汪家興，寧宇航，洪洋

（電子科技大學(xué)物理學(xué)院，四川成都，611731）

0 引言

天線作為接收和發(fā)射電磁波的裝置，在地面通信、衛(wèi)星通信、遙感遙測和電子對抗等領(lǐng)域起到了十分重要的作用。但隨著通信電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)和設(shè)計日益復(fù)雜，需要尋找一些快速高效的電磁設(shè)計方法。傳統(tǒng)的天線設(shè)計過程往往需要將全波電磁仿真軟件（如CST、HFSS）和智能優(yōu)化算法相結(jié)，并能得到十分精準(zhǔn)的結(jié)果[1-3]。但是，在該過程中通常需要上千次地進行電磁仿真，對計算機資源和時間成本的巨大消耗限制了該方法的運用。

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）為微波元件的建模、仿真和優(yōu)化提供了一個快速和準(zhǔn)確的模型，成為了電磁仿真軟件的一種優(yōu)良替代模型[4-5]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能對訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)進行學(xué)習(xí)，從而逼近輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)間的非線性映射關(guān)系。對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練問題，需要使用一些特殊的算法。其中應(yīng)用最為廣泛使用的是反向傳播（BP）算法[6],[7]，但是卻有著容易陷入局部極小的缺點。彈性反向傳播（RP）算法的提出在一定程度上改善了這個問題[8]。此外，有學(xué)者提出將粒子群優(yōu)化（PSO）算法和遺傳算法（GA）等全局尋優(yōu)算法用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練以改善陷入局部最優(yōu)的問題[9-11]，取得了一定效果。

為了加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中的收斂速度、避免陷入局部極小并獲得良好的泛化能力，本文提出了一種基于梯度粒子群（GPSO）算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并用于了寬帶E形天線的建模和優(yōu)化問題。所提出GPSO 算法是一種結(jié)合了梯度下降（GD）算法和PSO算法的混合算法，被用于前期的訓(xùn)練中以獲得網(wǎng)絡(luò)的初始結(jié)構(gòu)參量，接著用RP算法進行更加細(xì)致的網(wǎng)絡(luò)參量優(yōu)化。本文提出的GPSO-RPNN模型與RP算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（RPNN）和基于PSO-RP算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（PSO-RPNN）進行了對比，驗證了GPSO-RPNN具有更快的收斂速度和更好的預(yù)測精度。

1 模型描述

■1.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

本論文采用了一個三層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對天線問題進行建模（大多數(shù)電磁建模問題采用3層或4層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）。該網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淠Ｐ陀梢粋€輸入層、一個隱藏層以及一個輸出層構(gòu)成，每層結(jié)構(gòu)之間的神經(jīng)元通過權(quán)值進行連接。假設(shè)輸入層、隱藏層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)分別m、n和l，WEn×m和WSm×l分別是輸入層到隱藏層、隱藏層到輸出層間的連接權(quán)值所構(gòu)成的矩陣，bn×1、dl×1分別是隱藏層和輸出層神經(jīng)元的閾值構(gòu)成的矩陣，整個網(wǎng)絡(luò)的輸出可表示為：

其中，f1和f2分別是隱藏層和輸出層的激勵函數(shù)，X是輸入樣本矢量。通常使用Sigmoid函數(shù)作為隱藏層神經(jīng)元的激勵函數(shù)，輸入層和輸出層神經(jīng)元則采用一次函數(shù)作為激勵函數(shù)。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程中和檢測其預(yù)測精度時需要構(gòu)建一個誤差評判標(biāo)準(zhǔn)，也即是需要構(gòu)造一個代價函數(shù)。這里用平均絕對誤差(MAE)作為誤差評判標(biāo)準(zhǔn)，其表達(dá)式為：

其中，YSij、Yij分別是第i個樣本的第j個真實值和網(wǎng)絡(luò)的輸出值，M是樣本的總數(shù)量。

■1.2 算法描述

1.2.1 粒子群優(yōu)化算法

PSO算法是一種模擬鳥群覓食行為的智能優(yōu)化算法，由多個粒子集合成的群體組成，其中的每個粒子代表著一個潛在的最優(yōu)解。PSO算法在尋優(yōu)過程中，群中粒子在超空間中飛行，每個粒子均具有記憶性，即能記錄下自身的最優(yōu)位置PB和整個群體的最優(yōu)位置GB。每個粒子在每次迭代中的速度和位置由以下公式進行更新：

