劉曉冬, 張沛良, 何光洪, 王永恩, 楊旭東

(1.沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所, 遼寧 沈陽(yáng) 110035; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

目前結(jié)合數(shù)值模擬技術(shù)的氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要分為兩類：隨機(jī)類方法和梯度類方法[1-2]。隨機(jī)類方法追蹤目標(biāo)函數(shù)值相關(guān)信息，帶有“隨機(jī)”特性，具有全局性好、不要求設(shè)計(jì)變量連續(xù)分布以及導(dǎo)數(shù)存在等假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)，如遺傳算法、代理模型方法等[3]，但其缺點(diǎn)是在采用N-S方程進(jìn)行多設(shè)計(jì)變量的多目標(biāo)氣動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，CFD計(jì)算量巨大。盡管在過去幾十年里計(jì)算機(jī)能力大大提高，但執(zhí)行大量工程實(shí)際設(shè)計(jì)仍然不切實(shí)際，目前遺傳算法應(yīng)用仍局限于設(shè)計(jì)變量較少的設(shè)計(jì)問題；代理模型計(jì)算量相對(duì)遺傳算法雖然有所減少，但其適用性受到設(shè)計(jì)變量取值范圍和空間樣本點(diǎn)分布的影響，不合理的設(shè)計(jì)變量及樣本點(diǎn)分布將難以獲得高精度的代理模型，從而導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果偏離設(shè)計(jì)要求[4]。上述缺陷限制了隨機(jī)類方法在多設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)問題中的應(yīng)用。

在梯度類方法中，基于伴隨理論的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法(控制理論、共軛方法)在兼顧梯度的精確、快速求解和計(jì)算量方面取得較大的進(jìn)步[1,5]。其以偏微分方程系統(tǒng)的控制理論為基礎(chǔ)，把物面邊界作為控制函數(shù)，基于拉格朗日的觀點(diǎn)將線化流動(dòng)方程作為約束引入到目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量的表達(dá)式中，將設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為控制問題，計(jì)算量只相當(dāng)于兩倍流場(chǎng)計(jì)算量，與設(shè)計(jì)變量數(shù)目無關(guān)。國(guó)外采用伴隨方法在翼型、機(jī)翼和翼身組合體乃至全機(jī)的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，取得了一系列的研究成果[5-11]。在國(guó)內(nèi)，比較具代表性的是西北工業(yè)大學(xué)以喬志德教授為核心的團(tuán)隊(duì)，先后對(duì)翼型、機(jī)翼和翼身組合體開展了基于連續(xù)/離散伴隨方法的Euler和N-S方程的優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了比較滿意的結(jié)果[12-14]；西安交通大學(xué)的豐鎮(zhèn)平教授將伴隨方法應(yīng)用到內(nèi)流領(lǐng)域的二維、三維透平葉柵氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中[1,15]；西北工業(yè)大學(xué)白俊強(qiáng)團(tuán)隊(duì)近幾年采用伴隨方法在大型客機(jī)氣動(dòng)減阻和聲爆特性優(yōu)化方面做了研究[16-17]?？偟膩碚f，目前國(guó)內(nèi)基于伴隨方法在氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)中取得了一些較為成熟的結(jié)果，提高了伴隨方法在氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)方面的工程應(yīng)用前景，今后還將不斷發(fā)展完善。

飛翼布局由于良好的氣動(dòng)效率及隱身特性，在軍用飛機(jī)得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)飛翼布局又存在操縱效能低，配平損失等典型問題[18]。所以無尾飛翼布局的氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)是涉及總體、氣動(dòng)、控制、結(jié)構(gòu)、隱身等專業(yè)約束的綜合設(shè)計(jì)問題，即多目標(biāo)多約束的設(shè)計(jì)問題。一般來說，要求飛機(jī)在巡航狀態(tài)時(shí)具有較高升阻比，同時(shí)具有較小的低頭力矩，從而不會(huì)引起較大的配平損失，而這兩種要求往往是矛盾的，尤其在飛翼布局上表現(xiàn)的較為突出，即提高巡航升阻比的同時(shí)會(huì)帶來較大的低頭力矩。為了解決飛翼布局設(shè)計(jì)中的這種問題，本文基于伴隨方法的基本原理，發(fā)展了一種考慮氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)約束的飛翼布局多目標(biāo)多約束氣動(dòng)優(yōu)化方法，并進(jìn)行了典型算例驗(yàn)證。

1 流動(dòng)控制方程

采用結(jié)構(gòu)化貼體網(wǎng)格進(jìn)行空間數(shù)值離散，并按照求和約定，在計(jì)算域中，N-S方程可表示為：

(1)

2 伴隨方程及邊界條件

2.1 伴隨方法優(yōu)化設(shè)計(jì)原理

氣動(dòng)優(yōu)化問題是以外形變化對(duì)氣動(dòng)特性的影響為基礎(chǔ)而進(jìn)行的,氣動(dòng)特性的目標(biāo)函數(shù)可表述為:

