該方法將衛(wèi)星在一個(gè)時(shí)段內(nèi)掃過的范圍近似為一個(gè)覆蓋帶,從而分析星座對地覆蓋性能。三角網(wǎng)剖分法是以衛(wèi)星瞬時(shí)位置為節(jié)點(diǎn),將地球表面劃分為一組的球面三角形,從而進(jìn)行性能分析的一種方法[9]。但該方法只能定性判斷星座對全球是否能完全覆蓋而無法定量計(jì)算覆蓋率。針對于三角網(wǎng)剖分法的缺點(diǎn),陳曉宇等[10-12]提出了球面多邊形剖分法，可以對結(jié)果進(jìn)行定量計(jì)算,可對區(qū)域目標(biāo)進(jìn)行求解。特征區(qū)域分析法是一種基于星座中衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡,對二維球面進(jìn)行劃分得到一系列區(qū)域,進(jìn)而得到對整個(gè)區(qū)域的覆蓋特性的方法[13-14]。該算法求解速度極快,但只能對Walker星座的連續(xù)性覆蓋問題進(jìn)行分析。

有部分專家學(xué)者,將覆蓋問題等價(jià)轉(zhuǎn)換或近似轉(zhuǎn)換為某種數(shù)理過程,用數(shù)理過程中的相應(yīng)數(shù)理特性來對星座覆蓋問題的結(jié)果進(jìn)行間接表征。文獻(xiàn)[15-16]通過球面圓的基本幾何特性,得到覆蓋過程的一些特征點(diǎn)或特征弧段,通過對這些特征幾何體的性能來表征對整個(gè)區(qū)域的覆蓋性能。文獻(xiàn)[17]將星座對地覆蓋問題描述為一個(gè)蒙特卡羅過程,通過抽樣理論,得到基于蒙特卡羅方法的覆蓋率。文獻(xiàn)[18-19]使用概率統(tǒng)計(jì)模型對其進(jìn)行分析,得到概率意義下的覆蓋特性隨時(shí)間與空間的變化規(guī)律;文獻(xiàn)[20-21]將覆蓋問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)衛(wèi)星和目標(biāo)位置的函數(shù),通過數(shù)值算法求函數(shù)零點(diǎn),從而得到覆蓋問題的相關(guān)特性;文獻(xiàn)[22]將覆蓋問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)微分方程,通過數(shù)值積分方法對函數(shù)進(jìn)行求解;文獻(xiàn)[23]中,采用數(shù)值擬合方法對覆蓋特性進(jìn)行擬合,得到星座對地覆蓋問題的擬合函數(shù);文獻(xiàn)[24]通過球面幾何關(guān)系,提出了對全球完全覆蓋的判定定理;文獻(xiàn)[25]將衛(wèi)星在一段時(shí)間內(nèi)的覆蓋范圍看作曲線族,求解曲線族的包絡(luò)線,并得到包絡(luò)線與覆蓋范圍邊界之間的關(guān)聯(lián)。文獻(xiàn)[26]提出了一種基于變換群的性能分析方法,采用晶體點(diǎn)群理論描述星座。文獻(xiàn)[27-28]則采用矩陣對Flower星座對地覆蓋問題進(jìn)行了描述,將星座的空間構(gòu)型同構(gòu)為一個(gè)二階或三階矩陣,從而實(shí)現(xiàn)對星座的設(shè)計(jì)和性能分析。對于這一類求解方法,一般都只對星座對地覆蓋問題的某個(gè)方面的特征進(jìn)行建模,因此,一種方法往往也只能得到某個(gè)方面的覆蓋特性。同時(shí),在數(shù)理建模過程中,往往需要進(jìn)行一些近似處理,因此,得到的結(jié)果多是一個(gè)近似結(jié)果,而且很多時(shí)候是定性結(jié)果。

