劉 慧，王好南，謝博陽，程 化*，田建國，陳樹琪,2,3*

（1. 南開大學 物理科學學院，泰達應用物理研究院，弱光非線性光子學教育部重點實驗室，天津 300071；2.山西大學極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心，山西太原 030006；3.山東師范大學光場調(diào)控及應用協(xié)同創(chuàng)新中心，濟南 250358）

1 引 言

拓撲學是十九世紀形成的數(shù)學領域的一個重要分支，主要研究幾何圖形或空間在連續(xù)形變下的不變性質(zhì)[1]。凝聚態(tài)物理中整數(shù)量子霍爾效應的驚人發(fā)現(xiàn)賦予了拓撲學全新的物理意義，由此拓撲物理學作為一個新興的領域得到了人們的廣泛關注。1980年，Klitzing發(fā)現(xiàn)在強垂直磁場中的二維電子氣體具有量子化的霍爾電導[2]，這種量子化的霍爾電導不受樣品大小，雜質(zhì)和成分的影響，精確度高達十億分之一。1982年，Thouless等人意識到量子化的霍爾電導來源于能帶的非平庸拓撲性質(zhì)，這就是著名的Thouless、Kohmoto、Nightingale和den Nijs (TKNN)的理論工作[3]，其拓撲不變量以第一陳數(shù)來表征。體邊對應原則（bulk-edge correspondence principle）進一步詮釋了拓撲不變量的物理意義：當兩種具有不同拓撲不變量的材料相接觸時，在拓撲帶隙頻率下，兩材料界面處必然存在空間局部化的邊界態(tài)。除非帶隙關閉，系統(tǒng)的拓撲不變量在擾動或變形下保持不變，因此拓撲保護的邊界態(tài)可以不受材料缺陷和雜質(zhì)的影響，從而實現(xiàn)邊界態(tài)的魯棒傳輸。意識到拓撲的概念廣泛存在于波動系統(tǒng)后，Haldane和Raghu 首次創(chuàng)造性地將拓撲的概念引入光子晶體[4-5]，利用磁光材料打破時間反演對稱性(time-reversal symmetry)，他們在二維光子晶體中構造出了陳數(shù)非零的拓撲絕緣體，得到了單重拓撲保護的邊界態(tài)，該光量子整數(shù)霍爾效應的理論方案不久被Wang 等人在微波頻段設計[6]并在實驗上得到證實[7]。這樣的光學材料被稱為光拓撲陳絕緣體，與電子系統(tǒng)陳絕緣體內(nèi)部絕緣而表面導電類似，其內(nèi)部不透光而表面卻存在單重拓撲保護的表面模式，這樣的表面態(tài)可實現(xiàn)光對材料雜質(zhì)缺陷免疫的無損耗傳播，這是前所未有的理想傳輸特性，可以克服傳統(tǒng)光學器件對材料雜質(zhì)缺陷產(chǎn)生強損耗的缺點，有望驅動新型光學器件的變革[8-13]。與時間反演對稱性破缺的拓撲物理相關的設計概念也在其他周期系統(tǒng)中實現(xiàn)，如聲子晶體[14-15]、冷原子體系[16-18]和經(jīng)典機械波系統(tǒng)[19-21]。

上述光整數(shù)量子霍爾效應依賴于微波頻率下旋磁材料的磁光效應，存在外加磁場影響光學器件集成、頻率局限于微波頻域無法推廣到光學頻率和現(xiàn)有旋磁材料對磁場的響應較弱等問題，這大大限制了拓撲陳絕緣體在光學器件的應用。凝聚態(tài)HgTe量子阱中量子自旋霍爾效應的發(fā)現(xiàn)提供了另一種無需打破時間反演對稱性就能實現(xiàn)拓撲邊界態(tài)的方法[22-25]。對于缺乏自旋內(nèi)稟自由度的系統(tǒng)，為了構造一個類Kramers簡并，贗自旋被引入光學系統(tǒng)。在不打破時間反演對稱性下，每個贗自旋受到相反的人工磁場的作用，此時系統(tǒng)的陳數(shù)為零，但自旋陳數(shù)不為零。這種基于量子自旋霍爾效應的拓撲絕緣體內(nèi)部是絕緣的，在兩個具有不同自旋陳數(shù)的材料界面處，激發(fā)拓撲帶隙頻率可觀察到一對傳播方向相反的螺旋拓撲邊界態(tài)。雙各向異性超材料、環(huán)形諧振腔光波導[26-27]、點群對稱性保護的光子晶體[28-30]、拓撲射頻電路[31]等多種光系統(tǒng)中均提出了量子自旋霍爾效應的方案，極大地促進了拓撲光子學的發(fā)展。除此之外，引入人工合成的有效規(guī)范勢和有效磁場代替外加磁場的方案相繼被提出。其中較為典型的是光Floquet 拓撲絕緣體[32-38]，在有效哈密頓量中加入周期性的時間調(diào)制，利用光相位動態(tài)調(diào)制打破時間反演對稱性，產(chǎn)生有效規(guī)范勢和人工合成的磁場。研究人員基于光Floquet 拓撲絕緣體展開了許多有趣的研究，如非線性自局域態(tài)[39]、不成對狄拉克錐[40]等。類似地，在有效哈密頓量中加入時間相關的調(diào)制，拓撲泵在準晶體系中得以實現(xiàn)[41-44]。有趣的是這種準晶體系能實現(xiàn)更高維度的非平庸拓撲特性，例如在一維拓撲泵中，一維準晶擁有二維的陳數(shù)，并出現(xiàn)與二維量子霍爾效應邊緣態(tài)等價的拓撲保護邊界態(tài)。近年，一種突破體邊對應原則的拓撲絕緣體被提出，稱為高階拓撲絕緣體[45-50]，其對應的高階拓撲態(tài)，如角態(tài)和棱態(tài)，受到越來越多的關注。