其中，Vi(t)和Xi(t)是第i個粒子在第t次迭代中的速度和位置，r1和r2是0和1間的隨機數(shù)，ω是慣性權(quán)重，它在整個迭代過程中是線性遞減的，采用如下公式進行更新：

其中ωmax、ωmin和T均為常數(shù)，可以根據(jù)實際優(yōu)化問題進行靈活定義。

1.2.2 梯度粒子群算法

本文提出的梯度粒子群算法是梯度下降算法和PSO算法相結(jié)合所構(gòu)成的混合算法。梯度下降算法（GD）對不同的線性系統(tǒng)優(yōu)化問題表現(xiàn)出了高效的收斂速度和良好的精度，但對于非線性系統(tǒng)的優(yōu)化問題則十分容易陷入局部最小，這是因為GD對非線性問題進行優(yōu)化時十分依賴于初始點的選取。解決這個問題的一種方法是啟用多個初值點，將諸如PSO、GA、差分進化算法等隨機優(yōu)化算法與梯度下降算法進行結(jié)合。這些隨機算法在進行優(yōu)化的初始階段能夠迅速收斂，但是當(dāng)收斂到最優(yōu)值附近時收斂又會變得十分緩慢，將兩者有效的結(jié)合能夠發(fā)揮各自的優(yōu)點。梯度下降算法對神經(jīng)網(wǎng)中第i層第j個神經(jīng)元的權(quán)值βij和閾值θij的更新規(guī)則是：

其中：YSij是該神經(jīng)元的輸出，λ是學(xué)習(xí)速率。

1.2.3 GPSO-RP算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程

本文的算法流程均在MATLAB中編寫程序?qū)崿F(xiàn)，并利用了MATLAB調(diào)用電磁仿真軟件CST進行天線仿真和樣本采集，從而使得整個過程能夠自動完成。具體步驟如下：

(1) 確定天線的結(jié)構(gòu)，在CST中進行建模并用MATLAB調(diào)用CST完成訓(xùn)練樣本的采集。

(2) 確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，包括輸入層、隱藏層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)。

(3) 初始化優(yōu)化參數(shù)和確定優(yōu)化問題，包括以下三個方面：第一點，確定PSO中的種群規(guī)模，最大迭代次數(shù)T以及速度、位置的上下限。第二點，采用隨機賦值的方式對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每層神經(jīng)元之間的權(quán)值WE、WS和神經(jīng)元的閥值b、d進行賦值，將結(jié)果儲存在粒子中完成初始種群的構(gòu)建。第三點，明確優(yōu)化問題和代價函數(shù)。在優(yōu)化過程中，不斷更新WE、WS、b和d，使得代價函數(shù)逐漸降低。

(4) 計算每個粒子的損失函數(shù)，更新個體最優(yōu)位置PB和全局最優(yōu)位置GB。

(5) 根據(jù)公式(1)和(2)計算出下一代粒子的速度和位置，產(chǎn)生新一代粒子。

(6) 根據(jù)公式(7)和(8)更新粒子的位置。這里可以采用并行計算的方法加快運算速度。

(7) 重復(fù)(4)~(7)，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)T。

(8) 確定RP算法的最大迭代次U，將GPSO算法優(yōu)化得到的WE、WS、b和d賦給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

(9) 用RP算法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閥值，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)U時停止。RP算法的具體內(nèi)容可以參見文獻(xiàn)[8]，這里不再贅述。

2 結(jié)果和分析

■2.1 E形貼片天線的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

本文提出的梯度粒子群神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將被用于一種E形寬帶貼片天線[12]的建模和優(yōu)化問題中，其幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。該貼片天線是在厚度h=3.175mm的Rogers 5880介質(zhì)基板上制作的，其相對介電常數(shù)為2.2，損耗正切角為0.0009。天線由同軸線饋電，饋電點距離貼片中心點的距離為dp。WR和Ps的長度已經(jīng)確定，分別為WR=21mm、Ps=5.2mm。在用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行建模時，四個設(shè)計參數(shù)dp、LS、LR、WS以及頻率f作為網(wǎng)絡(luò)輸入，回波損耗(S11)作為輸出。頻率范圍為4.8~6.4GHz，每組幾何結(jié)構(gòu)有65個頻點。采用部分組合正交實驗設(shè)計的方法對四個設(shè)計參數(shù)進行取樣，獲得64組訓(xùn)練樣本和12組測試樣本(包括65×64個訓(xùn)練樣本和12×64個測試樣本)，樣本中每個參數(shù)的范圍和取樣步長如表1所示。

