王欣，付河靈，陸鵬飛，岳增珂

初始幾何缺陷對履帶起重機桁架臂臨界失穩(wěn)載荷影響分析

王欣1，付河靈1，陸鵬飛2，岳增珂1

（1.大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.中聯(lián)重科股份有限公司工程起重機分公司，湖南 長沙 410000）

針對履帶起重機桁架臂初始幾何缺陷對其承載能力影響問題，對相關(guān)規(guī)范和企業(yè)標準進行統(tǒng)計整理，將初始幾何缺陷分為兩類：臂節(jié)幾何缺陷和臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。對一致缺陷模態(tài)法進行改進，在線性屈曲分析的基礎(chǔ)上，考慮了缺陷分布的隨機性，建立了模態(tài)參與系數(shù)的概率模型，提出了多階模態(tài)隨機耦合法模擬臂節(jié)幾何缺陷，并采用等效載荷法模擬臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。算例分析表明，理想臂架的臨界失穩(wěn)載荷為392 t，本文所提方法模擬臂架幾何缺陷所得最不利臨界失穩(wěn)載荷為361 t，相比降低了7.9%；考慮前四階單階模態(tài)作為臂節(jié)幾何缺陷所得最不利臨界失穩(wěn)載荷為368 t。綜合上述結(jié)果，本文所提幾何缺陷模擬方法可以模擬出最不利的缺陷，并且獲得最不利缺陷分布下的臨界失穩(wěn)載荷，為桁架臂初始幾何缺陷模擬提供一些借鑒和參考。

初始幾何缺陷；多階模態(tài)隨機耦合法；履帶起重機；桁架臂；屈曲分析

臂架作為履帶起重機的主要承載結(jié)構(gòu)，失穩(wěn)是其主要破壞形式之一，且結(jié)構(gòu)失穩(wěn)常常具有隱蔽、突然的特點。初始幾何缺陷對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有一定的影響，且不可避免。Hatzis[1]的研究發(fā)現(xiàn)，單根桿件的缺陷可使結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性承載能力降低20%。Morris[2]研究表明結(jié)構(gòu)整體缺陷可使穩(wěn)定性臨界荷載下降35%。要使穩(wěn)定性理論分析結(jié)果和結(jié)構(gòu)的實際性能相吻合，必須采取有效措施把這些因素考慮進去。如何在結(jié)構(gòu)設(shè)計計算中預(yù)先考慮初始缺陷對結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力的影響將是一個十分重要的問題。

目前研究幾何缺陷的方法主要有一致缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法。一致缺陷模態(tài)法認為最低階屈曲模態(tài)是臨界點處結(jié)構(gòu)位移趨勢，結(jié)構(gòu)按該模態(tài)變形將處于勢能最小狀態(tài)，在加載的最初階段即有沿著該模態(tài)變形的趨勢。但是，越來越多的文獻表明按最低階屈曲模態(tài)施加初始缺陷并不一定是最不利缺陷[3]。也有學(xué)者認為初始幾何缺陷應(yīng)由多階模態(tài)共同組合而成，徐兆光[4]在一致缺陷模態(tài)法的基礎(chǔ)上，考慮了高階模態(tài)對臂架失穩(wěn)載荷的影響，并將缺陷模態(tài)可看做2階屈曲模態(tài)的組合，但其未考慮模態(tài)參與的隨機性。

隨機缺陷模態(tài)法是將結(jié)構(gòu)的初始缺陷假定為隨機的，并對每個結(jié)點的缺陷誤差用正態(tài)隨機變量進行模擬。每個結(jié)點的缺陷是一個多維隨機變量，其樣本空間的每一個樣本點都對應(yīng)著結(jié)構(gòu)的一種缺陷模態(tài)[5]。陳昕[6]利用隨機缺陷模態(tài)法模擬了網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的安裝偏差，并通過實驗結(jié)果驗證該方法對于預(yù)測網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力的實用價值。但是，該方法隨機變量過多，計算量較大，不適合大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的缺陷模擬及分析計算。

本文將臂架的初始幾何缺陷分為兩類，提出一種多階模態(tài)隨機耦合法對臂節(jié)初始幾何缺陷進行模擬，采用等效載荷法模擬臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。并利用弧長法對缺陷臂架進行幾何非線性和材料非線性分析，確定缺陷臂架的臨界失穩(wěn)載荷。并與含單階模態(tài)缺陷臂架的臨界失穩(wěn)載荷對比，驗證此方法在工程上的適用性和可靠性。

1 臂架幾何缺陷分類

幾何缺陷是指實際結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與理想結(jié)構(gòu)間存在的差異。幾何缺陷主要包括結(jié)構(gòu)的節(jié)點空間位置偏差、桿件的初撓曲、節(jié)點初偏心、構(gòu)件截面形狀和截面特征（包括截面高度、寬度、厚度、面積、面積矩、慣性矩）等[7]。