本文在本人前期研究的基礎(chǔ)上[29],提出一種求解星座對地覆蓋問題的高效求解算法—經(jīng)度條帶法。該方法將地面區(qū)域劃分為若干經(jīng)度條帶,借助于經(jīng)線的可解析性得到星座對條帶的覆蓋面積,從而對星座對地覆蓋問題進(jìn)行求解。該方法可對以凸多邊形或非凸多邊形區(qū)域?yàn)槟繕?biāo)區(qū)域的瞬時(shí)覆蓋問題、連續(xù)性覆蓋問題與累積覆蓋問題進(jìn)行求解,具有非常廣的算法普適性。

本論文的組織結(jié)構(gòu)如下:第一節(jié)對經(jīng)度條帶法對地覆蓋問題的形式化的符號(hào)和基本流程進(jìn)行描述,并提出覆蓋率上下界的基本思想。第二節(jié)針對累積覆蓋問題和連續(xù)性覆蓋問題,得到其對應(yīng)的覆蓋率上下界形式。第三節(jié)為數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),對第一節(jié)和第二節(jié)中的結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。第四節(jié)為總結(jié)。

1 經(jīng)度條帶法對星座對地覆蓋問題

1.1 覆蓋問題的基本符號(hào)表示

對于地面上一點(diǎn)P,其經(jīng)度與緯度分別記作θP與φP。而對于經(jīng)度為θ的一條經(jīng)線記作E(θ)。

將一顆衛(wèi)星記作S,一個(gè)衛(wèi)星星座記作C,使用符號(hào)S∈C表示星座C包含衛(wèi)星S。將整個(gè)地球表面記作G,將地面區(qū)域記作R,則R?G。地面上的一點(diǎn)P,P∈R表示點(diǎn)P是區(qū)域R內(nèi)的一點(diǎn)。將開始時(shí)間為tS結(jié)束時(shí)間為tE的時(shí)間段記作[tS,tE],使用符號(hào)t∈[tS,tE]表示t是時(shí)間段[tS,tE]內(nèi)的一個(gè)時(shí)刻。

本文中,對星座對地覆蓋的累積覆蓋范圍進(jìn)行分析,并計(jì)算對應(yīng)的空間覆蓋率進(jìn)行分析。

將一顆衛(wèi)星S在t時(shí)刻的瞬時(shí)對地覆蓋范圍記作ΛS(t),星座C在t時(shí)刻的瞬時(shí)對地覆蓋范圍記作ΛC(t),則

(1)

將一顆衛(wèi)星S在[tS,tE]時(shí)間段的累積覆蓋范圍記作ΛS([tS,tE]),星座C在[tS,tE]時(shí)間段的累積覆蓋范圍記作ΛC([tS,tE])。

則

(2)

(3)

而區(qū)域目標(biāo)R的空間覆蓋率是指區(qū)域目標(biāo)R中,被星座覆蓋的區(qū)域面積與區(qū)域目標(biāo)R的面積之比。令m[R]表示對一個(gè)區(qū)域目標(biāo)R的面積測度函數(shù),將空間覆蓋率記作η,則某時(shí)刻t下的瞬時(shí)覆蓋率為

(4)

時(shí)間段[tS,tE]下的累積覆蓋率為

(5)

對于公式(4)或公式(5),其計(jì)算的難點(diǎn)在于:

1) 星座對地覆蓋范圍ΛC(t)或ΛC([tS,tE])的表示。

2) 星座對地覆蓋范圍與任意形狀地面區(qū)域R相交范圍的計(jì)算。

3) 任意球面不規(guī)則區(qū)域的面積度量。

在本文的后續(xù),將提出一種算法,用于解決這3個(gè)方面的復(fù)雜性。

1.2 經(jīng)度條帶的基本概念

定義1經(jīng)度條帶。1條經(jīng)度條帶是指在地球表面上的2條相鄰近的經(jīng)線之間包圍的區(qū)域。2條經(jīng)線之間的經(jīng)度差叫做經(jīng)度條帶的寬度,2條經(jīng)線的中間值叫做經(jīng)度條帶的中央經(jīng)線。中央經(jīng)度為θ,條帶寬度為Δθ的經(jīng)度條帶記作L(θ,Δθ),在不強(qiáng)調(diào)條帶寬度或者中央經(jīng)度的時(shí)候可以簡記為L(θ)。

