魏文震，王 欣，李 垚，呂 健，孫 磊

（國網(wǎng)山東省電力公司淄博供電公司，山東 淄博 255032）

0 引言

配電網(wǎng)三相不平衡現(xiàn)象嚴(yán)重，重載負(fù)荷情況時有發(fā)生，非線性負(fù)荷使得配電網(wǎng)諧波存在情況加重。因此，面對結(jié)構(gòu)復(fù)雜，情況多變的配電網(wǎng)，應(yīng)用于輸電網(wǎng)的傳統(tǒng)同步相量測量單元（Phasor Measurement Unit，PMU）技術(shù)已無法滿足相量測量精度的要求。針對配電網(wǎng)的特點，研制了一種適用于配電網(wǎng)的微型同步相量測量單元（Micro Phasor Measurement Unit，μPMU）與故障錄波裝置，該裝置相對PMU 來說體積小、成本低、安裝方便，能滿足智能電網(wǎng)大面積配置的需求［1-3］。由于該裝置采用的相量測量算法的動態(tài)監(jiān)測性能和測量精度有限，急需要一種適合配電網(wǎng)的同步相量測量算法［4-8］。

傳統(tǒng)的PMU 測量算法通常采用靜態(tài)相量模型。配電網(wǎng)由于非線性負(fù)載和分布式電源的接入，使得電網(wǎng)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，頻率波動和諧波干擾等更明顯，為了更好地對幅值、相角、功率波形和頻率的動態(tài)變化進(jìn)行精確測量和跟蹤，需要在傳統(tǒng)的相量測量算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，研究適合配電網(wǎng)的同步相量測量算法［9-10］。文獻(xiàn)［11］利用泰勒級數(shù)對時變相量進(jìn)行建模，通過相量導(dǎo)數(shù)來修正系統(tǒng)動態(tài)特性對相量測量精度的影響，但計算量大，實用性不高。文獻(xiàn)［12］提出一種利用時域和頻域信息的動態(tài)同步相量測量算法，在低頻振蕩等動態(tài)條件下，該算法能有效降低信號動態(tài)特性對測量精度的影響。文獻(xiàn)［13］在相量動態(tài)模型的基礎(chǔ)上對傳統(tǒng)的離散傅里葉變化法（Discrete Fourier Transform，DFT）進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種插值離散傅里葉變化法（Interpolation Discrete Fourier Transform Method，IpDFT）。文獻(xiàn)［14］中按照使用性能將PMU 分為P 類和M 類，前者的測量速度快，精度較差，致力于電網(wǎng)的保護(hù)操作；后者測量速度慢，需要擁有更高的穩(wěn)態(tài)測量精度，適合測量應(yīng)用。文獻(xiàn)［15］提出了一種同時適用于P 類和M 類的相量和頻率測量算法。該算法在對相量波動進(jìn)行跟蹤時，要求測量不確定性要小，其測量結(jié)果很難滿足IEEE c37.118.1—2011 標(biāo)準(zhǔn)的要求。綜上所述，現(xiàn)有的同步相量測量算法是無法直接應(yīng)用于配電網(wǎng)的。

在所研制的配電網(wǎng)μPMU 與故障錄波裝置的基礎(chǔ)上［2］，提出了一種適合配電網(wǎng)動態(tài)監(jiān)測的同步測量算法。首先，建立動態(tài)電力信號模型，利用漢寧窗對信號模型進(jìn)行加窗處理，通過IpDFT 計算出加窗信號的頻率值及二次諧波的幅值和相角，從加窗信號中去除二次諧波；然后利用所提的泰勒加權(quán)最小二乘算法（Taylor Weighted Least Square Algorithm，TWLS）對處理后的動態(tài)信號進(jìn)行相量和頻率的估計，最后通過MATLAB 仿真分析驗證所提算法的動態(tài)測量性能。

1 理論分析

1.1 信號的建模

對于含噪聲干擾的動態(tài)電力信號波形模型可以表示為：

式中：?(t)為初相角；a(t)和φ(t)分別為相量的幅值和相位；Re{·}為實部的求?。籦（t）為均值為0、方差為δ2的高斯白噪聲；p（t）為動態(tài)相量；f0為參考頻率。其中，φ（t）為

式中：F為瞬時頻率f和參考頻率f0間的差值，即F=(f-f0)。

在動態(tài)條件下，相量是個時變量。由于泰勒級數(shù)是表征信號動態(tài)特性的有力工具，可以將其引入到電力信號動態(tài)相量的表示中。通常情況下，信號的基波分量變化相對緩慢，對于tn時刻的動態(tài)相量p（tn）可以通過K階泰勒級數(shù)展開式來近似求解。