1.1 臂節(jié)幾何缺陷

臂架是由多個臂節(jié)通過銷軸連接而成。每個臂節(jié)都由四肢弦桿與多肢腹桿焊接而成。弦桿與腹桿都屬于型材，本身會存在一定的初變形。由于焊接工藝及加工制造精度的影響，理想結(jié)構(gòu)節(jié)點的空間位置會與實際結(jié)構(gòu)節(jié)點的空間位置有所偏差。在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范GB 50017－2017中規(guī)定格構(gòu)式鋼結(jié)構(gòu)局部缺陷采用單波正弦進行模擬，陷幅值為/1000，如圖1（a）所示。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，實際臂節(jié)的弦桿和腹桿的初變形有兩種形態(tài)：單波正弦分布和雙波正弦分布。對臂架模型提取屈曲模態(tài)發(fā)現(xiàn)，在臂架整體失穩(wěn)時，弦桿和腹桿缺陷分布形式呈單波正弦；在臂架局部失穩(wěn)時，弦桿和腹桿缺陷分布形式呈雙波正弦，如圖1（b）所示。由此得出，可以用屈曲模態(tài)來模擬弦桿和腹桿的初變形。

圖1 初彎曲類型

1.2 臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷

由于各臂節(jié)之間通過銷軸連接，以單－雙鉸接為例，如圖2所示。各個臂節(jié)在安裝過程中會出現(xiàn)一定的間隙，且各個臂節(jié)之間的間隙具有不可控性，最終導(dǎo)致整體臂架產(chǎn)生不同程度的側(cè)偏，如圖3所示。除此之外，臂節(jié)也會有一定的中心線直線度誤差，也會導(dǎo)致臂架整體側(cè)偏。臂頭載荷的偏移會嚴重影響臂架的承載能力，當各臂節(jié)往一側(cè)偏移時，臂頭載荷偏移最為嚴重。

通過查閱統(tǒng)計相關(guān)起重機械制造企業(yè)的技術(shù)規(guī)范要求，臂節(jié)間的安裝間隙規(guī)定為6 mm，臂節(jié)中心線直線度誤差規(guī)定為4 mm，可知單個臂節(jié)產(chǎn)生的側(cè)偏值為10 mm。標準臂節(jié)長度有9 m節(jié)、12 m節(jié)或14 m節(jié)，因此可將單個臂節(jié)產(chǎn)生的側(cè)偏統(tǒng)一等效為臂節(jié)長度的1/1000。

圖2 單－雙鉸接

圖3 臂架側(cè)偏形式

2 缺陷模擬方法

一致缺陷模態(tài)法沒有考慮多階模態(tài)和高階模態(tài)參與，且忽略了缺陷分布的隨機性，隨機缺陷模態(tài)法是基于Monte Carlo方法，樣本計算量大，工程應(yīng)用受限。本文在一致缺陷模態(tài)法的基礎(chǔ)上，考慮了多階模態(tài)及缺陷分布的隨機性，并建立了多階模態(tài)隨機參與系數(shù)的概率模型。以此方法來模擬各個臂節(jié)的幾何缺陷。

2.1 臂節(jié)缺陷模擬方法

首先對結(jié)構(gòu)進行特征值屈曲分析，求解結(jié)構(gòu)的特征值屈曲模態(tài)。選取多階模態(tài)作為幾何缺陷，通過改變各階模態(tài)參與系數(shù)來模擬幾何缺陷分布的隨機性。任意隨機缺陷模式[8]可以表示為：

式中：1、2、…、a為模態(tài)參與系數(shù)，是服從均勻分布的獨立隨機變量，取值范圍為[-1,1]；為模態(tài)參與的階數(shù)；φ為第階線性屈曲模態(tài)。

為了模擬實際工程中真實缺陷幅值，需要對缺陷幅值進行調(diào)整。本文采用鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的標準，缺陷幅值為桿長的1/1000。單波正弦臂節(jié)屈曲模態(tài)放大比例因子為：

雙波正弦臂節(jié)屈曲模態(tài)放大比例因子為：

式中：為弦桿長度的1/1000，mm；為屈曲模態(tài)中單波正弦的峰值；max為屈曲模態(tài)中節(jié)點波峰位移的最大值；min為屈曲模態(tài)中節(jié)點波谷位移的最大值。