1條經(jīng)度條帶可以看作經(jīng)度與中央經(jīng)線相差小于Δθ/2的點(diǎn)的集合

L(θ,Δθ)={P∈G||θP-θ|<Δθ/2}

(6)

或1組與中央經(jīng)線的經(jīng)度差小于Δθ/2的經(jīng)線的集合

L(θ,Δθ)={E(α)||α-θ|<Δθ/2}

(7)

(8)

一個(gè)經(jīng)度條帶和一個(gè)緯度區(qū)間,可以得到一個(gè)經(jīng)度條帶的緯度范圍。

定義2緯度范圍。經(jīng)度條帶上的緯度范圍是該經(jīng)度條帶在緯度區(qū)間內(nèi)的區(qū)域。經(jīng)度條帶L以Π為緯度區(qū)間的緯度范圍記作LΠ,在強(qiáng)調(diào)經(jīng)度條帶的中央經(jīng)線與寬度時(shí)記作LΠ(θ,Δθ)。則

LΠ={P∈L|φP∈Π}

(9)

則可知,經(jīng)度條帶的緯度范圍,是經(jīng)度條帶的一個(gè)子集,即

LΠ?L

(10)

在有了緯度區(qū)間和緯度范圍的概念后,給出定義在這兩個(gè)結(jié)構(gòu)上的度量函數(shù)。對于Π,則依據(jù)公式(8)與公式(12),在其上定義一個(gè)度量‖Π‖

(11)

令m[R]表示對任意一個(gè)球面區(qū)域R的面積度量。將地球半徑歸一化為1,則通過球面面積公式可知,緯度范圍L[φL,φU](θ,Δθ)的球面面積為

m[L[φL,φU](θ,Δθ)]=Δθ·(sinφU-sinφL)

(12)

則緯度區(qū)間度量‖·‖與面積度量m[·]有關(guān)系如公式(13)所示

m[LΠ(θ,Δθ)]=Δθ·‖Π‖

(13)

根據(jù)經(jīng)度條帶的定義,可將全球劃分為若干個(gè)等寬度的經(jīng)度條帶的集合,即

(14)

式中

(15)

則可知,公式(14)得到的經(jīng)度條帶集合{L(θk,Δθ)|k=1,…,N}是對全球的一個(gè)劃分。

假設(shè)R為一個(gè)任意形狀球面區(qū)域,則區(qū)域R可以近似劃分為若干緯度范圍之并。

(16)

式中,Πj為經(jīng)度條帶L(θj)在區(qū)域R內(nèi)的緯度區(qū)間。該過程稱作對區(qū)域的條帶劃分。

一般而言,1組經(jīng)度條帶并集,與R所對應(yīng)的區(qū)域,并不是嚴(yán)格一致的,因?yàn)榫暥确秶鸀橐粋€(gè)或多個(gè)經(jīng)緯度框區(qū)域,而地面區(qū)域可以為任意形狀。因此,一般而言,會(huì)有一部分“誤判”區(qū)域。將誤判區(qū)域定義為ε,則

(17)

式中,A/B表示2個(gè)集合A與B之間的差集運(yùn)算。

對于一個(gè)特定的區(qū)域R和一個(gè)經(jīng)度條帶L(θj),其對應(yīng)的緯度區(qū)間Πj(R∩L(θj))可以有多種選擇。不同的Πj的選擇,將決定對區(qū)域的條帶劃分的不同性質(zhì)。當(dāng)然,Πj不能隨意選擇,而是需要滿足一定的合理性條件。一種合理的緯度區(qū)間Πj需要滿足如下基本條件:

定理1Πj的合理性條件。一種Πj的選擇是合理的,當(dāng)且僅當(dāng)Δθ→0時(shí),有ε→0。

在本文中,將提供2類不同的Πj的合理選擇。

滿足Πj合理性條件的球面區(qū)域劃分策略有多種,如以經(jīng)度條帶L(θj)的中央經(jīng)線E(θj)與區(qū)域R相交的得到的緯度區(qū)間作為Πj的選擇,即滿足Πj的合理性條件。除此之外,還可以有其他多重形式。本文中著重論述2類典型的形式,稱作Πj的下界形式與上界形式。