隨著拓撲物理研究的深入，電子系統(tǒng)暴露出能帶結構復雜難以得到干凈的帶隙，材料缺陷和雜質(zhì)難以控制和拓撲描述所需的單電子近似失效等問題，因此，研究人員逐漸將目光投往其他經(jīng)典系統(tǒng)中，例如光子系統(tǒng)，聲學系統(tǒng)[51–56]和機械系統(tǒng)[19,57]。光學系統(tǒng)作為經(jīng)典的玻色子系統(tǒng)，具有能帶相對干凈，樣品設計簡單和樣品制作精度較高等優(yōu)勢，逐漸成為拓撲物理研究的重要平臺，由此催生了光學領域許多研究方向。二維拓撲絕緣體的研究被擴展到三維領域，時間反演對稱性破缺[58]和時間反演對稱保留[59-61]的三維拓撲絕緣體分別被實現(xiàn)。被稱為拓撲半金屬的無帶隙拓撲相在三維光子晶體中得到實現(xiàn)[62-65]，此時費米能級被頻率所替代，調(diào)節(jié)頻率可以實現(xiàn)能帶內(nèi)任意頻率體態(tài)和費米弧的激發(fā)和測量。通過在系統(tǒng)中引入合成維度，加上自身的空間維度可以探索高于系統(tǒng)本身幾何尺寸維度的物理內(nèi)容[66-71]。比如可以在一維結構中構建參數(shù)空間[72]、二維環(huán)形諧振腔陣列中合成頻率維度[73]，實現(xiàn)對外爾點的調(diào)控[74-76]。在合成空間中不僅能表現(xiàn)豐富的拓撲物理性質(zhì)，也多了新的方法去控制光。非線性光學介質(zhì)與拓撲物理結合得到了許多有趣的發(fā)現(xiàn)，如在光子拓撲絕緣子里的孤子[77-78]、自誘導拓撲躍遷[39,79]和強相關光子態(tài)[80-82]。當考慮光學材料的增益和損耗時，有效哈密頓量是非厄密的，這種非厄米系統(tǒng)的拓撲特性逐漸受到人們的關注[83-85]。

本文基于二維光子系統(tǒng)，介紹了幾類受廣泛關注的拓撲絕緣體。首先介紹了以光整數(shù)量子霍爾效應和光量子自旋霍爾效應為代表的兩種類型的拓撲絕緣體，以及它們在光子晶體、耦合波導和超材料中的實現(xiàn)。值得注意的是上述兩種拓撲絕緣體前者時間反演對稱性破缺且依賴于光學材料對磁場的響應，后者無需施加磁場故時間反演對稱性得到保留，兩者屬于不同的拓撲分類，前者拓撲性質(zhì)用陳數(shù)描述，后者用自旋陳數(shù)描述。然后，我們討論了時間相關調(diào)制的Floquet 拓撲絕緣體，它在無需施加磁場的情況下打破時間反演對稱性。與光整數(shù)量子霍爾效應不同，雖同為時間反演對稱性破缺的拓撲絕緣體，F(xiàn)loquet 拓撲絕緣體無需施加磁場，彌補了光整數(shù)量子霍爾效應依靠光學材料對磁場的響應，僅能實現(xiàn)微波波段的魯棒傳輸?shù)娜毕荩瑢崿F(xiàn)了光學頻段內(nèi)的魯棒傳輸。隨后，介紹了基于上述幾種傳統(tǒng)拓撲絕緣體設計的由無序驅動產(chǎn)生的拓撲安德森絕緣體以及突破傳統(tǒng)的體邊界對應原則的高階拓撲絕緣體。文章的最后對光學拓撲前沿領域的發(fā)展進行了總結和展望。

2 二維光整數(shù)量子霍爾效應

隨著電子系統(tǒng)拓撲相研究的深入，人們逐漸認識到拓撲的概念廣泛地存在于不同的物理系統(tǒng)中。受凝聚態(tài)二維電子氣系統(tǒng)研究的啟發(fā)，Haldane和Raghu 基于無質(zhì)量Dirac方程首次提出了光整數(shù)量子霍爾效應方案[4]。在二維周期系統(tǒng)，Dirac 錐在布里淵區(qū)受到時間反演對稱性保護從而形成二維平面上的簡并點。Dirac點成對產(chǎn)生或湮滅，在動量空間兩條能帶之間形成線性色散，其附近準粒子特性可用有效哈密頓量H描述：

其中F(k)=?k×A(k)為貝利曲率（Berry curvature），A(k)=〈u(k)|i?k|u(k)〉為貝利聯(lián)絡（Berry connection）。二維的布里淵區(qū)是可以上下左右連接在一起得到一個環(huán)面。陳數(shù)可以看作環(huán)面內(nèi)貝利通量(Berry flux)單極子的數(shù)量。這里的貝利聯(lián)絡可以類比實空間電磁場中的矢勢，貝利聯(lián)絡沿閉合回路積分得到貝利相位(Berry phase)，矢勢沿閉合回路積分得到AB相位(Aharonov-Bohn phase），貝利曲率類比磁場中的磁場B(r)，貝利曲率的通量類比磁場通量，貝利曲率在布里淵區(qū)上的積分得到陳數(shù)，類比磁場中磁單極子數(shù)量，這些物理量都是可以一一類比的。

Haldane和Raghu 的理論預測很快在微波波段得到實現(xiàn)[89-91]。2008年，Wang 等人意識到構造Dirac點能帶結構并不是實現(xiàn)光量子整數(shù)霍爾效應的必要條件，他們利用釔鐵石榴石的磁光效應，在四方晶格能帶的交會點附近打開帶隙，構造出了第一陳數(shù)非零的拓撲絕緣體。基于這種更為普適的方案[6]，2009年他們首次在微波頻段實現(xiàn)了光整數(shù)量子霍爾效應，在旋磁鐵氧體棒組成的光子晶體中觀測到了背散射免疫的單向傳輸邊界態(tài)[7]。光整數(shù)量子霍爾效應實驗裝置如圖1(a)所示，空氣中的旋磁鐵氧體棒和金屬板組成了二維四方格子光子晶體。如圖1(b)所示，外加一個垂直平面的磁場，系統(tǒng)的時間反演對稱性被打破，出現(xiàn)的背散射抑制的單向傳輸邊界態(tài)可繞過四方晶格中的障礙物傳輸。根據(jù)體邊對應原則，上述陳數(shù)為1的拓撲絕緣體帶隙中只有一條單向背散射免疫的邊界態(tài)，若想獲得多重拓撲保護的邊界態(tài)則需要構造更高陳數(shù)的拓撲絕緣體。Skirlo等人理論上提出基于二維鐵磁性光子晶體，在外加磁場的作用下同時打破Dirac點和非線性簡并點，可以實現(xiàn)高陳數(shù)的拓撲絕緣體，從而獲得多重拓撲保護的邊界態(tài)[89]。高陳數(shù)的拓撲絕緣體隨后被實驗所證實，二維鐵磁性光子晶體的理論與實驗拓撲帶隙圖分別如圖1(c)、1(d)所示，顯示出高拓撲陳數(shù)與頻率和外加磁場的函數(shù)關系[90]。根據(jù)拓撲帶隙圖施加外加磁場，得到帶隙陳數(shù)分別為+1，+2，?3和?4的拓撲絕緣體，在對應頻率下觀測到一條、二條、三條和四條單向拓撲保護的邊界態(tài)，實驗和理論結果分別如圖1(e)、1(f)所示。