聯(lián)合式（1）～（3），得到含真實工程缺陷幅值的臂架任意隨機缺陷模式為：

利用Monte Carlo隨機抽樣方法進行抽樣，建立隨機模態(tài)參與系數(shù)的概率模型為：

式中：()為第次隨機抽樣樣本；為模態(tài)參與階數(shù)。

每進行一次抽樣，就會得到一個臨界失穩(wěn)載荷。本文通過多次抽樣，得到不同的臨界失穩(wěn)載荷，并與以單階模態(tài)為模擬缺陷得到的臨界失穩(wěn)載荷進行對比，確定臂節(jié)的最不利缺陷分布。

2.2 臂節(jié)組裝缺陷模擬方法

本文考慮了各臂節(jié)向一側(cè)偏移時的情況，也是最危險的情況，對臂架承載能力影響最大。對于臂節(jié)組裝缺陷的模擬，由于一致缺陷模態(tài)法受屈曲模態(tài)的影響，很難出現(xiàn)各臂節(jié)向一側(cè)偏移時的節(jié)點分布模式，而隨機缺陷模態(tài)法使節(jié)點分布具有不確定性，從而達不到預(yù)期的缺陷分布模式相比之下，本文選用等效載荷法模擬臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。

把臂架重力參數(shù)設(shè)置為零，在理想臂架的臂頭處施加側(cè)向載荷，通過調(diào)節(jié)載荷大小，使臂架側(cè)向位移量與實際側(cè)向位移量相同。將臂架的側(cè)向位移導(dǎo)入理想臂架中，由此建立含臂

節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷的臂架模型。圖4為臂節(jié)組裝缺陷模擬流程圖。

圖4 臂架組裝缺陷模擬流程圖

3 計算分析

3.1 有限元建模

本文使用ANSYS APDL命令流建模，此種方法適合于不同長度，不同幅度工況下臂架模型的快速建模。本文以750 t履帶起重機84 m臂架（工作角度為68°）為例，并對其各臂節(jié)的直腹桿進行加強，把原來直腹桿尺寸改為斜腹桿尺寸。

臂架由7 m底節(jié)、7 m標準節(jié)、14 m標準節(jié)與7 m頂節(jié)組成。建模時，在不影響計算可靠性前提下將弦桿與腹桿軸線交于一點，臂節(jié)間的銷軸連接由弦桿來模擬，以此來簡化模型。弦桿和腹桿采用beam 188單元，拉板采用link 180單元。臂架變幅拉板末端施加全位移約束，在臂架根部鉸點處施加靜定位移和角位移約束。模型單元總數(shù)為13915，節(jié)點總數(shù)為13554。理想結(jié)構(gòu)下的有限元模型如圖5所示。

圖5 理想臂架有限元模型

對于高聳臂架結(jié)構(gòu)而言，臂架自重會引起臂架的初始變形。臂架頭部在拉板和卷揚的作用下，會保持在設(shè)定的工作幅度。臂架其它部分會產(chǎn)生一定的初始變形，且變形在臂架中部產(chǎn)生的位移最大。為了真實模擬臂架實際工作過程，本文把拉板剛度設(shè)置為2.06e20，保證臂架在吊載時，臂頭加載處工作幅度不變。臂架的初始變形如圖6所示。

圖6 臂架初始變形（放大40倍）

3.2 臂節(jié)組裝缺陷模擬

臂架長度為84 m，臂架裝配后的直線度不應(yīng)超過臂架長度的1/1000，故臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷最大值為84 mm。設(shè)置臂架重力參數(shù)為0，在臂架頭部加載處加一側(cè)向載荷，并計算側(cè)向位移，直到側(cè)向位移為84 mm，如圖4所示。將側(cè)向位移更新的理想臂架模型上，得到含臂節(jié)組裝缺陷的臂架模型。

圖7 側(cè)向位移云圖

3.3 臂節(jié)幾何缺陷模擬

對含臂節(jié)組裝缺陷的臂架模型采用Block Lanczos方法進行線性屈曲分析[9]，得到前10階穩(wěn)定性系數(shù)與屈曲模態(tài)。通過查看屈曲模態(tài)發(fā)現(xiàn)，第一階模態(tài)為臂架整體失穩(wěn)，臂架產(chǎn)生較大的側(cè)向位移，并且在臂架頂節(jié)處位移最大。如圖6所示。第二階模態(tài)為臂架整體失穩(wěn)，臂架在變幅平面內(nèi)產(chǎn)生較大位移，臂架在跨中處位移最大，如圖7所示。第三、四階模態(tài)為結(jié)構(gòu)局部失穩(wěn)，位于臂架下部，如圖8、圖9所示。本文以三個模態(tài)組合為例，對第二、三和四階模態(tài)進行耦合，根據(jù)式（4）、式（5）可得到缺陷的分布模式。

圖8 一階屈曲模態(tài)

圖9 二階屈曲模態(tài)

圖10 三階屈曲模態(tài)

圖11 四階屈曲模態(tài)