(18)

(19)

則可知

(20)

并且,當(dāng)Δθ→0,有

(21)

1.3 球面圓盤與經(jīng)線相交的緯度范圍計(jì)算

定義4球面圓盤。球面圓盤定義為到球面上某一點(diǎn)P的球面角距離小于等于α的所有球面點(diǎn)的集合。P稱作球面圓盤的圓心,α為球面圓盤的半徑。球面圓心為P半徑為α的球面圓盤,將其記作Θ(P,α),在不強(qiáng)調(diào)圓心與半徑時(shí)可以簡寫為Θ。

對于一個(gè)區(qū)域R,其邊界記作?R。則對球面圓盤的邊界記為?Θ,其為一個(gè)典型的球面圓。

分析Θ對經(jīng)線E(θ)的覆蓋范圍,?Θ與E(θ),二者可能有0個(gè)、1個(gè)或者2個(gè)交點(diǎn)。

對于經(jīng)緯度為(θ,φ)的一點(diǎn),在將地球半徑歸一化為單位長度的情況下,記該點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x,y,z),則由直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換公式可知

(22)

假設(shè)Θ的中心經(jīng)緯度為(θ0,φ0),球面圓與經(jīng)線E(θ)交點(diǎn)緯度為φ,則由公式(22)可知,在交點(diǎn)處滿足

cosφcosφ0cos(θ-θ0)+sinφsinφ0=cosα

(23)

則可知,Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)相交的必要條件是公式(23)有解,即

cos2φ0cos2(θ-θ0)+sin2φ0≥cos2α

(24)

解得

(25)

則當(dāng)θ滿足(25)式時(shí),Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)有交點(diǎn)。而當(dāng)θ不滿足公式(25)時(shí),Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)沒有交點(diǎn),此時(shí),Π(Θ∩E(θ))=?。

考慮二者有交點(diǎn)的情況,假設(shè)2個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,其中M點(diǎn)的緯度大于N點(diǎn)的緯度,則當(dāng)Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)相交時(shí),令

(26)

令

(27)

則

(28)

則球面圓與經(jīng)線的相交范圍為

(29)

1.4 球面圓盤與經(jīng)度條帶相交的緯度范圍計(jì)算

令Θ為一個(gè)中心(θ0,φ0)半徑為α的球面圓盤,其與經(jīng)度條帶L(θj,Δθ)相交的緯度范圍Π。

分析球面圓盤與經(jīng)線的相交的性質(zhì),根據(jù)公式(26)至(29),可以確定球面圓與經(jīng)線相交的緯度區(qū)間的性質(zhì)。當(dāng)θ=θ0時(shí),球面圓與經(jīng)線相交的緯度范圍最大,|θ-θ0|越大,球面圓與經(jīng)線相交的緯度范圍越小。則可知,相交區(qū)間范圍的最小值出現(xiàn)在經(jīng)度條帶的左右兩側(cè)經(jīng)線上。如果θ0∈[θ-Δθ,θ+Δθ],相交區(qū)間范圍的最大值出現(xiàn)在θ=θ0時(shí),否則,相交區(qū)間范圍的最大值出現(xiàn)在經(jīng)度條帶的左右兩側(cè)構(gòu)成經(jīng)線上。

則

Π(Θ∩E(θj-Δθ))∩Π(Θ∩E(θj+Δθ))

(30)

(31)

由此，可以得到球面圓盤與經(jīng)度條帶相交的緯度區(qū)間的上下界值。

1.5 任意球面區(qū)域與經(jīng)度條帶的相交性計(jì)算

假設(shè)R為一球面區(qū)域,則對任意的球面區(qū)域,都可以使用一個(gè)球面多邊形U對其進(jìn)行近似表示。一般而言,認(rèn)為可以使用球面多邊形U來完全代替球面區(qū)域R。如果希望在論述上更加嚴(yán)謹(jǐn),可以定義2個(gè)球面多邊形Uinf與Usup,使得Uinf?R?Usup。