圖1 (a)由旋磁鐵氧體棒和金屬壁組成的二維光整數(shù)量子霍爾效應的實驗裝置圖[7]。(b)在垂直方向磁場作用下，模擬手性邊緣態(tài)繞障礙物周圍的傳播示意圖[7]。(c)以磁場和頻率為函數(shù)的理論拓撲帶隙圖，其中每個帶隙的拓撲不變量用帶隙陳數(shù)標記[91]。(d)實驗測量的拓撲帶隙圖[91]。(e)和(f)分別表示不同陳數(shù)的邊緣態(tài)實驗和理論的示意圖[91]，其中灰色部分為體帶，紅色線表示邊緣態(tài)。Fig.1 (a)Experimental setup of 2D optical integer quantum Hall effect consisting of gyromagnetic ferrite rods and metal walls[7].(b)Simulated propagation of chiral edge states around obstacles in the presence of a vertical magnetic field[7].(c)Theoretical topological gap map as a function of the magnetic field and the frequency,in which the topological invariants of each band gaps are labeled by its gap Chern number[91].(d)Experimental topological gap map[91].(e)and(f)represent the schematic of experimental and theoretical edge states with different gap Chern numbers[91], respectively,in which gray part is bulk bands and the red lines represent the edge states.

時間反演對稱性破缺的拓撲陳絕緣體已在光學領域內(nèi)展開了廣泛的研究，其單向背散射免疫邊界態(tài)是傳統(tǒng)光學器件不具備的理想傳輸態(tài)，這種理想的傳輸態(tài)極大地啟發(fā)了新型光學器件的設計，包括慢光波導[91]、拓撲太赫茲電路[12]、定向過濾器[92]、磁控制波導器件[8]、光拉力[93]等。然而，不同于電子對磁場的強響應，光學系統(tǒng)中打破時間反演對稱性依賴于光學材料對磁場的響應，由于現(xiàn)有的光學材料的磁響應較弱且磁響應頻率范圍局限以及外加磁場對器件集成的不利影響，拓撲陳絕緣體在光學器件中的應用仍然是一個挑戰(zhàn)。

3 二維光量子自旋霍爾效應

二維拓撲光子系統(tǒng)的另一大類是保留時間反轉對稱性的系統(tǒng)，類似于凝聚態(tài)中的量子自旋霍爾系統(tǒng)[24-25]和量子谷霍爾系統(tǒng)[94-95]。谷是指動量空間能帶結構的兩個極值處，因為上下谷的貝利曲率符號相反，所以在布里淵區(qū)上的積分和等于零，然而每一個谷在布里淵區(qū)上的積分卻不等于零。因為總陳數(shù)為零，所以該系統(tǒng)的時間反演對稱性是保留的。谷自由度作為潛在的信息傳遞載體，在經(jīng)典波系統(tǒng)也引起了廣泛的關注，已經(jīng)在光子系統(tǒng)[96-100]和聲學系統(tǒng)[101-103]中實現(xiàn)了類量子谷霍爾效應。二維光量子自旋霍爾效應的實現(xiàn)不依賴于外加磁場和光學材料的磁響應，拓撲保護的邊界態(tài)在光學頻段得以實現(xiàn)，這更有利于光學新型器件的設計和應用。對于保留時間反演對稱性的系統(tǒng)，非簡并帶貝利曲率遵循 Ωn(?k)=?Ωn(k)，這意味著貝利曲率在整個布里淵區(qū)的積分為零，也就是陳數(shù)為零，此時陳數(shù)已不能描述系統(tǒng)的拓撲不變量。量子自旋霍爾效應首先在電子系統(tǒng)中實現(xiàn)，電子擁有自旋向上和自旋向下的內(nèi)稟自由度，每個具有自旋向上或自旋向下的能帶都可以通過式(2)用拓撲不變量C+或C?來描述，兩者滿足關系C+=?C?，此時體系的陳數(shù)C=(C++C?)/2為零。定義自旋陳數(shù)描述保留時間反演對稱性系統(tǒng)的拓撲不變量：Cs=(C+?C?)/2，這與電子Z2絕緣體的情況類似，兩個自旋態(tài)中存在數(shù)量相同但傳播方向相反的邊界態(tài)，這種非手性的邊界態(tài)被稱為螺旋態(tài)。不同于電子這樣自旋為1/2的費米子系統(tǒng)，光子作為玻色子自旋為1，缺乏固有的雙重簡并，也就是Kramers簡并。根據(jù)Kramers理論，量子自旋霍爾效應需要系統(tǒng)滿足時間反演操作算符T2=?1，電子作為費米子，其時間反演操作算符恰好滿足這一要求，而光子作為玻色子，其時間反演操作算符卻遵循T2=+1。為了消除玻色子固有屬性的影響，將贗自旋和贗時間反演操作T2=?1引入光學系統(tǒng)中，由此構造出與Kramers類似的簡并。對于缺乏Kramers簡并的無自旋體系，如光子、聲學和力學，可以構造一對贗自旋向上和贗自旋向下的共軛態(tài)。在一定人工規(guī)范對稱性的保護下，可以存在類Kramers簡并，從而實現(xiàn)量子自旋霍爾效應。下面介紹幾種光學系統(tǒng)中構造贗自旋以實現(xiàn)光自旋霍爾效應的方法。