式中：n為不同采樣點；Nh為最后一次采樣；T為泰勒時間間隔；Δ為泰勒級數(shù)誤差；K為動態(tài)信號用泰勒級數(shù)表示的最高階次，K取值越大，p（tn）越接近于真實值。但K越大，運(yùn)算量越大，算法所需時間越長，會加大噪聲對算法的影響。

將式（4）代入式（1），借助歐拉公式可以得到泰勒級數(shù)展開后的電力系統(tǒng)動態(tài)信號模型為

式中：(·)*為共軛。

1.2 基于動態(tài)模型的同步相量測量算法

考慮到計算速度和存儲容量等方面的限制，對于連續(xù)信號只能從中截取有限時長的樣本加以處理。信號截短由于不能完全反映原信號的頻率特性必然會對數(shù)據(jù)處理結(jié)果造成影響。因此窗函數(shù)的選取對于改善頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)對離散頻譜分析的影響非常重要。

假設(shè)信號在采樣周期T0=1/f0內(nèi)的采樣數(shù)為N0，則在泰勒時間間隔T內(nèi)的采樣數(shù)N=[(T/T0)N0]，[·]表示就近取奇。如果t=0 時也進(jìn)行采樣，則N=2Nh+1。令第l 次采樣窗的中心位置作為參考時刻，以采樣頻率（fs=Nf0）對式（4）進(jìn)行離散化處理，可得信號的離散序列為

式中：ω0=2π/T0為參考角頻率；p為動態(tài)偏差因子；pk與動態(tài)相量的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，為

此時，信號誤差和相量估計值誤差分別為

式中：σ為信號誤差為相量的估計偏差；y為y（n）構(gòu)成的列矩陣，為

由于式（8）得到的誤差較大，考慮到泰勒誤差與Δt的取值有關(guān)，Δt越小，泰勒誤差越小。因此，可以通過對采樣區(qū)間進(jìn)行加窗處理來有效減小測量誤差，則式（9）可以寫為：

式中：w(n)為所加窗的時域表示形式；W為時域窗的連續(xù)頻譜。選取的窗函數(shù)為漢寧窗，漢寧窗的時域函數(shù)表達(dá)式為

加窗后的信號為

經(jīng)加窗處理后，利用TWLS法得到tn時刻的動態(tài)相量估計值為

通過上述方法可以進(jìn)一步計算出與相量相關(guān)的參數(shù)，如頻偏（Frequency Deviation，F(xiàn)D）FD和頻率變化率（Rate of Change of Frequency，ROCOF）ROCOF，性能評價指標(biāo)：相量總誤差（Total Vector Error，TVE）TVE、頻率誤差（Frequency Error，F(xiàn)E）FE和頻率變化率誤差（Rate of Change of Frequency Error，RFE）RFE。

1.3 動態(tài)算法的實現(xiàn)

在IpDFT 的基礎(chǔ)上提出一種TWLS 動態(tài)相量測量算法，提高了動態(tài)測量精度，并結(jié)合同步相量測量標(biāo)準(zhǔn)分析了算法的性能，TWLS 算法的流程如圖1所示。

圖1 TWLS算法的實現(xiàn)流程

利用TWLS 進(jìn)行相量的動態(tài)估計可分為兩步：首先，通過IpDFT 對信號頻率進(jìn)行初始估計，其值作為TWLS 中的參考頻率；最后，利用TWLS 法消除動態(tài)信號和相量中的干擾，達(dá)到提高測量精度的目的。對頻率估計時，對頻率進(jìn)行四舍五入取整。以上算法稱為TWLS-IpDFT法。

1.4 算法的具體步驟

TWLS-IpDFT算法的具體步驟為：

1）對信號y(n)的J個波形周期進(jìn)行N次采樣，n=0，1，…，N-1，其中N=Jfs/50+1。

2）對信號進(jìn)行加窗處理yw(n)=y(n)w(n)，其中w(n)為漢寧窗。

4）去除二次諧波后，確定新的信號y1(n)。

采用漢寧采樣時，數(shù)據(jù)窗J至少等于3 才能保證IpDFT 對頻率的估計足夠精確。此條件在實際工程中并不影響估計性能，因為該算法頻率變化的魯棒性要比相量變化的魯棒性差。

2 仿真分析

2.1 窗函數(shù)的選取

頻譜泄漏現(xiàn)象與窗函數(shù)譜的旁瓣有關(guān)，如果旁瓣的幅度趨于零，使能量相對集中在主瓣，就能得到與真實值較為接近的頻譜。工程中常用的窗函數(shù)有：矩形窗、海明窗、布萊克窗和漢寧窗等［19-20］。窗函數(shù)為100時，漢寧窗的頻域仿真分析如圖2所示。