最終建立含臂節(jié)幾何缺陷、臂節(jié)組裝缺陷的臂架模型，并對缺陷臂架模型進行雙重非線性分析[10]，通過弧長法[11]求解含缺陷臂架的臨界失穩(wěn)載荷。

查看臂頭加載處節(jié)點的載荷－位移曲線，理想臂架所能承受臨界載荷為392 t。對模態(tài)參與系數(shù)進行6次隨機抽樣，模態(tài)耦合后要保證缺陷幅值為桿長的1/1000。前6次抽樣所獲得臨界失穩(wěn)載荷如圖10所示。其中，第四次抽樣所獲得臨界失穩(wěn)載荷最低，為361 t，與理想臂架臨界載荷的差異值為7.9%，如圖11所示。

圖12 前6次隨機抽樣臨界失穩(wěn)載荷

圖13 載荷－位移曲線

分別選擇第一階、第二階、第三階和第四階屈曲模態(tài)作為臂節(jié)的初始幾何缺陷，計算得到臂架的臨界失穩(wěn)載荷如圖12所示。其中，以第三階屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷得到的臂架臨界失穩(wěn)載荷最低，為368 t。

圖14 單階模態(tài)缺陷臨界失穩(wěn)載荷

對比發(fā)現(xiàn)，多階模態(tài)隨機耦合得到的最不利失穩(wěn)載荷為361 t，考慮單階模態(tài)作用得到的最不利失穩(wěn)載荷為368 t。多階模態(tài)隨機耦合法得到的臨界失穩(wěn)載荷更為不利，對于實際工程引用更可靠安全。

4 結(jié)論

本文結(jié)合一致缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法的優(yōu)點，提出了一種適合于臂架缺陷模擬的多階模態(tài)隨機耦合法。對750 t履帶起重機84 m臂架進行了計算分析，并與理想臂架和考慮單階模態(tài)缺陷臂架的計算結(jié)果進行對比，得出以下結(jié)論：

（1）在前四階模態(tài)中，以第三階模態(tài)作為臂節(jié)初始幾何缺陷進行缺陷模擬得到的臂架臨界失穩(wěn)載荷更為不利。表明了傳統(tǒng)的一致缺陷模態(tài)法并不適用于像履帶起重機臂架這樣大型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，要根據(jù)實際情況，選擇適合的模態(tài)進行分析。

（2）利用多階模態(tài)隨機耦合法計算出臂架最不利失穩(wěn)載荷相比與理想臂架失穩(wěn)載荷差異值為7.9%，與考慮單階模態(tài)缺陷計算出最不利失穩(wěn)載荷的差異值為1.9%。多階模態(tài)隨機耦合法可模擬出臂架缺陷分布的最不利分布模式。

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Analysis of the Influence of Initial Geometric Defects on the Critical Buckling Load of the Lattice Boom of Crawler Crane

WANG Xin1，F(xiàn)U Heling1，LU Pengfei2，YUE Zengke1

(1.School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2.Zoomlion Heavy Industry Science and Technology Co.,Ltd., Changsha 410000, China)

Aiming at the impact of the initial geometric defects of crawler crane lattice boom on its load-bearing capacity, the relevant regulations and corporate standards are statistically sorted, and the initial geometric defects are classified into two categories: geometric defects of the boom section and geometric defects caused by the assembly of the boom section. The uniform defect model method is improved, and on the basis of linear buckling analysis, a probability model of modal participation coefficients considering the randomness of defect distribution is established. The multi-order modal random coupling method is proposed to simulate the geometric defects of the boom section, and the equivalent load method is used to simulate the geometric defects caused by the assembly of the boom section. The analysis of the calculation example shows that the critical buckling load of the ideal boom is 392 t, and the most unfavorable critical buckling load obtained by simulating the geometric defects of the boom is 361t, which is reduced by 7.9%;, the most unfavorable critical buckling load obtain by considering the first four-order single mode as the boom section geometric defect is 368t. The results indicates that the geometric defect simulation method proposed can simulate the most unfavorable defect and obtain the critical buckling load under the most unfavorable defect distribution, which provides a reference for the simulation of the initial geometric defects of the lattice boom.

initial geometric defect；multi-mode random coupling method；crawler crane；lattice boom；buckling analysis

TH213.7

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.08.008

1006-0316 (2021) 08-0052-07

2021-01-21

遼寧省創(chuàng)新團隊項目（LT2014001）

王欣（1972－），女，天津人，博士，副教授，主要研究方向為結(jié)構(gòu)靜動力學(xué)非線性仿真與結(jié)構(gòu)疲勞壽命評估，E-mail：wangxbd21@163.com；付河靈（1995－），男，河北石家莊人，碩士研究生，主要研究方向為結(jié)構(gòu)力學(xué)仿真與優(yōu)化。