本文中只考慮球面區(qū)域R為多邊形區(qū)域的情形。

考慮R為一個(gè)單連通球面凸多邊形。則由簡單的球面幾何知識(shí)可知,區(qū)域R可以看作是以R的邊界作為邊界的一組球面圓盤相交區(qū)域。即

(32)

式中,對任意k,都有?Θk∩?R≠?。

則球面凸多邊形與經(jīng)度條帶的相交范圍可以表示為

(33)

對于任意球面多邊形區(qū)域,可以看作是有限球面凸多邊形的并交叉補(bǔ)運(yùn)算,則有

(34)

則根據(jù)公式(34),可以得到任意形狀球面多邊形與經(jīng)度條帶的緯度區(qū)間。

1.6 衛(wèi)星星座對地覆蓋范圍

星座C在某個(gè)時(shí)刻t下對地面的瞬時(shí)覆蓋范圍記作ΛC(t)。在星座對地覆蓋問題中,很多情況下,需要的往往不止是某個(gè)時(shí)刻下的覆蓋范圍,而是星座在某個(gè)時(shí)間段下的覆蓋的累積效應(yīng)。

星座在某個(gè)時(shí)間段下的覆蓋累積效應(yīng),大致可分為兩類不同的需求。在通信、導(dǎo)航等領(lǐng)域,需要滿足在特定區(qū)域,星座每時(shí)每刻都需要滿足某種覆蓋要求,這種需求稱作連續(xù)性覆蓋需求。而在地面遙感、數(shù)據(jù)傳輸?shù)阮I(lǐng)域,只需要在某個(gè)時(shí)間段內(nèi),存在某個(gè)時(shí)刻滿足某種覆蓋要求即可,這種需求稱作累積性覆蓋需求。

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

1.7 使用經(jīng)度條帶法進(jìn)行覆蓋率計(jì)算

則由公式(16)與公式(37),可以得到

(40)

同樣,公式(40)也存在上界形式與下界形式

(41)

將衛(wèi)星星座C對地面目標(biāo)R的覆蓋率定義為在某個(gè)時(shí)刻或者某個(gè)時(shí)段下,星座對地面目標(biāo)中有覆蓋的區(qū)域面積與總的區(qū)域面積之比。

(42)

則由公式(40)與(42)可知,通過經(jīng)度條帶法,可以將不規(guī)則形狀的覆蓋率計(jì)算,轉(zhuǎn)換為區(qū)間的計(jì)算問題,然后通過簡單的區(qū)間度量計(jì)算,即可得到覆蓋率。

則根據(jù)公式(20)與(41)可以定義覆蓋率的下界ηinf與上界ηsup

(43)

(44)

由此,可以通過公式(43)與(44)得到覆蓋率的上界值與下界值,從而確定當(dāng)前劃分精度下的計(jì)算結(jié)果真實(shí)值所在的范圍。

下文將對這兩個(gè)問題進(jìn)行論述,從而得到通過經(jīng)度條帶法對任意區(qū)域任意形式的覆蓋問題的求解算法。

2 星座對地覆蓋范圍計(jì)算

時(shí)間離散化的基本方法是,令t0=tS,tN=tE,由此得到時(shí)間點(diǎn)的集合T={t0,t1,…,tN},對任意k=0,1,2,…,N,都滿足tk=t0+k·Δt,其中,Δt=(tE-tS)/N。使用時(shí)間點(diǎn)集合T來代替時(shí)間段[tE,tS],來對連續(xù)時(shí)間段進(jìn)行求解。

(45)

(46)

通過簡單的集合論的結(jié)論可知,在任意情況下,都有以下結(jié)論

(47)

(48)

由此可知,時(shí)間離散化策略會(huì)使得累積覆蓋問題與連續(xù)覆蓋問題結(jié)果帶來傾向性的偏差,對連續(xù)性覆蓋率而言,會(huì)使得計(jì)算結(jié)果比真實(shí)值偏大,而對于累積性覆蓋率而言,計(jì)算結(jié)果比真實(shí)值偏小。

