王沖 ，王強龍 ，2，陳苡生 ，2，劉瑞起 ，劉韜 ，2

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.中國科學院研究生院，北京 100039）

反射鏡作為望遠鏡中的主要光學元件，在現代空間及地面光學測量中被廣泛應用。隨著對成像質量的要求的提升，望遠鏡的口徑也隨之增大，由此導致整個系統質量的增加、鏡面面型變差等問題。而反射鏡的背部支撐結構是影響反射鏡質量、剛度及面型的重要因素之一，合理地設計背部支撐構型可以有效地提升反射鏡的輕量化率和面型精度［1］。另外為了進一步提升成像質量，對反射鏡鏡面形狀也提出了更多要求，非球面或自由曲面的反射鏡逐漸成為設計主流［2-4］，這也對設計和加工能力提出了更多挑戰(zhàn)。

受制造工藝的限制，傳統的反射鏡背部支撐構型主要是開放式的，例如設計周期性分布的輕量化孔，通過改進孔的形狀和尺寸來提升結構性能；此類設計通常依賴于初始結構構型，且設計自由度不夠，性能提升有限；另外一種則是近年來比較流行的基于拓撲優(yōu)化的結構設計方法，通過合理的設計目標函數和約束條件來獲得剛度更優(yōu)且輕量化率更高的構型，該方法的設計自由度廣，優(yōu)化得到的結構力學性能上限更高，但是該方法的局限在于所設計出來的支撐結構通常是封閉或半封閉的，此類結構在傳統機加工藝下難以制造。若要解決該問題，一種方案是通過限制優(yōu)化自由度或者引入拔模制造性約束來避免此類結構出現［5-6］，另外一種則是采用增材制造技術進行結構制備［7-8］。增材制造技術是通過逐層增加材料的方式來形成結構，該技術不需要刀具、模具等，所需的工裝、夾具較少，可以大幅縮短制造周期，且能夠制造出傳統工藝難以制備的復雜零部件，極大地提高了設計自由度［9］。

基于以上考慮，本文采用拓撲優(yōu)化方法進行金屬反射鏡概念設計，在完成優(yōu)化結果的幾何提取及重建后，采用增材制造技術進行制備。

1 基于拓撲優(yōu)化的反射鏡設計

拓撲優(yōu)化方法是近二十年逐漸發(fā)展起來的一種新的設計方法，其基本思想是以特定的結構性能參數為目標，在給定的設計域內獲得滿足約束條件的最優(yōu)材料分布［10］。采用拓撲優(yōu)化方法進行工業(yè)產品的概念設計，可以獲得更符合力學特性的結構構型，從而為設計人員提供更直觀的參考。當前一些主流的商用有限元分析軟件，例如Hyperworks、ANASYS、COMSOL等也都集成了拓撲優(yōu)化功能模塊，這大大降低了設計人員采用拓撲優(yōu)化進行工程設計的門檻。目前拓撲優(yōu)化技術在航空航天、汽車、船舶等領域均有廣泛應用。

目前成熟的拓撲優(yōu)化方法包括變密度法、水平集方法、漸進結構優(yōu)化方法等。本文采用變密度法中的懲罰固體各向同性材料方法（SIMP方法）進行金屬反射鏡的拓撲優(yōu)化設計，該方法脫胎于微結構等效的思想，以單元的相對密度作為設計變量，通過密度由0到1的連續(xù)變化實現結構拓撲的改變。和其他方法相比，該方法具有拓撲變形能力強、概念清晰、易于程序實現等優(yōu)點。

1.1 拓撲優(yōu)化列式

由于反射鏡設計的目標是高剛度和高輕量化率，因此在優(yōu)化模型中重點考慮了結構質量、靜剛度和結構基頻等，建立了多因素綜合的目標函數：

其中，K是剛度矩陣；U是位移向量；F是外載荷向量；ρe表示單元相對密度；NE是總單元個數；Ve為單元體積；是要求的體積上限；ρmin為單元相對密度的下限值；λj=為第 j階特征值；ωj是第j階特征頻率，且有0<ω1≤ω2≤… ≤ωJ；?j是第j階特征向量；M是質量矩陣。