Khanikaev 等人理論上提出了一種基于雙各向異性材料，利用光的TE和TM 偏振自由度實現(xiàn)光量子自旋霍爾效應的方法。他們在由電磁介質(zhì)組成的六方晶格超晶體中，設計介質(zhì)的有效介電常數(shù)與磁導率相等（ε =μ），迫使TE+TM和TE-TM兩個贗自旋態(tài)形成類Kramers簡并，通過控制材料的電磁耦合實現(xiàn)類Kramers簡并閉合和打開，由此實現(xiàn)二維光量子自旋霍爾效應[104]。研究表明，超晶的界面存在與電子拓撲絕緣體類似的一對自旋依賴的螺旋邊態(tài)，這使光子在無外加磁場的情況下實現(xiàn)單向傳播成為可能。然而，上述方法需要超材料中的有效介電常數(shù)與磁導率嚴格相等，由于天然材料對電場分量和磁場分量的響應不同，在實驗中很難實現(xiàn)有效介電常數(shù)與磁導率相等的嚴苛條件。最近，無需材料有效介電常數(shù)與磁導率嚴格相等的結構方案被提出[105-108]?；谑└褡拥木Ц駥ΨQ性，精心設計金屬柱體和環(huán)的幾何結構，將環(huán)置于兩板之間，光的TE和TM 模式在布里淵區(qū)的K（K’）點形成簡并的Dirac錐對[107]。雙各向異性是通過移動圓柱體上的環(huán)來實現(xiàn)的，如圖2(a)所示，通過向上或向下滑動金屬環(huán)來破壞 σz的對稱性會產(chǎn)生類似自旋軌道耦合效應，從而在有效哈密頓量中引入一個有效質(zhì)量項m。如圖2(b)所示，滑動金屬環(huán)引入雙各向異性，體帶在高對稱點處的簡并點實現(xiàn)閉合和打開，系統(tǒng)發(fā)生拓撲相變從而出現(xiàn)拓撲非平庸的帶隙。兩個具有相反有效質(zhì)量的晶體界面處存在一對傳輸方向相反的贗自旋依賴的界面態(tài)，如圖2(c)所示，這對拓撲保護的界面態(tài)在實驗中顯示出背散射抑制的特性。

Wu 和Hu 提出利用晶格對稱性實現(xiàn)光量子自旋霍爾效應的方案[28]。二維光子晶體原胞由6個電介質(zhì)材質(zhì)的圓柱體組成，如圖2(d)所示?；趲д郫B機制，石墨烯晶格布里淵區(qū)的K點和K’點處的Dirac錐被折疊在 Γ點處形成雙Dirac錐，簡并的布洛赫模式雜化形成一對贗自旋態(tài)。通過拉伸或壓縮人造原子間的距離，雙重簡并Dirac錐被退簡并得到一個拓撲平庸或非平庸帶隙，帶隙的閉合和打開導致p和d帶之間發(fā)生帶反轉，系統(tǒng)實現(xiàn)拓撲相變，如圖2(e)所示。此時，在非平庸光子晶體(圖2(e)右)和平庸光子晶體(圖2(e)左)的界面處出現(xiàn)一對拓撲保護的贗自旋依賴的螺旋邊界態(tài)。與其他方案相比，這種依賴晶格對稱性構造類Kramers簡并的方案讓光量子自旋霍爾效應在傳統(tǒng)的電介質(zhì)材料中得以實現(xiàn)，簡單的結構設計使其在實驗中更容易實現(xiàn)，深刻的影響著拓撲物理在聲學系統(tǒng)[53,109]、超表面[110]和光子量子等領域[111]的研究。

Hafezi等人提出了耦合環(huán)諧振器方案[26-27]。通過控制光沿環(huán)形諧振腔順時針和逆時針的路徑，在系統(tǒng)中構造了一對順時針和逆時針方向的贗自旋簡并態(tài)。同時，光沿晶格單元順時針或逆時針傳播會引入相反的有效規(guī)范勢，一對贗自旋態(tài)感受到相反的有效磁場，由此光子的有效磁場就在這個非磁性系統(tǒng)中合成了，光量子自旋霍爾效應得以實現(xiàn)。該方案在二維硅光子平臺實現(xiàn)，光學耦合環(huán)諧振器如圖2(f)所示[27]，連接諧振器將位置諧振器相連接，由此形成二維周期耦合陣列。實驗在非平庸帶隙激發(fā)了一對拓撲保護的螺旋邊緣態(tài)，如圖2(g)所示，調(diào)整激發(fā)頻率可選擇激發(fā)不同自旋依賴的螺旋邊緣態(tài)。

Jia 等人提出了射頻光子電路的方案[31]。將贗自旋態(tài)編碼在晶格的兩個等效電感A 和B中，兩個電感通過耦合原件實現(xiàn)電容耦合，電容耦合電感網(wǎng)絡和耦合原件分別如圖2(h)、2(i)所示。考慮圖2(h)中一個光子由A 電感繞一個方格的拓撲耦合（黃色箭頭），耦合過程產(chǎn)生了?π/2的貝利（Berry）相位，這樣就在方格的排列耦合中合成了射頻光子自旋相關的有效規(guī)范場。如圖2(k)所示，光子射頻電路中體態(tài)密度和邊緣態(tài)密度的測量是射頻絕緣體帶和導電邊緣態(tài)存在的證據(jù)。實驗樣品如圖2(j)所示，激發(fā)其體帶并測量其體帶態(tài)密度，體帶態(tài)密度圖呈現(xiàn)一段體態(tài)密度極小的帶隙，如圖2(k)左圖所示。選取位于帶隙頻率之間的頻率激發(fā)樣品邊緣處，測量樣品邊界態(tài)密度觀察到射頻電路導電邊緣態(tài)如圖2(k)右圖所示。這種基于拓撲電路的方案設計簡單，被應用于拓撲角態(tài)[112]、Weyl半金屬[113-114]以及強耦合[115]等拓撲物理的研究中。