如果要更為精確地計(jì)算連續(xù)性覆蓋問題與累積性覆蓋問題,需要提出其他策略。第一種策略,設(shè)計(jì)其他求解算法,得到覆蓋范圍。第二種策略,通過得到覆蓋范圍的上界和下界來進(jìn)行計(jì)算。

2.1 累積性覆蓋問題計(jì)算

在進(jìn)行累積性覆蓋問題分析時(shí),由于衛(wèi)星是周期性的運(yùn)行的,在進(jìn)行分析時(shí),需要將時(shí)間段進(jìn)行劃分。時(shí)間段劃分的過程,與時(shí)間離散化過程類似。只不過時(shí)間段劃分的結(jié)果并非得到離散的時(shí)間點(diǎn),而是時(shí)間段的集合。

T′={[t0,t1],[t1,t2],…,[tN-1,tN]}

(49)

在累積性覆蓋問題分析中,每一個(gè)時(shí)間段的長度可以較長,比如選擇0.5個(gè)衛(wèi)星周期。則對于劃分的時(shí)間段

(50)

則由公式(50),可將星座對一個(gè)較長時(shí)間段內(nèi)的累積覆蓋問題轉(zhuǎn)換為星座對若干較短時(shí)段內(nèi)的累積覆蓋范圍的并集。

圖1 衛(wèi)星對經(jīng)線累積覆蓋示意圖

如圖1所示,AB為經(jīng)度為θ的經(jīng)線E(θ),P到Q為衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡的一段。M和N為同一衛(wèi)星在2個(gè)不同時(shí)刻的位置,當(dāng)衛(wèi)星星下點(diǎn)在M點(diǎn)時(shí)能覆蓋該經(jīng)度條帶上最小的緯度點(diǎn)L,當(dāng)衛(wèi)星星下點(diǎn)在N點(diǎn)時(shí)能覆蓋該經(jīng)度條帶上最小的緯度點(diǎn)U。由于衛(wèi)星的位置是一個(gè)隨時(shí)間連續(xù)變化的過程,則在一個(gè)時(shí)間窗口內(nèi)衛(wèi)星對一個(gè)經(jīng)度條帶的覆蓋緯度區(qū)間是一個(gè)連續(xù)區(qū)間。要計(jì)算衛(wèi)星在該時(shí)間段內(nèi)對經(jīng)線的覆蓋緯度區(qū)間,只需要該連續(xù)區(qū)間的邊界值即可,即圖中所示的U、L點(diǎn)。該經(jīng)度條帶上U、L之間的點(diǎn)是必然可以被覆蓋的。

考慮這個(gè)時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星對經(jīng)線有覆蓋的時(shí)間區(qū)間,記作[tk-1,tk]。則當(dāng)t∈[tk-1,tk],衛(wèi)星對經(jīng)線的覆蓋范圍下界值與上界值可分別看作是一個(gè)以時(shí)間t為自變量的函數(shù),分別稱為衛(wèi)星對經(jīng)線的覆蓋下界函數(shù)與覆蓋上界函數(shù)?？紤]衛(wèi)星攜帶簡單圓錐體傳感器,也就是說,衛(wèi)星的對地瞬時(shí)覆蓋范圍為一個(gè)球面圓。由文獻(xiàn)[25]中的結(jié)論,若衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡上的每一點(diǎn)的球面曲率半徑都大于衛(wèi)星瞬時(shí)覆蓋圓的球面半徑,衛(wèi)星對經(jīng)線的覆蓋下界函數(shù)與覆蓋上界函數(shù)均為單峰函數(shù),對于中低軌衛(wèi)星而言,該結(jié)論是一直都成立的。但需要注意的是,如果衛(wèi)星對地瞬時(shí)覆蓋范圍不是球面圓,而是其他圖形,則星座對經(jīng)線的覆蓋下界函數(shù)與覆蓋上界函數(shù)為單峰函數(shù)的結(jié)論可能不能成立。

而對于單峰函數(shù),經(jīng)典的最值求解方法三分法可以快速求得函數(shù)極值。而對于衛(wèi)星瞬時(shí)覆蓋范圍不是球面圓的情況,則該方法無效,只能通過時(shí)間離散化進(jìn)行近似求解。