表1 設(shè)計參數(shù)的取樣范圍和取樣步長（單位均為mm）

圖1 E形貼片天線的結(jié)構(gòu)

在確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時，輸入層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的維度進行確定，而隱藏層神經(jīng)元個數(shù)的選取卻缺乏理論支持。隱藏層神經(jīng)元數(shù)量過多會發(fā)生過擬合，數(shù)量過少會發(fā)生欠擬合。在對該天線進行建模時，通過多次試探，最終確定當(dāng)隱藏層神經(jīng)元個數(shù)為12時能取得較好的預(yù)測精度。訓(xùn)練過程中，種群的粒子數(shù)量為60，學(xué)習(xí)速率 λ=0.7，GPSO算法的最大迭代次數(shù)為200次，RP算法的最大迭代次數(shù)為1000次。圖2給出了用GPSO算法、PSO算法和GD算法進行200次迭代后的誤差收斂圖。由圖2可以明顯發(fā)現(xiàn)，GPSO算法比另外兩種單一算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有更快的收斂速度和更低的訓(xùn)練誤差，驗證了所提出的GPSO算法的有效性。經(jīng)過初步訓(xùn)練后，將GPSO算法優(yōu)化的權(quán)值和閥值傳遞給RP算法，再進行更為細(xì)致的訓(xùn)練。圖3給出了一組測試樣本的預(yù)測結(jié)果，由GPSO-RP算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所預(yù)測的S11曲線與CST仿真得到的曲線十分一致。表2給出了RP算法、PSO-RP算法和GPSO-RP算法對相同結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行了1200迭代后的訓(xùn)練誤差和測試誤差（訓(xùn)練樣本經(jīng)過歸一化處理，輸出的預(yù)測數(shù)據(jù)反歸一化處理）。由表2可以發(fā)現(xiàn)，相對于單一的RP算法而言，PSO-RP算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠很大程度上降低訓(xùn)練誤差并提高網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度，而本文提出GPSO-RP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠更進一步地降低訓(xùn)練誤差和提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。這說明GPSO-RP算法具有良好的收斂速度并有助于提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，十分適用于天線多目標(biāo)參數(shù)建模。

圖2 三種算法的誤差收斂對比

圖3 測試樣本的預(yù)測結(jié)果和仿真結(jié)果對比

表2 三種算法的訓(xùn)練誤差和測試誤差對比

■2.2 天線優(yōu)化

當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完畢并獲得良好的泛化能力后，就可以用于天線的高效優(yōu)化。對于算例中的E型貼片天線，用PSO算法進行設(shè)計參數(shù)的優(yōu)化，最終滿足的設(shè)計指標(biāo)是S11在5.3~5.85GHz內(nèi)小于-10d B。粒子群算法中的粒子規(guī)模為20，最大迭代次數(shù)設(shè)置為100次，構(gòu)造的代價度函數(shù)為：

優(yōu)化后得到的設(shè)計參數(shù)為dp=3.575mm、LS=31.168mm、LR=2.598mm、WS=1.543mm。圖4給出了優(yōu)化后的天線S11結(jié)果，并在CST中進行了仿真驗證。兩者結(jié)果基本一致，且都滿足設(shè)計指標(biāo)。本文的仿真過程和算法實現(xiàn)過程均在一臺處理器為Intel(R) Core(TM) i7-8750H CPU, 2.20 GHz、運行內(nèi)存為32GB的計算機上完成。用該設(shè)備調(diào)用CST進行一次天線仿真的平均時間為112.64s，表3給出了利用GPSO-RP算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化和直接使用CST進行優(yōu)化所消耗的時間對比。由表3知，相對于直接使用電磁仿真軟件結(jié)合優(yōu)化算法進行天線設(shè)計的方式，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替電磁仿真軟件能節(jié)約96.6%的時間，進而實現(xiàn)天線的多目標(biāo)參數(shù)快速設(shè)計。

圖4 優(yōu)化結(jié)果

表3 兩種優(yōu)化方法的時間對比

3 結(jié)論

本文提出了一種GPSO-RP算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并實現(xiàn)了對天線的建模和快速設(shè)計。所提出的算法相對于RP算法和PSO-RP算法訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有更低的訓(xùn)練誤差和更好的泛化能力，對實現(xiàn)高精度和高效的微波設(shè)計有一定價值。