圖2 (a)可重構拓撲超晶的設計示意圖[107]。移動金屬環(huán)與金屬板的相對位置可在簡并處引入負的(左)、零(中)或正的(右)有效質(zhì)量。(b)可重構拓撲超晶的體帶示意圖[107]，其中藍色點線和紅色點線分別對應對稱(無雙各向異性)和非對稱(有雙各向異性)結構。(c)有效質(zhì)量相反的兩種超晶結構的界面及相應的邊帶圖[107]。(d)基于六角晶格的二維電介質(zhì)光子晶體示意圖[28]。(e)改變?nèi)斯ぴ又g的距離，將 a0/R的比值設定為3.125(左)、3(中)、2.9(右)的二維光子晶體能帶結構，其中彩色能帶展現(xiàn)了能帶雜化[28]。(f)由位置諧振器和連接諧振器組成的光學耦合環(huán)諧振器單元(左)及其組成的二維硅光子平臺的實驗裝置圖(右)[27]。(g)不同激勵頻率下實驗(左)和模擬(右)的邊緣態(tài)示意圖[27]。(h)射頻電路拓撲絕緣體示意圖，周期結構由位置電感器和耦合電容組成[31]。(i)格點間耦合元件結構[31]。(j)射頻電路拓撲絕緣體實驗樣品圖[31]。(k)射頻電路的理論能帶結構(中)，實驗測量的體態(tài)密度(左)和邊緣態(tài)密度(右)[31]。Fig.2 (a)Schematic of reconfigurable topological metacrystal[107].Moving the relative position of the metal ring to the metal plate introduces negative(left),zero(middle),or positive(right)effective masses at the degeneracy.(b)Bulk band structures of reconfigurable topological metacrystal[107],in which blue dotted line and red dotted line correspond to symmetric(no bianisotropy)and asymmetric(with bianisotropy)structures, respectively.(c)The interface of two metacrystal structures with opposite effective masses and the corresponding edge band diagrams[107].(d)Schematic of 2D dielectric photonic crystal of honeycomb lattice[28].(e)The band structure of 2D photonic crystals with a0/Rratios of 3.125(left),3(middle),and 2.9(right)was set by changing the distance between the artificial atoms where the rainbow for band hybridization[28].(f)The unit of 2D coupled optical-ring resonators with site resonators and link resonators(left)and the experimental setup diagram of 2D silicon photonic platform(right)[27].(g)Schematic of edge states of experiment(left)and simulation(right)at different excited frequency[27].(h)Schematic of radio-frequency(RF)circuit topological insulators in which the periodic structure consists of position inductor and coupling capacitor[31].(i)Structure of the coupling elements between lattice sites[31].(j)Sample diagram of radio-frequency(RF)circuit topological insulators[31].(k)Theoretical band structure of RFcircuit(middle).Experimental density of states of bulk state(left)and edge state (right)[31].

4 光Floquet 拓撲絕緣體

4.1 陳Floquet 拓撲絕緣體

Floquet 拓撲絕 緣體在‘高頻’范 圍時[32-33]，微觀運動是不重要的，系統(tǒng)有效哈密頓量可以通過陳數(shù)描述。2013年，Rechtsman,M.C.等人在圖3(b)的螺旋形波導陣列中，在光波段實驗實現(xiàn)了Floquet 拓撲絕緣體[34]。其中，近軸光線的傳播由一個類似薛定諤方程的式子描述：

圖3 (a)光學諧振腔陣列動態(tài)調(diào)控產(chǎn)生的有效磁場[118]。(b)通過激光直寫技術制作的螺旋波導陣列[34]。(c)螺旋波導R=8μm的投影能帶圖[34]。(d)實驗測量的出射面光強分布圖，黃色的橢圓代表輸入光束位置[34]。(e)一個傳播周期內(nèi)4種不同的耦合方式(J1-J4)[37]。(f)精心設計的波導結構示意圖，傳播方向z 軸和時間軸等價[37]。(g-h)場強分布的實驗測量圖，不被拐角(g)和缺陷(h)散射的手性邊界態(tài)[37]。Fig.3 (a)Effective magnetic field generated by dynamic control of photonic cavity array[118].(b)Helical waveguide array made by laser direct writing technology[34].(c)Projected band diagram of spiral waveguide R=8μm[34].(d)The experimentally measured light intensity distribution of the output facet, the yellow ellipse shows the position of the input beam[34].(e)Four different coupling modes(J1-J4)in one propagation cycle[37].(f)Schematic diagram of finely engineered waveguidestructure,the propagation direction z axis and time axisareequivalent[37].(g-h)Experimental measurement diagram of field intensity distribution,chiral edge states that are not scattered by corners (g)and defects (h)[37].

這里ψ(x,y,z)是 電場的包絡函數(shù)，k0是介質(zhì)中的波數(shù)。當光沿z方向傳播時，其在螺旋形波導陣列中的傳播類似電子隨原子在二維晶格中旋轉運動的時間演化。當螺旋半徑R=0 時，系統(tǒng)的能帶簡并形成類似石墨烯的狄拉克錐。當螺旋半徑R>0，簡并點打開形成一個帶隙，在帶隙中間存在拓撲保護的邊界態(tài)，如圖3(c)所示。從輸出面的光強分布來看,從晶格出射的光束被限制在邊緣，沒有擴散到整個空間，并且沒有任何反向散射，如圖3(d)所示。這里把空間的z軸看作時間軸，相比含時的周期性調(diào)制，調(diào)節(jié)更容易，為探索Floquet 相提供了一個新思路。

4.2 反常Floquet 拓撲絕緣體

若Floquet 拓撲絕緣體突破‘高頻’限制，在‘低頻’范圍時，微觀運動作用不能忽略，則不能用陳數(shù)完全描述，而是用繞數(shù)(winding numbers)來表征體系的拓撲性質(zhì)[35-36]，此時稱反常Floquet 拓撲絕緣體[119]。2017年，Mukherjee和Maczewsky 用波導陣列在一個周期內(nèi)引入4種耦合方式，分別實驗觀察到了拓撲保護的手性邊界態(tài)[37-38]。如圖3(e)所示，J1到J4這4種耦合以空間均勻時間周期的方式變化，所以每個晶格格點在任何時刻都僅耦合到其最近鄰的一個格點上。通過精心設計4個波導結構在z方向上的空間位置，可以實現(xiàn)這4種不同的耦合，如圖3(f)。在這個波導陣列結構中，傳播方向z軸扮演著時間的角色。實驗測量輸出界面的場強分布，觀察到了不被拐角散射和對缺陷免疫的手性邊界態(tài)，分別如圖3(g)和圖3(h)所示，表明這些邊界態(tài)是受拓撲保護的。兩個實驗小組都觀察到了上述反常Floquet拓撲態(tài)，其中手性邊界態(tài)由非平庸的繞數(shù)唯一確定。