1.2 優(yōu)化模型及最優(yōu)結構拓撲

反射鏡的初始設計區(qū)域及離散后的網格如圖1所示。為保證結構及網格的周期對稱性，將設計進行了圓周方向上的等角度分割，同理，為了保證最優(yōu)結構的圓周對稱性，網格也是圓周對稱分布的。有限元分析時采用四面體常應變單元進行劃分，由于網格的疏密會直接影響優(yōu)化過程的收斂以及最優(yōu)結構構型，采用較為細密的網格進行劃分可以獲得相對更光滑的結構。最終設計域劃分后的單元數目為526 800個，節(jié)點數目為116 640個。

圖1 初始優(yōu)化模型

此次優(yōu)化選取的體積分數上限為0.1，為了避免棋盤格以及網格依賴性問題，采用密度過濾法對設計變量進行過濾。在當前有限元網格下對模型進行優(yōu)化，優(yōu)化效率主要由迭代步數以及每一步的有限元分析的效率決定，而有限元分析的效率則主要由網格密度決定，在完成近50步優(yōu)化迭代后目標函數收斂，且約束條件滿足，最終優(yōu)化結果及目標迭代曲線如圖2和圖3所示。

圖2 最優(yōu)結構拓撲

圖3 目標函數的優(yōu)化迭代曲線

1.3 反射鏡概念構型提取及詳細設計

由于該反射鏡優(yōu)化過程是基于SIMP方法實現的，其最優(yōu)結構拓撲是通過密度由0到1分布的像素點（單元）呈現的。受網格質量及疏密程度的影響，結構拓撲表面存在不光滑的情況。通過密度過濾可以一定程度解決結構不光滑問題，另外借助軟件的后處理功能也可對模型進行光滑化操作。由于數值計算的不穩(wěn)定性以及單元密度截斷的問題，最優(yōu)結構拓撲在圓周方向上存在不對稱的情況，且鏡面局部區(qū)域沒有材料，模型提取后無法直接制造，須以該模型為基礎進行重建。

本文采用的模型設計原則盡量以長方體、圓柱、球等規(guī)則幾何作為建模的基本要素。在保證高近似度的前提下，球面鏡背部支撐結構均使用不同尺寸的圓截面的梁進行替代，鏡子背面去除了多余的細節(jié)，僅保留了光滑的球面。

為了提高結構的輕量化率且充分利用增材制造的優(yōu)勢，對其背部支撐結構進行了一定的簡化及輕量化設計，將原本的18根支撐桿減為9個，并將支撐桿的內部設計為空心結構。所有幾何要素的連接區(qū)域均進行倒圓角處理。最終獲得的CAD模型如圖4所示。

圖4 拋物面反射鏡CAD模型

重建后的模型基本信息如表1所示。鏡面形狀采用的是拋物面，式（3）為其面型表達式。

表1 模型的幾何信息

其中，z方向為反射鏡軸線方向；x-y平面為垂直于z方向的平面；原點坐標位于拋物面的頂點上。

該反射鏡采用增材制造技術進行制備，與球面反射鏡相比，在設計與制備過程中并沒有增加額外的難度或工作量。理論上，無論是拋物面、雙曲面還是其它自由曲面，在給出幾何尺寸精確的CAD模型后，均可以通過增材制造技術來制備。

2 有限元分析

依據拓撲優(yōu)化結果進行詳細設計后，最終反射鏡模型和原優(yōu)化模型存在一定的差異，為確保其剛度性能仍滿足需求，須重新進行有限元分析驗證。具體分析步驟包括幾何模型清理、網格劃分、邊界條件的施加、提交計算以及面型提取等。為了保證其動、靜態(tài)剛度均符合要求，在施加合理約束條件下，須對其不同觀測角度時的1 g的重力變形及其固有模態(tài)進行分析。