圖2 窗函數(shù)為100時漢寧窗的頻域分析

窗函數(shù)的選取原則是：窗譜主瓣要窄而高，從而提高分辨率；旁瓣幅度要小，從而減小頻譜的泄露。

考慮到旁瓣的衰減程度越大能量泄露越小，且主瓣和旁瓣、旁瓣與旁瓣間的干涉影響越小，再結(jié)合電力信號帶寬窄、干擾強(qiáng)的特點，選用旁瓣幅度較小、衰減程度較大的漢寧窗采樣較為合適。

2.2 性能評價標(biāo)準(zhǔn)

IEEE C37.118.1—2011 中規(guī)定了同步相量測量的測試標(biāo)準(zhǔn)：TVE、FE、RFE。通過以上標(biāo)準(zhǔn)檢查相量測量算法的時間同步性和相量計算誤差［14］。TVE、FE、RFE的定義分別為

式中：Xr(n)、Xi(n)分別為相量真實值的實部和虛部；Xr和Xi分別為相量測量值的實部和虛部；ftrue為頻率真實值；fmeasured為測量值；Δfmeasured為頻偏的測量值；Δftrue為頻偏的真實值。

2.3 仿真條件

利用MATLAB 對算法的性能進(jìn)行全面測試分析，通過仿真數(shù)據(jù)對上述算法進(jìn)行驗證，并利用相量測量裝置驗證算法在實際系統(tǒng)中應(yīng)用的可行性。與傳統(tǒng)DFT 法進(jìn)行比較，分別對幅值調(diào)制、諧波影響、信號突變3 個重要指標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)性能和階躍響應(yīng)下的動態(tài)性能作重點分析。仿真中，采樣頻率為10 kHz，漢寧采樣數(shù)據(jù)窗為兩個波形周期（在工頻下每個數(shù)據(jù)窗的采樣數(shù)為400）。

通過選取合適的泰勒級數(shù)展開項K，在保證測量速度的同時增加了測量精度，由表1 仿真結(jié)果可見，當(dāng)K=8時，測量結(jié)果的精度可滿足要求。

表1 K=8時，TWLS-IpDFT法的同步相量測量精度

2.4 TWLS-IpDFT算法的性能分析

2.4.1 突變等動態(tài)過程的仿真分析

為測試TWLS-IpDFT 算法對突變等動態(tài)過程的響應(yīng)性能，在t=20 ms時對輸入信號施加90°的相角階躍信號，并與傳統(tǒng)的DFT 法進(jìn)行比較，各算法的階躍相應(yīng)仿真曲線如圖3 所示。測試信號為

圖3 動態(tài)響應(yīng)曲線

信號的初始相角?(t)為π6，參考頻率f0取IpDFT 中計算得到的加窗信號頻率值。由圖3可知，TWLS-IpDFT 算法的動態(tài)響應(yīng)效果較好，比傳統(tǒng)的DFT 算法有著更好的相角測量精度，且跟蹤效果較好。這是由于傳統(tǒng)的算法把工頻作為參考頻率對相量進(jìn)行測量，其動態(tài)測量效果不佳；TWLS-IpDFT 法通過IpDFT 對信號頻率進(jìn)行初始估計，將估計值作為參考頻率，并選取漢寧窗作為窗函數(shù)，使得該算法動態(tài)測量效果較好。

2.4.2 幅值和相位調(diào)制對算法精度的影響

1）幅值調(diào)制。

系統(tǒng)正常運(yùn)行時頻偏為0.1～0.2 Hz，且規(guī)定系統(tǒng)故障時頻偏應(yīng)盡快恢復(fù)到±0.5 Hz 以內(nèi)。因此，信號的參考頻率f0分別取49.5 Hz、50.5 Hz。調(diào)制頻率ft在0.1～3 Hz 內(nèi)連續(xù)變化，調(diào)制幅值為10%的基波幅值。對頻率振蕩時波峰、波谷時刻的基波幅值誤差和全時段的最大相角誤差進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。被測信號為

圖4 幅值調(diào)制下TWLS-IpDFT法的幅值和相角誤差

由圖4 可知，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)IEEE StdC37.118.1—2011：波峰幅值誤差＜0.2%，波谷幅值誤差＜0.2%，最大相角誤差＜0.5°，最大TVE＜1%［14］，當(dāng)信號發(fā)生低頻振蕩時，TWLS-IpDFT法對同步相量仍能進(jìn)行精確的計算，當(dāng)調(diào)制頻率增加時，測量誤差有所增加，但仍保持在標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定范圍以內(nèi)。表2 為TWLS-IpDFT 法在信號幅值調(diào)制下的最大測量誤差。