光子Floquet 拓撲絕緣體提供了一個探索和理解拓撲相的新平臺。除了以上幾種途徑實現(xiàn)Floquet 拓撲相，其它方案也不斷提出，可以應用到不同的物理平臺，如準晶類型[41]，網(wǎng)絡模型的Floquet 構型[120]，微波范圍金屬表面等離激元[121]以及周期性驅動的分形晶格[122]等。

5 拓撲安德森絕緣體

無序在拓撲絕緣體中扮演著一個重要角色，對于傳統(tǒng)的拓撲絕緣體，拓撲相中的邊界態(tài)對局部弱無序免疫，但如果無序的強度足夠大時邊界態(tài)會消失。但有一類特殊的拓撲絕緣體，其拓撲保護的邊界態(tài)是由無序引起，稱為拓撲安德森絕緣體[123-124]。拓撲安德森絕緣體，首先由Li等人在HgTe/CdTe量子阱中提出[123]，它們發(fā)現(xiàn)隨著無序的增加量子化的電導先是消失，超過一定強度之后又會出現(xiàn)。Groth 等人[124]提出的有效介質(zhì)理論在一定程度上解釋了無序產(chǎn)生量子化電導的現(xiàn)象。隨著研究的深入，拓撲安德森絕緣體的產(chǎn)生機制逐漸清晰，不論電子或者光子體系，拓撲安德森絕緣體都是基于傳統(tǒng)的拓撲絕緣體產(chǎn)生的。因為一些干擾因素的加入，例如失諧和反演對稱性破缺，這使得傳統(tǒng)的拓撲絕緣體兩個高對稱點處的有效質(zhì)量從正負相反變成了都為正的狀態(tài)，這時候傳統(tǒng)的拓撲絕緣體由拓撲非平庸相進入拓撲平庸相，而在此時加入無序可抵消加入的正有效質(zhì)量的影響，使得系統(tǒng)從拓撲平庸相重新回到拓撲非平庸相之中[124]，這樣產(chǎn)生的拓撲安德森絕緣體能與傳統(tǒng)的時間反演對稱性破缺的絕緣體擁有相同的拓撲性質(zhì)。根據(jù)上述設計機制，多種拓撲安德森絕緣體被設計出來，例如基于Floquet 拓撲絕緣體[125-127]、基于陳拓撲絕緣體[128]、基于自旋陳絕緣體[129-131]、基于高階拓撲絕緣體[132]的拓撲安德森絕緣體相繼被實現(xiàn)。

Stützer 等人首先在二維螺旋波導陣列中基于Floquet 拓撲絕緣體實現(xiàn)了光拓撲安德森絕緣體[127]，實驗證明了無序能增強輸運而不是抑制輸運。波導結構如圖4(a)所示，波導陣列通過激光直寫技術制作，不同的激光寫入速度得到的波導折射率不同，隨機改變波導的折射率將引入無序。波導的螺旋會產(chǎn)生一個有效規(guī)范勢，沿傳播方向的反演對稱性被打破，可以得到一個拓撲非平庸的帶隙。調(diào)節(jié)使得陣列兩個子格子的折射率不同打破中心反演對稱性，帶隙變成拓撲平庸的，如圖4(b)所示。在系統(tǒng)中，無序由 ωri表征，其中ω表示調(diào)制參數(shù)，ri是?0.5到0.5范圍內(nèi)的隨機數(shù)，隨著調(diào)制參數(shù) ω的增加，無序程度增加，拓撲平庸的帶隙先閉合然后重新打開，系統(tǒng)轉變?yōu)橥負浞瞧接範顟B(tài)，如圖4(c)所示。從圖4(d)可以看出，在無序強度足夠大時，發(fā)生了從拓撲平庸到非平庸的相變，由紅色箭頭標記。在平庸情況下，光波大部分被反射，如圖4(e)所示。加入足夠大的無序時，系統(tǒng)進入拓撲非平庸相，光波被局域在二維波導的界面，形成了手性的邊界態(tài)，如圖4(f)所示。此外，Meier,E.J.在一維體系的冷原子鏈中，構建了動量空間的SSH，證明了該體系從拓撲到非拓撲的轉變，和加入無序從非拓撲到拓撲的轉變，實現(xiàn)了一維的安德森拓撲絕緣體[137]。二維光波導和一維冷原子中的實驗結果為拓撲安德森絕緣體的存在提供了有力的證據(jù)。

圖4 (a)一維波導和螺旋的二維蜂窩波導陣列組成的聯(lián)合結構[127]。(b)打破中心反演對稱性的平庸帶隙[127]。(c)添加足夠多無序的非平庸帶隙[127]。(d)拓撲不變量在無序強度w 和調(diào)諧質(zhì)量m δ共同作用下的相圖[127]。(e)處于拓撲非平庸相的實驗測量圖[127]。(f)加入足夠多無序，處于安德森拓撲相的實驗測量圖[127]。(g)旋轉電介質(zhì)散射體引入無序的示意圖[128]。(h)光子晶體的局部圖[128]，晶格常數(shù)a=17.5 mm。(i-j)場強分布的實驗測量圖[128]，單向傳播(i)和經(jīng)過缺陷無散射(j)的手性邊界態(tài)。(k)Bott 因子C B隨無序強度變化的模擬圖[128]，無序增加，平庸的帶隙閉合又重新打開，成為非平庸的帶隙。Fig.4 (a)Hybrid structure composed of a one-dimensional straw and a two-dimensional honeycomb lattice of helical waveguides[127].(b)Breaking the parity symmetry of the structure causes a trivial bandgap[127].(c)Sufficiently strong disorder induces a non-trivial bandgap[127].(d)Phase diagram showing the trivial and topological phases as a function of thedetuning mass mδ and disorder strength w[127].(e)Experimental measurement diagram in topological trival phase[127].(f)Add sufficient disorder,experimental measurements in the Anderson topological phase[127].(g)Schematic diagram of disorder introduced by rotating dielectric scatterers[128].(h)Thepartial picture of the photonic crystal,the lattice constant a=17.5 mm[128].(i-j)Experimental measurement diagrams of field intensity distribution[128],chiral edge states that are unidirectional propagation(i)and without scattering(j)through defects.(k)A simulation diagram of the Bott index CB.With increasing disorder strength, the trival band gap closes and reopensas a nontrival band gap[128].

