宋院歸，胡奇飛

（中聯(lián)恒通機(jī)械有限公司，長(zhǎng)沙 410073）

1 引言

三軸氣浮臺(tái)通過(guò)氣浮球軸承實(shí)現(xiàn)近似無(wú)摩擦的系統(tǒng)來(lái)模擬太空失重環(huán)境，需要通過(guò)調(diào)平衡裝置將質(zhì)心調(diào)節(jié)到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置，消除重力帶來(lái)的干擾力矩。因此，調(diào)平衡技術(shù)是實(shí)現(xiàn)高精度氣浮臺(tái)的關(guān)鍵技術(shù)。一般而言，自動(dòng)調(diào)平衡技術(shù)可實(shí)現(xiàn)比人工調(diào)平技術(shù)更高的效率和精度，是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)精確調(diào)平衡，必須先測(cè)算出質(zhì)心的精確位置。通過(guò)CAD 軟件建立氣浮臺(tái)的三維模型，可以初步計(jì)算氣浮臺(tái)的質(zhì)心位置，但由于電線(xiàn)、焊接點(diǎn)等零部件建模存在困難，這一方法無(wú)法精確計(jì)算出質(zhì)心的位置。起初，研究人員通過(guò)測(cè)量氣浮臺(tái)的擺動(dòng)周期來(lái)測(cè)算質(zhì)心位置的偏移，進(jìn)而進(jìn)行配平。這種方法將氣浮臺(tái)等效為3D 復(fù)擺[1-2]，但這一方法需要反復(fù)測(cè)量氣浮臺(tái)的擺動(dòng)周期，所需調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。隨后，人們提出基于氣浮臺(tái)的剛體動(dòng)力學(xué)方程來(lái)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，調(diào)節(jié)質(zhì)心位置，文獻(xiàn)[3-4]給出通過(guò)2 個(gè)傾角傳感器實(shí)現(xiàn)水平方向自動(dòng)配平的方法，文獻(xiàn)[5-6] 提出在已知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況下計(jì)算質(zhì)心的方法?；谝延醒芯砍晒?，在此建立三軸氣浮臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，采用最小二乘法處理姿態(tài)信息、計(jì)算質(zhì)心位置，求解配重滑塊位置，實(shí)現(xiàn)氣浮臺(tái)自動(dòng)調(diào)平衡，并與常規(guī)的周期反饋算法進(jìn)行比較。

2 三軸氣浮臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型建立

三軸氣浮臺(tái)由支撐座、氣浮球軸承和轉(zhuǎn)動(dòng)臺(tái)體三部分組成。氣浮球軸承通過(guò)球窩上布置的噴嘴噴出高壓氣體，在球窩與球頭間形成一層極薄的氣膜，實(shí)現(xiàn)三軸近似無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。氣浮臺(tái)采用傘形結(jié)構(gòu)[7-8]，其三維模型如圖1 所示。

圖1 氣浮臺(tái)三維模型

通過(guò)Pro/E 建立三維模型，計(jì)算得到氣浮臺(tái)的質(zhì)量：m=136.95322kg，其質(zhì)心位置偏移為：r=[0,0,-1.8519493×10-3]m，氣浮臺(tái)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心（球頭球心）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：I=[19.021405,17.275641,19.0 21405]kg·m2。

由于臺(tái)體變形較小，假設(shè)臺(tái)體為剛體，按照歐拉角旋轉(zhuǎn)公式，依照Z(yǔ)-Y-X順序旋轉(zhuǎn)，可確定由慣性系到隨體系的變換矩陣Cib如下式：

其中，Ψ為偏航角；θ為俯仰角；φ為滾轉(zhuǎn)角。對(duì)于歐拉角速度方程，有：

又有動(dòng)量矩定理：

其中，M0為作用于平臺(tái)的外力矩矢量和。由于旋轉(zhuǎn)中心與質(zhì)心不重合，所以又有：

其中，LC為平臺(tái)相對(duì)于質(zhì)心的角動(dòng)量，ω為平臺(tái)相對(duì)于慣性系的角速度（單位為°/s）。

將式(4)和式(5)代入式(3),并寫(xiě)成Aω˙垣B=M 的形式，其中，M 為和外力矩，這里不考慮重力以外的其他干擾力矩，同時(shí)臺(tái)體轉(zhuǎn)速較慢，ω、r 均為小量，I只考慮主慣量，故得：

3 基于復(fù)擺模型的質(zhì)心位置測(cè)算

當(dāng)氣浮臺(tái)小角度擺動(dòng)時(shí)，可以將臺(tái)體近似作為復(fù)擺處理。將氣浮臺(tái)的運(yùn)動(dòng)分解，假設(shè)只繞X軸運(yùn)動(dòng)，則由復(fù)擺周期公式：

由此可求解得到質(zhì)心在豎直方向的偏移為：rz=，X軸水平方向質(zhì)心偏移為：rxX≈rXsinα=，Y軸水平方向質(zhì)心偏移為：ryX≈rXsinθ=，其中，α為X軸與x軸重合時(shí)的傾角，θ為臺(tái)體轉(zhuǎn)動(dòng)180°后的傾角（Y軸）。按照這一方法計(jì)算，結(jié)果如表1 所示。