反射鏡在工作狀態(tài)時，約束條件由背部安裝形式來決定，所受載荷主要為重力載荷，在不同觀測角度時，鏡面變形情況也有所區(qū)別，因此通?？紤]多個角度下的鏡面變形情況，例如0°（水平）、45°、90°（指向天頂）即可。在有限元計算完成后，須提取鏡面的節(jié)點位移值，計算其面型精度值。為了驗證反射鏡的動態(tài)剛度，避免結構出現共振，需進行自由狀態(tài)下的模態(tài)分析，獲得其前幾階自由狀態(tài)下的固有模態(tài)值以及振型圖，若低階模態(tài)數值較低，說明結構動態(tài)剛度較差，須結合低階振型圖特點進行模型的改進，提高其動態(tài)剛度。

有限元分析前，須首先確定金屬反射鏡的基底材料。目前反射鏡的常用金屬材料有鈹、鋁合金、因瓦合金等［6］，其中鈹與鋁合金的比剛度較高，但是鈹本身具有毒性，制造過程中需考慮安全防護，另外，目前成熟的金屬增材制造技術的原材料以鋁合金和鈦合金為主。綜上考慮，本文選取鋁合金材料作為該金屬反射鏡的制備材料。

重力工況下在三種觀測角度下的變形云圖如圖5所示，通過對該云圖中節(jié)點位移值的提取和分析，獲得三種重力工況下對應的面型RMS值及PV值，如表2所示。根據當前計算結果，在這三種觀測角度的重力載荷下，鏡面面型RMS值不大于1/30λ（λ=632.8 nm）。

圖5 鏡面變形云圖

表2 重力工況下的反射鏡鏡面變形誤差

為了校核該反射鏡的動態(tài)剛度，對其自由模態(tài)進行了分析。分析結果如表3所示。1階固有頻率為1 705.2 Hz，在常規(guī)工作環(huán)境下不存在共振風險。另外，由于背部支撐結構的對稱性的特點，前四階固有頻率均是重頻的，1、2階固有頻率一致，3、4階固有頻率一致。相應地，振型也具有一定的對稱性，如圖6所示。

表3 反射鏡自由模態(tài)下的固有頻率

圖6 反射鏡自由模態(tài)振型圖

3 基于增材制造的反射鏡制備

傳統的制造技術一般通過削減材料來獲得理想形狀的部件，因此可統稱為減材制造，與此相反，增材制造是通過駐點、逐層地累積材料形成三維實體結構。該技術的優(yōu)勢是可以直接輸入三維的CAD模型進行生產制造，不需要工具和模具，沒有轉換成本；以數字文件的形式進行設計，方便進行修改和定制；可以進行復雜結構的制造，例如自由形式的封閉結構和通道等均可以實現。該工藝的可加性一方面可以節(jié)約材料，另外還可重復利用制造過程中產生的廢料。

采用激光選區(qū)熔化技術進行金屬反射鏡的制造，使用的金屬粉末為AlSi10Mg，表面粗糙度可達Ra30～ 50，致密度控制在98%以上，如圖7所示。

圖7 增材制造鋁合金反射鏡

4 結論

本文提出了一種基于拓撲優(yōu)化的金屬反射鏡及支撐結構一體化設計方案，并通過仿真及增材制造技術驗證了該方案的可行性。該設計方案建立了以結構柔度和一階模態(tài)的加權值最小為目標、體積分數上限為約束的拓撲優(yōu)化模型，考慮到增材制造的優(yōu)勢，模型中未加入拔模約束。結合COMSOL軟件及其二次開發(fā)功能對該模型進行優(yōu)化分析，最終獲得了與傳統支撐結構不同的半封閉支撐反射鏡。結合本文提出的設計準則對優(yōu)化所得概念模型進行詳細設計，在繼承原有特征的基礎上采用了一些輕量化設計手段。隨后采用有限元方法對該反射鏡在不同重力工況下的結構面型以及固有模態(tài)進行了分析，確保該反射鏡的剛度及模態(tài)滿足需求。后續(xù)通過了增材制造技術對反射鏡進行了制備，初步驗證了本文所提方法的可行性，下一步工作將對優(yōu)化設計模型進行改進，探索全封閉支撐反射鏡設計的可能性及構型，且對增材制造反射鏡的后續(xù)面型加工等步驟進行進一步實踐檢驗。本文所提出的方法也為未來大口徑金屬反射鏡的輕量化設計提供了新的思路。