最近，Liu 等人在旋磁圓柱體和三角形的電介質(zhì)柱構成的二維光子晶體中，基于拓撲陳絕緣體在微波范圍實現(xiàn)了拓撲安德森絕緣體[128]。體系的無序是通過隨機旋轉電介質(zhì)柱來引入的，由θd Ri表征，其中 θd是調(diào)制參數(shù)，Ri是?0.5到0.5之間的隨機數(shù)， θd增大意味著無序程度增大，如圖4(g)所示，光子晶體結構如圖4(h)所示。為了描述系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，研究者對拓撲不變量Bott 因子(CB)[133]進行了分析，見圖4(k)，模擬了CB隨無序強度增大的變化情況，拓撲非平庸帶隙出現(xiàn)在無序強度比較大的情況下。加入足夠無序時，實驗測量到的手性邊界態(tài)在經(jīng)過拐角和缺陷時能穩(wěn)定傳輸沒有明顯的損耗，分別如圖4(i)和圖4(j)所示。該拓撲安德森絕緣體可以直觀地理解：在無序不存在時，由于三角形介質(zhì)柱的存在打破了宇稱對稱性，抵消了時間反演對稱性破缺（導致陳絕緣體）的影響，當旋轉三角形電介質(zhì)引入無序時，宇稱對稱性的破壞被削弱，又使得陳絕緣體出現(xiàn)。拓撲安德森絕緣體為利用無序作為新的自由度調(diào)控邊界態(tài)提供了一種可能性。

相比于電子系統(tǒng)，光子體系擁有較為干凈的帶隙且可以更好地控制單原子的在位勢能，在光子平臺中更容易在原子勢能上添加無序，為進一步研究無序在拓撲中的作用提供了更為廣闊的平臺。無序體系下更豐富的物理現(xiàn)象如三維中無序引起的拓撲相變[138]，無序引起的非線性效應[139-140]，無序的拓撲激光器[141-142]，非厄米系統(tǒng)[143-144]等相繼在光學體系中得到實現(xiàn)。

6 高階拓撲絕緣體

拓撲絕緣體一個顯著的特征是具有拓撲保護的邊界態(tài)，m維的拓撲絕緣體根據(jù)體邊對應原則[145-146]在界面處具有m?1維的無能隙的邊界態(tài)。在2017年，研究人員提出了一類突破體邊對應原則的拓撲絕緣體，稱做高階拓撲絕緣體[147-148]。這類拓撲絕緣體在界面處有更低維度的邊界態(tài)，比如m維的n階拓撲絕緣體，具有m?1,m?2,···,m?n+1維有能隙的邊界態(tài)，m?n維的無能隙邊界態(tài)。如在三維體系中，二階拓撲絕緣體具有棱態(tài)，三階的拓撲絕緣體具有角態(tài)，二維的體系中，零維的角態(tài)出現(xiàn)在二階拓撲絕緣體中。

6.1 量子化四極拓撲絕緣體

Benalcazar,Bernevig 和Hughes在多極矩展開時，提出量子多極矩絕緣體模型[45]，并進行了系統(tǒng)的總結[46]。四極矩絕緣體的偶極矩為零而四極矩不為零，八極矩絕緣體的四極矩和偶極矩為零，但具有量子化的八極矩。在緊束縛模型里引入正負耦合可以實現(xiàn)多極矩拓撲絕緣體。隨后各實驗小組在實驗上實現(xiàn)了四極矩高階拓撲絕緣體，在微波電路中實驗觀察到量子化的四極拓撲絕緣體[47]，聲子體系中，測量機械材料的體，邊和角態(tài)，發(fā)現(xiàn)了預言的有能隙的邊界態(tài)和位于帶隙內(nèi)的角態(tài)[149]。

Mittal,S.等人在硅光子平臺實現(xiàn)了量子化的四極拓撲相，揭示了零維角態(tài)的存在[150]。如圖5(a)所示，納米光子硅環(huán)形諧振腔的二維格子模型，一個元胞由4個環(huán)形諧振腔組成，每個諧振腔通過諧振腔連接（紅色和綠色），耦合強度和耦合符號通過調(diào)節(jié)格點諧振環(huán)和連接諧振環(huán)的帶隙大小來調(diào)節(jié)。量子化體四極矩在邊上引起量子化偶極矩，在角上導致量子化的電荷。垂直移動連接諧振環(huán)引入有效躍遷相位 φ=π，原胞內(nèi)合成規(guī)范通量等于π。當原胞間的耦合強度大于原胞內(nèi)部的耦合強度，體系具有非平庸的偶極子極化，在帶隙內(nèi)支持局域的角態(tài)存在，如圖5(b)所示，當耦合強度相反時，則轉變?yōu)槠接沟耐負浣^緣體。這些角態(tài)比零四極矩的拓撲絕緣體形成的角態(tài)更加穩(wěn)定,對納米光子系統(tǒng)中的一些無序免疫。零四極矩時，產(chǎn)生的角態(tài)易受到無序的影響，耦合到體態(tài)內(nèi)，如圖5(c)所示。實現(xiàn)四極絕緣體有多種方法，利用旋磁材料可以實現(xiàn)不具有偶極子極化的四極拓撲絕緣體[151]，在電介質(zhì)結構中，扭轉圓柱改變結構對稱性實現(xiàn)反常四極拓撲相[152]。