(2)

dBξ,dDξ分別為計(jì)算空間中的表面與空間積分單元，M與P取決于流動(dòng)變量w及計(jì)算空間的矩陣S。

在滿足流場(chǎng)控制方程約束條件下,氣動(dòng)外形的變化將導(dǎo)致流動(dòng)變量變分δw與矩陣變分δS,目標(biāo)函數(shù)的變化可表示為

(3)

式中:δM=[Mw]Ⅰδw+δMⅡ,δP=[Pw]Ⅰδw+δPⅡ；下標(biāo)Ⅰ表示由流動(dòng)變量變化δw引起的貢獻(xiàn)；下標(biāo)Ⅱ表示由矩陣變化δS引起的貢獻(xiàn)。

定常狀態(tài)下,氣動(dòng)外形變化的約束方程可表述為

(4)

引入伴隨矢量ψ=(ψ1,φ1,φ2,φ3,θ)T,與(4)式在整個(gè)計(jì)算空間求積,則有

(5)

假定ψ可微,(5)式分部積分及高斯定理可進(jìn)一步寫成

(6)

整合(3)、(5)、(6)式,目標(biāo)函數(shù)變分可寫為

(7)

令(7)式中空間積分項(xiàng)流動(dòng)物理量變分δw系數(shù)項(xiàng)組合為0,則可得伴隨方程

(8)

令(7)式邊界積分中流動(dòng)物理量變分δw的系數(shù)項(xiàng)組合在一起為0,則得對(duì)應(yīng)的伴隨方程邊界條件

(9)

剩余項(xiàng)即為目標(biāo)函數(shù)的梯度求解公式

(10)

2.2 伴隨方程

鑒于伴隨方程理論推導(dǎo)的復(fù)雜性,詳細(xì)過程可參考文獻(xiàn)[12],此處僅給出最終的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

(11)

式中：矢量Y中a為聲速；Pr為普朗特?cái)?shù)。

2.3 減阻優(yōu)化多目標(biāo)函數(shù)

為了實(shí)現(xiàn)飛翼布局設(shè)計(jì)點(diǎn)有效減阻優(yōu)化,綜合考慮以下設(shè)計(jì)目標(biāo)。

通過加權(quán)組合方法定義如(12)式的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)

(12)

2.4 伴隨方程邊界條件

定義自由來流馬赫數(shù)M∞,壓力P∞,迎角α以及參考面積Sref,力矩參考點(diǎn)(xref,yref),易知

則升力系數(shù)、阻力系數(shù)、俯仰力矩系數(shù)中流動(dòng)變量的變分為

由(12)式得,目標(biāo)函數(shù)中流動(dòng)變量的變分為

(19)

根據(jù)(9)式在參考文獻(xiàn)[12]中伴隨方程邊界條件的推導(dǎo)可知

(20)

由(20)式得方程組,并求解伴隨邊界條件為

(21)

2.5 梯度方程

同理,根據(jù)(10)式目標(biāo)函數(shù)及流動(dòng)控制方程中對(duì)矩陣的變分項(xiàng),即可獲得梯度求解式為

(22)

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程與數(shù)值求解

圖1給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖。

圖1 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

網(wǎng)格生成:采用無限插值法生成結(jié)構(gòu)化計(jì)算網(wǎng)格,同時(shí)采用正交控制、加權(quán)平均光順和法向量控制等措施確保網(wǎng)格質(zhì)量。

流場(chǎng)數(shù)值求解:采用Jameson的中心格式有限體積法進(jìn)行空間離散,五步Runge-Kutta顯示格式時(shí)間推進(jìn),同時(shí)加入人工黏性抑制振蕩,采用當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)、隱式殘值光順、多重網(wǎng)格等加速收斂措施;湍流模型采用B-L湍流模型。

伴隨方程數(shù)值求解:采用與N-S方程類似的數(shù)值解法。

設(shè)計(jì)變量及優(yōu)化算法:采用Hicks-Henne形狀函數(shù)描述設(shè)計(jì)變量對(duì)物體外形變化的影響,同時(shí)采用最速下降法進(jìn)行梯度搜索。

4 算例分析

4.1 算例1:某小展弦比飛翼減阻設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)點(diǎn):Ma=0.85,α=3°,控制剖面取機(jī)翼3個(gè)剖面,每個(gè)剖面26個(gè)設(shè)計(jì)變量,共78個(gè)設(shè)計(jì)變量。計(jì)算網(wǎng)格采用C-H網(wǎng)格,如圖2所示。先后開展了2種不同約束下的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖2 C-H計(jì)算網(wǎng)格示意圖

設(shè)計(jì)1:升力、面積約束下的減阻優(yōu)化設(shè)計(jì),根據(jù)設(shè)計(jì)狀態(tài),限定升力系數(shù)、各剖面面積相對(duì)約束值變化不超過5%。選取目標(biāo)函數(shù)中各部分的權(quán)值分別為:Ω1=120,Ω2=1,Ω3=0,Ω4=1。

表1給出了初始與設(shè)計(jì)外形的氣動(dòng)特性與幾何特性具體數(shù)值對(duì)比。從中看到,初始阻力系數(shù)為0.013 1,升力系數(shù)為0.213 7,優(yōu)化設(shè)計(jì)25步后,阻力系數(shù)變?yōu)?.010 6,升力系數(shù)變?yōu)?.214 3,阻力系數(shù)下降19.5%,而升力系數(shù)、各控制剖面面積滿足約束條件。