(51)

同時(shí),星座累積覆蓋范圍與經(jīng)度條帶相交的緯度區(qū)間的上下界值可以由(52)～(53)式給出

2.2 連續(xù)性覆蓋問題計(jì)算

則要通過上下界方式來確定連續(xù)性覆蓋范圍,還需要找到連續(xù)性覆蓋問題的一個(gè)下界。

在對連續(xù)性覆蓋問題進(jìn)行分析時(shí),同樣需要進(jìn)行時(shí)間段劃分得到仿真時(shí)段集合。

(54)

(55)

而對于星座在時(shí)間段[tk-1,tk]內(nèi)的累積覆蓋范圍與單顆衛(wèi)星的覆蓋范圍之間有如下關(guān)系

(56)

并且當(dāng)Δt→0時(shí)有

(57)

由此,得到一個(gè)連續(xù)性覆蓋范圍的下界。需要說明的是,累積性覆蓋的時(shí)間劃分可以選擇為半個(gè)周期,但對連續(xù)性覆蓋,時(shí)間劃分的長度為更短的數(shù)值,否則可能會(huì)導(dǎo)致ΛS(tk-1)∩ΛS(tk)=?,而令覆蓋率的下界值為0,使得結(jié)果沒有價(jià)值。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過數(shù)值仿真對所提出的經(jīng)度條帶法的性能進(jìn)行驗(yàn)證,數(shù)值仿真時(shí)段起始時(shí)刻為2020年1月1日00∶00∶00,結(jié)束時(shí)刻為2020年1月1日01∶00∶00,仿真時(shí)長為1 h?？紤]一Walker星座,其星座構(gòu)型為40/4/1,所有衛(wèi)星都處于高度1 300 km的圓軌道上,軌道傾角為45°。所有衛(wèi)星除中心引力外,只考慮J2攝動(dòng)影響。星座中的每顆衛(wèi)星都攜帶有相同類型的簡單圓錐體傳感器,對地面無側(cè)擺。下文中將對累積覆蓋問題和連續(xù)性覆蓋問題進(jìn)行分析。為了使得結(jié)果保持在合適的大小,將為2類覆蓋問題,設(shè)置不同的傳感器參數(shù)。

為驗(yàn)證經(jīng)度條帶法在不同類型地面區(qū)域的性能,以美國大陸范圍為目標(biāo)。該目標(biāo)是由3 369個(gè)球面點(diǎn)組成的球面不規(guī)則凹多邊形區(qū)域。

在進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí),給出“條帶精度”的概念:

定義5條帶精度。條帶精度定義為赤道上1 km的寬度內(nèi)含有的條帶數(shù)目。對于L(θ,Δθ),其條帶精度κ定義為

(58)

式中,RE為地球半徑,單位取km,Δθ為條帶寬度,以弧度制表示。

在后續(xù)仿真實(shí)驗(yàn)中,為了將經(jīng)度條帶法與傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法在計(jì)算效率上進(jìn)行對比,可以在傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法領(lǐng)域,定義和條帶精度等價(jià)的概念,即1 km2內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目的開平方。從數(shù)學(xué)角度分析可知,在這種定義下,2種精度可以近似等價(jià),即相同的精度下,2種算法的計(jì)算誤差相當(dāng)。

3.1 累積覆蓋問題數(shù)值仿真

對于累積覆蓋問題,考慮傳感器半視場角為10°,則在1 h的仿真時(shí)間內(nèi),星座對目標(biāo)的累積覆蓋率上下界隨條帶精度變化曲線如圖2所示。

圖2 星座對目標(biāo)的覆蓋率上下界隨條帶精度的變化曲線

如圖2所示,對于累積覆蓋問題,對于不規(guī)則形狀球面凹多邊形目標(biāo),經(jīng)度條帶法都可對其進(jìn)行求解,當(dāng)條帶精度較低時(shí),覆蓋率上界與下界結(jié)果差別較大,隨著條帶精度增加,覆蓋率的上下界值會(huì)收斂為同一個(gè)值。