6.2 二維SSH 模型

下面介紹另一種實現(xiàn)高階拓撲絕緣體的方法，二維Su-Schrieffer-Heeger(SSH)[153]模型。相比四極高階拓撲相，需要構建正負耦合，二維SSH 模型更簡單。高階二維SSH 模型角態(tài)起源于偶極子極化，它表征wannier 中心的平均位置相對原胞中心的位移[154]。非平庸的二維SSH 也可以由2D的Zak 相位表征[155]。二維光子晶體的體極化的定義如下[49]：

其中，S是第一布里淵區(qū)的面積，Ai(k)=i〈ψm(k)|?ki|ψn(k)〉是貝利聯(lián)絡，m和n表示第m和n條帶的本征態(tài)，i=x,y表示沿x,y方向。Xie等人在二維方格子結構中，模擬了局域角態(tài)和一維邊界態(tài)[156]。隨后兩個研究組，在由電介質(zhì)材料圓柱構成的四方格子中，如圖5(d)[157]和圖5(e)[158]所示，在微波波段利用近場掃描技術實驗觀測到零維拐角態(tài)。原胞內(nèi)外耦合強度由介質(zhì)之間的距離來控制，當原胞間的耦合強度大于原胞內(nèi)的耦合強度時，處于非平庸相，極化為（1/2，1/2），反之處于平庸相，極化為（0，0）。實驗測量的電場分布分別如圖5(f)[157]和圖5(g)[158]所示。另外，金屬材料的二維SSH晶格中，金屬納米粒陣列的偶極子極化同樣導致角模式[159]。同樣基于SSH 晶格，Ota,Y.等人在納米腔中實驗觀察到Q 值因子超過2000 的角態(tài)[160]。

人們也可以利用Kagome格子實現(xiàn)高階拓撲絕緣體[49-50]。如圖5(h)所示，一個Kagome格子的二階拓撲絕緣體示意圖[48]。當胞間耦合大于胞內(nèi)耦合時，體極化等于（1/3，1/3），wannier 中心偏離原胞中心，處于非平庸相，邊界態(tài)和角態(tài)出現(xiàn)在界面。文中指出，當非近鄰原胞間的遠場相互作用不可避免時，在光子晶體中會出現(xiàn)一種特殊的新型高階拓撲相，有區(qū)別于緊束縛作用引起的高階相。如圖5(i)所示，在實驗測得的態(tài)密度譜中，具有兩種類型的角態(tài)，第一種由體極化引起，如圖5(j)所示，而第二種就是由遠場相互作用引起的，如圖5(k)所示。另外，Noh,J.等人在飛秒激光直寫的二維波導陣列中，在陣列的角上觀察到零能模，證明了光子拓撲晶體絕緣體可以拓撲保護中間能隙的頻率，并使光子缺陷模式的體積最小化，該零能模的魯棒性由拓撲不變量保證[161]。同樣，El Hassan, A.等人利用耦合波導構建的kagome格子，在可見光波段實現(xiàn)了局域角態(tài)[162]。

圖5 (a)環(huán)形諧振腔構成的光子四極拓撲系統(tǒng)[150]。(b)非零四極矩時測量的空間強度分布，顯示局域的角態(tài)[150]。(c)零四極矩時觀測的空間強度分布，顯示耦合到體態(tài)的角態(tài)[150]。(d-e)電介質(zhì)材料構成的二階拓撲系統(tǒng)[157-158]。(f-g)微波范圍內(nèi)實驗測量的電場分布圖，顯示局域的角態(tài)[157-158]。(h)kagome格子的光子晶體結構示意圖[48]。(i)實驗測量的態(tài)密度譜[48]。(j-k)實驗測量的場分布圖[48]，分別顯示類型I 的角態(tài)(j)和類型II 的角態(tài)(k)。Fig.5 (a)Schematic of the photonic quadrupole topological system composed of ring resonators[150].(b)At nonzero quantized quadrupole moment the measured spatial intensity profiles shows the localized corner modes[150].(c)At zero quantized quadrupole moment the measured spatial intensity profiles shows the corner modes coupling to the bulk modes[150].(d-e) A second-order photonic system composed of dielectric materials[157-158].(f-g)The electric field profiles measured experimentally in the microwave range showing the localized corner modes[157-158].(h)Schematic diagram of the photonic crystal structure with kagome lattice[48].(i)Experimentally measured densities of states[48].(f-g)The experimentally measured field profiles respectively show the type I corner state (j)and the type II coner state(k)[48].

高階拓撲光子絕緣體為探索拓撲保護的局域態(tài)提供了新的研究平臺。光子高階態(tài)有諸多潛在應用，比如拓撲角態(tài)模式可以用到高Q值，低閾值的激光器上[163-164]，為發(fā)展模式體積小的激光器提供一種途徑。同時寬帶隙的表面波光子晶體的提出[165]，有利于集成光子學的發(fā)展。在非厄密方面，基于耦合腔在非厄密體系中可以實現(xiàn)區(qū)別于凝聚態(tài)體系的高階拓撲絕緣體[166-167]。

7 總結與展望

前面基于二維系統(tǒng)概述了打破時間反演對稱的整數(shù)量子霍爾效應、具有時間反演對稱性的自旋量子霍爾效應、時間調(diào)制的Floquet 拓撲絕緣體、無序誘導的拓撲安德森絕緣體以及高階拓撲絕緣體。拓撲光子學的發(fā)展實現(xiàn)了許多傳統(tǒng)光子學所不能實現(xiàn)的新奇現(xiàn)象，也促進了凝聚態(tài)拓撲相的研究。各種拓撲相正不斷涌現(xiàn)，光學無能隙的半金屬相、非線性光學材料的非線性拓撲相、考慮增益和損耗的非厄米拓撲相、合成維度和維度映射的高維拓撲相等。

光波的拓撲保護和背散射抑制的拓撲態(tài)，對光子學有著巨大的應用潛力。拓撲態(tài)優(yōu)異的傳輸特性將在魯棒輸運、光隔離器、激光器、量子光源、光通訊和量子計算等方面產(chǎn)生重要的影響。盡管拓撲光子學的應用仍有很大的挑戰(zhàn)，比如制造工藝有限和光學材料特性的限制等，但是拓撲光子的獨特性質(zhì)將確保未來應用?？傊?，拓撲光子學在理論、實驗和應用等方面都具有廣闊的發(fā)展前景。