表2 TWLS-IpDFT法在幅值調(diào)制下的最大誤差

2）相位調(diào)制。

相位調(diào)制情況下的被測信號設(shè)為

式中：ω為角速度；h為同步采樣數(shù)；φ為初相位。

相位調(diào)制幅值為0.1 rad，調(diào)制頻率為0.1～3 Hz，采樣頻率為5 400 Hz，初始相位設(shè)為π/3，h取1 024。對參考頻率分別為49.5 Hz，50 Hz，50.5 Hz 的3 種信號進(jìn)行仿真測試，測量誤差如圖5 所示。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的TVE應(yīng)在1%以內(nèi)，最大FE為0.3 Hz，最大RFE為10 Hz/s，結(jié)合圖5 可知，TWLS-IpDFT 的測量誤差隨調(diào)制頻率的增加而顯著增加，但誤差比較小，能夠滿足上述標(biāo)準(zhǔn)的要求。

圖5 相位調(diào)制下TWLS-IpDFT 法的最大TVE、FE、RFE

2.4.3 諧波和噪聲抑制分析

1）諧波分析。

對電壓、電流信號注入諧波，被測信號為

對信號的相量幅值、相角誤差和頻率誤差進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 諧波干擾下TWLS-IpDFT法的幅值、相角和頻率誤差仿真

由圖6 可知，TWLS-IpDFT 法和DFT 法都受諧波的影響較大，且DFT 法不能很好地滿足TVE誤差要求，而TWLS-IpDFT 法測量精度更高，在保持跟蹤速度的同時對信號的跟蹤精度也比較高。通過對比可知，所提方法在諧波影響方面要優(yōu)于傳統(tǒng)方法。表3為諧波影響下的最大誤差分析。

表3 諧波影響下的最大誤差

2）噪聲分析。

考慮白噪聲對TWLS-IpDFT 法的影響。當(dāng)式（27）中的信號加入白噪聲b(t)時，其分布特性為N（0，0.0012），同樣使用上述兩種算法對信號進(jìn)行測量，得到的TVE值如圖7所示。

圖7 噪聲干擾下的TVE誤差

2.4.4 頻率偏移仿真分析

在動態(tài)模型（1）中取幅值為1，參考頻率f0=50 Hz 的信號進(jìn)行頻偏對算法測量精度的仿真分析，頻偏的范圍為-3～3Hz，信號表達(dá)式為

式中：p(t)為待測相量。頻偏(f-f0)分別取不同值時，對DFT 法和TWLS-IpDFT 法的相量測量結(jié)果進(jìn)行比較，包括幅值、相角誤差及TVE值，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 頻率偏移下的幅值、相角誤差及TVE值

由圖8 可知，隨頻偏的增加，兩種算法的測量誤差也隨之增大，但TWLS-IpDFT法的測量誤差相對較小，而DFT法的誤差增加較明顯。TWLS-IpDFT法幅值、相角及TVE誤差的波動性及總量都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于DFT法，雖然隨著頻率偏移的增大，算法的測量精度有所降低，但仍在標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定范圍內(nèi)。

3 結(jié)語

提出了一種配電網(wǎng)μPMU 相量和頻率測量的動態(tài)測量方法，利用漢寧窗對動態(tài)信號進(jìn)行加窗處理，并對J個波形周期進(jìn)行采樣，提高了算法的動態(tài)特性，減少了運(yùn)算量。

將IpDFT 法計算出加窗信號的頻率值作為算法的參考頻率，計算出二次諧波的幅值和相角，得到去除二次諧波后的加窗信號，從而提高相量和頻率的測量精度。

利用TWLS-IpDFT 法對相量的幅值、相位，相量總誤差、頻率誤差和頻率變化率誤差進(jìn)行估計，通過對突變狀態(tài)、調(diào)制、頻率偏移、諧波影響方面的仿真分析，結(jié)合同步測量標(biāo)準(zhǔn)，并與傳統(tǒng)的DFT 法進(jìn)行對比，表明該算法對相量、頻率的測量精度和計算速度有一定的提高，能滿足在線計算的要求，具有一定的實用性。

綜合以上分析，所提出的TWLS-IpDFT法能夠基本滿足配電網(wǎng)動態(tài)同步相量測量的要求。該算法的測量精度高，運(yùn)算量小，對之前μPMU 裝置的改進(jìn)具有指導(dǎo)作用，對配電網(wǎng)的實時動態(tài)監(jiān)測具有重要意義。后續(xù)將對原有裝置進(jìn)行改進(jìn)，研制一種成熟的適合配電網(wǎng)的高精度μPMU。