表1 某小展弦比飛翼不同約束條件優(yōu)化前后特性對(duì)比

注意到相比初始外形,優(yōu)化后帶來了較大的低頭力矩,這樣就會(huì)帶來較大的配平損失,從而導(dǎo)致實(shí)際使用升阻比降低。

設(shè)計(jì)2:為改善設(shè)計(jì)1帶來的問題,進(jìn)行了升力、俯仰力矩、面積共同約束下的減阻優(yōu)化設(shè)計(jì),對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)中各部分的權(quán)值分別取:Ω1=120,Ω2=1,Ω3=0.01,Ω4=1,保證|Cm|≤0.004。表1為優(yōu)化后具體的數(shù)值變化。迭代優(yōu)化12步后,阻力系數(shù)減小為0.010 8(與設(shè)計(jì)1保持相同量級(jí)),下降約18.0%;升力系數(shù)變?yōu)?.206 7,減小3.3%,變化相對(duì)較大,但也滿足約束條件;俯仰力矩系數(shù)由初始的0.001 8變?yōu)?0.001 6,滿足約束條件;各控制剖面面積變化同樣滿足約束指標(biāo)。

圖4給出了初始外形與2種約束下優(yōu)化設(shè)計(jì)外形機(jī)翼展向不同站位剖面壓力分布對(duì)比?？梢郧宄乜吹?種設(shè)計(jì)外形機(jī)翼上表面的激波都被很大程度削弱,不同之處在于有力矩約束得到的外形壓力分布在50%弦長(zhǎng)前負(fù)壓值較大,50%弦長(zhǎng)后負(fù)壓值則較小,則對(duì)應(yīng)上表面的壓心靠前,因此不會(huì)帶來很大的低頭力矩,與氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果一致。

圖3 初始外形與無/有力矩約束優(yōu)化設(shè)計(jì)外形表面壓力對(duì)比

通過算例1的2種優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了所定義的目標(biāo)函數(shù),推導(dǎo)的伴隨方程邊界條件及梯度求解公式是正確并有效的。

4.2 算例2:某大展弦比飛翼減阻設(shè)計(jì)

采用本文所發(fā)展的方法,對(duì)某大展弦比飛翼進(jìn)行跨聲速狀態(tài)升力、俯仰力矩和面積約束下的減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)點(diǎn):Ma=0.75,α=4°,目標(biāo)函數(shù)中各部分的權(quán)值分別取:Ω1=50,Ω2=2,Ω3=0.001,Ω4=0.5,限定升力系數(shù)、各剖面面積相對(duì)約束值變化不超過5%,俯仰力矩-0.004≤Cm≤0.008;控制剖面取機(jī)翼的4個(gè)剖面,每個(gè)剖面26個(gè)設(shè)計(jì)變量,加上4個(gè)剖面扭轉(zhuǎn)角,共108個(gè)設(shè)計(jì)變量。

表2給出了優(yōu)化前后氣動(dòng)力系數(shù)及控制剖面面積的具體數(shù)值變化。優(yōu)化迭代8步,阻力系數(shù)由初始的0.016 65減小為0.015 06,下降約9.55%;升力系數(shù)由0.361變?yōu)?.355,減小1.66%,滿足約束條件;俯仰力矩系數(shù)由初始的0.006 2變?yōu)?.003 6,滿足約束條件;各控制剖面面積變化也滿足約束指標(biāo)。

表2 某大展弦比飛翼優(yōu)化前后氣動(dòng)、幾何特性對(duì)比

圖4給出了機(jī)翼展向不同站位剖面壓力分布及外形對(duì)比?？梢钥吹皆O(shè)計(jì)外形上表面壓力負(fù)壓峰值區(qū)域減小,逆壓梯度變小,展向不同位置的激波強(qiáng)度都有不同程度的減弱,尤其在展向60%～70%范圍激波削弱明顯。對(duì)應(yīng)剖面外形的主要變化趨勢(shì)是最大厚度略有減小,且弦向位置略有后移;扭轉(zhuǎn)角主要是靠近對(duì)稱面的剖面有了一個(gè)較小的正扭轉(zhuǎn)角,其余剖面變化不大。

圖4 初始外形與優(yōu)化外形展向不同剖面外形及壓力對(duì)比

5 結(jié) 論

本文針對(duì)飛翼布局氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)多約束問題，基于伴隨方法和N-S方程發(fā)展了一種氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并先后進(jìn)行了2種不同展弦比飛翼布局的跨聲速減阻優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明：

1) 通過構(gòu)建合理的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)形式來解決氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)多約束問題是合適的，根據(jù)伴隨方法基本原理推導(dǎo)的伴隨方程物面邊界條件以及梯度求解方程是正確、有效的；

2) 所發(fā)展的設(shè)計(jì)方法在飛翼布局的多約束氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題上，具有良好的設(shè)計(jì)效果和優(yōu)化效率，因此在工程上具有廣闊的應(yīng)用前景。