表1 基于復(fù)擺的質(zhì)心測(cè)算結(jié)果

4 基于動(dòng)力學(xué)反演的質(zhì)心位置測(cè)算

4.1 基于最小二乘法測(cè)算質(zhì)心位置

基于式(6)，可通過(guò)變形來(lái)求解質(zhì)心位置，有：

其中：

可將式(8)簡(jiǎn)寫(xiě)為：

對(duì)式(9)求廣義逆矩陣，質(zhì)心可通過(guò)最小二乘法求得為：

通過(guò)最小二乘法即可計(jì)算得到質(zhì)心的位置。測(cè)算結(jié)果如圖2 所示。

圖2 質(zhì)心測(cè)算結(jié)果

由圖2 可知，基于最小二乘法質(zhì)心算法收斂較快，可有效縮短測(cè)量時(shí)間，更快地實(shí)現(xiàn)質(zhì)心調(diào)節(jié)；同時(shí)偏差較小，對(duì)質(zhì)心位置的測(cè)量更加精確。

4.2 算法實(shí)現(xiàn)

基于最小二乘法的質(zhì)心算法實(shí)現(xiàn)的總體流程可描述為圖3 的流程圖。

圖3 基于最小二乘法質(zhì)心算法流程

根據(jù)復(fù)擺公式(7)，三軸氣浮臺(tái)質(zhì)心測(cè)量可根據(jù)氣浮臺(tái)的擺動(dòng)周期來(lái)確定。由表1 可知，氣浮臺(tái)垂直方向質(zhì)心與球心的偏移量小于10-5m 時(shí)，系統(tǒng)的干擾力矩為10-2N·m 量級(jí)，此時(shí)三軸氣浮臺(tái)擺動(dòng)周期在160s 左右。

氣浮臺(tái)四個(gè)支腿上（相對(duì)支腿為一軸）各安裝伺服電機(jī)，外加高精度絲桿與滑塊，通過(guò)滑塊移動(dòng)調(diào)節(jié)臺(tái)體的質(zhì)心垂直方向和水平方向的偏移量。臺(tái)體上布置一個(gè)兩軸傾角儀，輸出頻率為100Hz，精度0.002°，測(cè)量臺(tái)體角度信息，計(jì)算臺(tái)體X軸或Y軸兩個(gè)角度極大值的時(shí)間間隔，可得臺(tái)體的擺動(dòng)周期。實(shí)驗(yàn)中取X軸為計(jì)算依據(jù)。由于氣浮臺(tái)最大擺動(dòng)角度僅為30 度，水平方向的過(guò)度偏擺可能導(dǎo)致氣浮臺(tái)觸碰到防傾翻保護(hù)環(huán)，從而影響到整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)心發(fā)生變化，故此先做傾角調(diào)整再進(jìn)行周期調(diào)整，并且設(shè)置衰減系數(shù)，防止調(diào)整過(guò)度。

傾角調(diào)整量可按如下兩式相應(yīng)地計(jì)算出來(lái)：

此時(shí)，當(dāng)T＜100 s，k=0.8；當(dāng)100 s＜T＜150 s，k=0.6；當(dāng)T＞150s，k=0.4；

此時(shí)，當(dāng)T＜100 s，k=0.8；當(dāng)100 s＜T＜200 s，k=0.4；當(dāng)T＞200s，k=0.3；

傾角的調(diào)整采用如表2 所示的方式進(jìn)行調(diào)整。

表2 傾角調(diào)整方式對(duì)應(yīng)表

表中，采用X傾角大于0，則1、2 向下調(diào)整Δlx，3、4 向上調(diào)整Δlx，反之相反；采用Y傾角＞0，則2、3向下調(diào)整Δly，1、4 向上調(diào)整Δly，反之相反。

X軸和Y軸分開(kāi)調(diào)整，一般可先調(diào)整X后調(diào)整Y。若不能向下調(diào)整，則只向上調(diào)整，進(jìn)行迭代，直到傾角小于2°。

待傾角調(diào)整到2°以?xún)?nèi)，再調(diào)整周期。周期調(diào)整量可根據(jù)如下公式計(jì)算：

此時(shí)，當(dāng)Tx＜100 s，k=0.8；當(dāng)100s＜Tx＜150 s，k=0.6；當(dāng)Tx＞150s，k=0.4。

根據(jù)上述式(11)～(13)進(jìn)行迭代調(diào)整。其中周期調(diào)整采用4 個(gè)電機(jī)同時(shí)向上移動(dòng)，若不能滿(mǎn)足4 個(gè)移動(dòng)，則采用2 個(gè)相對(duì)電機(jī)同向移動(dòng)。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

在三軸氣浮臺(tái)上，以氣浮臺(tái)擺動(dòng)周期大于160s為目標(biāo)，此時(shí)系統(tǒng)的干擾力矩小于10-2N·m，分別采用周期反饋算法和基于最小二乘法的質(zhì)心算法進(jìn)行調(diào)試，比較各自的調(diào)試時(shí)間，比較結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 兩種方法的調(diào)試效果對(duì)比

從圖4 可以看出，三軸氣浮臺(tái)使用周期反饋算法將擺動(dòng)周期從22 秒調(diào)整到160 秒需要近16 分鐘；基于最小二乘法質(zhì)心算法只需要9 分鐘左右，效率有較大提升。

6 結(jié) 束 語(yǔ)

在對(duì)三軸氣浮臺(tái)的動(dòng)力學(xué)建模中，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，仿真了其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角度和角速度變化。通過(guò)仿真的角度變化數(shù)據(jù)，計(jì)算出氣浮臺(tái)的擺動(dòng)周期，從而測(cè)算質(zhì)心的位置。通過(guò)動(dòng)力學(xué)反演的方法，采用最小二乘法處理姿態(tài)信息，并分析質(zhì)心位置的計(jì)算速度與精度。通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，在三軸氣浮臺(tái)上分別采用周期反饋算法和基于最小二乘法質(zhì)心算法進(jìn)行調(diào)試，后者時(shí)間明顯小于前者，有效提高了三軸氣浮臺(tái)的調(diào)試效率。