圖3 經(jīng)度條帶法與傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法求解累積覆蓋問題計(jì)算時(shí)間隨精度變化曲線

當(dāng)時(shí)間間隔為15 s時(shí),經(jīng)度條帶法和傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法在對目標(biāo)的累積覆蓋問題求解時(shí),計(jì)算時(shí)間隨著精度的變化曲線如圖3所示。由圖3可知,傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法在計(jì)算精度增加10倍的情況下,計(jì)算時(shí)間增加約100倍,而經(jīng)度條帶法在計(jì)算精度增加10倍的情況下,計(jì)算時(shí)間增加約10倍。也就是說,傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法計(jì)算時(shí)間隨計(jì)算精度呈平方形式增加,而經(jīng)度條帶法呈近似線性的增加。

3.2 連續(xù)覆蓋問題數(shù)值仿真

對于連續(xù)覆蓋問題,考慮傳感器半視場角為52°,則在1 h的仿真時(shí)間內(nèi),計(jì)算星座對目標(biāo)的連續(xù)性覆蓋率上下界結(jié)果。

連續(xù)性覆蓋問題和累積覆蓋問題的求解方法有所不同。對于累積覆蓋問題,采用單峰函數(shù)求極值的方法進(jìn)行求解,而對于連續(xù)性覆蓋問題,則依賴于劃分的時(shí)間間隔的上下界。因此,不同的時(shí)間間隔,對于覆蓋率上下界值會(huì)有較大影響。

圖4 不同時(shí)間間隔下星座對目標(biāo)的連續(xù)性覆蓋率上下界隨條帶精度的變化曲線

圖4為時(shí)間間隔為15 s時(shí),星座對目標(biāo)的連續(xù)性覆蓋率隨條帶精度的變化曲線。對于連續(xù)性覆蓋問題,對于任意形狀球面凹多邊形目標(biāo),經(jīng)度條帶法都可對其進(jìn)行求解。對于某個(gè)特定的時(shí)間間隔下,隨著劃分精度的提高,覆蓋率的上界和下界趨于收斂于同一值。

時(shí)間間隔為15 s時(shí),經(jīng)度條帶法和傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法在對目標(biāo)連續(xù)性覆蓋計(jì)算時(shí)間隨著精度的變化曲線如圖5所示。連續(xù)覆蓋問題計(jì)算時(shí)間隨計(jì)算精度的變化規(guī)律,與累積覆蓋問題的變化規(guī)律相同。

圖5 經(jīng)度條帶法與傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法求解連續(xù)性覆蓋問題計(jì)算時(shí)間隨精度變化曲線

圖3及圖5仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,經(jīng)度條帶法在求解累積性覆蓋問題和連續(xù)性覆蓋問題下,都有比傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法更高的計(jì)算效率。

4 結(jié) 論

本文提出了一種計(jì)算星座對地覆蓋問題的求解算法—經(jīng)度條帶法,使用形式化的符號(hào)對經(jīng)度條帶法的覆蓋問題求解過程進(jìn)行描述,并給出對累積覆蓋率和連續(xù)性覆蓋率的上下界求解算法。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法可對連續(xù)性覆蓋問題和累積覆蓋問題進(jìn)行求解,并且能夠?qū)Ψ且?guī)則任意形狀地面目標(biāo)進(jìn)行求解。與傳統(tǒng)網(wǎng)格點(diǎn)法相比,該算法具有更高的效率。

與網(wǎng)格點(diǎn)法相比,經(jīng)度條帶法也有一些不足之處,主要體現(xiàn)在,經(jīng)度條帶法只能用于計(jì)算以“面積”這個(gè)概念為基礎(chǔ)的覆蓋性能指標(biāo),如覆蓋率、覆蓋面積等。而對于非面積概念的性能指標(biāo),如觀測仰角計(jì)算、區(qū)域GDOP計(jì)算、區(qū)域平均重訪時(shí)間計(jì)算等,該算法目前還無法完成。后續(xù)工作,可從對經(jīng)度條帶法的非面積概念性能指標(biāo)的計(jì)算進(jìn)行開展。