曹錦承 劉來君 張杰 丁昊

長安大學公路學院，西安710043

轉體施工法在跨越溝壑、峽谷等復雜地形條件下具有獨特的優(yōu)勢［1］。球鉸作為轉體施工法中轉體裝置的重要組成部分，已成為當今國內外學者的研究熱點之一。對球鉸的精細研究，能夠保證橋梁上部結構的轉體施工質量，提高施工的安全性［2］。

國內外學者對轉體球鉸的研究主要集中在轉體施工中的工作性能和應力分析方面。工作性能方面，文獻［3］通過分析轉體施工過程中不同環(huán)境因素，考慮其對轉體裝置球鉸工作性能的影響。文獻［4］針對轉體球鉸的結構特點并結合抗震要求，提出了一種新的連續(xù)梁轉體系統(tǒng)。應力分析方面，學者大多研究普通球鉸的力學性能。文獻［5］通過考慮球鉸的結構分析模型，推導了上球鉸中心孔壁與銷軸間距和上下球鉸間摩擦板最小彈性壓縮量的簡化計算公式。文獻［6］對比基于不同假設的轉體施工中球鉸應力計算方法的準確性，結合有限元分析提出計算方法的修正建議。文獻［7］針對常規(guī)大噸位球鉸提出了一種徑向應力的計算方法。文獻［8］針對橋梁平轉過程，計算了球鉸復雜狀態(tài)下的主應力并得到該類橋梁所受正應力的強度條件。文獻［9］對橋梁結構在偏載作用下的球鉸性能進行分析，并驗證了球鉸的安全性。

現(xiàn)有相關理論在計算球鉸轉動時認為上下球鉸全面積接觸，這與實際情況不符。上下球鉸接觸面的接觸面積與表面靜摩擦因數(shù)是控制轉體成功的主要因素，若對接觸面上計算參數(shù)估算不準確，可能會出現(xiàn)牽引力不夠，橋梁轉不動的情況，也可能出現(xiàn)由于摩擦力不足，導致轉動過程中轉體結構傾覆。

本文基于赫茲公式和現(xiàn)有理論，提出修正球鉸實際接觸面積的球鉸靜摩擦因數(shù)計算方法，得到適用于間隙球鉸的靜摩擦因數(shù)計算公式，并通過一工程實例驗證該公式的準確性。

1 稱重試驗及傳統(tǒng)計算方法

1.1 球鉸摩阻力矩測試原理

球鉸稱重試驗時存在兩種情況，須采用不同的稱重計算原理。

1）當球鉸的摩阻力距MZ小于橋梁結構的不平衡力矩MG時，轉盤與承臺之間的臨時固結解除后，轉體結構順著不平衡力矩方向發(fā)生傾斜。假設下落端為主梁B端，則A端支反力P1為0，測量B端支反力P2；再頂升B端，使得橋梁結構傾斜方向改變，且保證A端支反力為0（圖1）。記錄轉動過程中千斤頂和百分表讀數(shù)，根據(jù)荷載-位移曲線判斷克服最大靜摩阻力矩時的力P3。此時轉體不平衡力矩和球鉸摩阻力矩分別為

圖1 球鉸摩阻力矩小于轉體不平衡力矩稱重原理

2）當球鉸的摩阻力距MZ大于橋梁結構的不平衡力矩MG時，結構不會發(fā)生傾斜。分別在主梁A端，B端進行頂升，使結構在平面內發(fā)生順時針、逆時針的微小轉動，記錄轉動過程中千斤頂和百分百讀數(shù)。根據(jù)荷載-位移曲線判斷克服最大靜摩阻力矩時的力P4和P5。此時轉體不平衡力矩和球鉸摩阻力矩分別為

圖2 球鉸摩阻力矩大于轉體不平衡力矩稱重原理

1.2 傳統(tǒng)靜摩擦因數(shù)計算方法

轉動體球鉸靜摩擦因數(shù)傳統(tǒng)方法［10］認為稱重試驗時轉動體球鉸在沿梁軸線的豎平面內發(fā)生微小角度的豎轉。摩阻力矩為摩擦面每個微面積上的摩擦力對過球鉸中心豎轉法線的力矩之和。將球鉸劃分為許多微圓環(huán)，微圓環(huán)與球鉸中線夾角為θ，球鉸接觸半徑為c，設每一環(huán)的寬度為ds（圖3）。圖中，R為球鉸的半徑；μ0為球鉸靜摩擦因數(shù)；σ為球鉸的轉動質量在接觸部分產生的壓力分量。由圖3的幾何關系可知：dMZ=RcosθdF，dF=μ0σdA，dA=2πcds，c=Rsinθ，ds=Rdθ。其中，F(xiàn)為施加在球體上的法向力，A為微圓環(huán)面積。

圖3 傳統(tǒng)方法轉動體球鉸靜摩擦因數(shù)計算示意

根據(jù)圖3得到MZ為

式中：N為轉體質量。

傳統(tǒng)理論認為當上球鉸與下球鉸半徑相等時，上下球鉸的接觸面積相等，此時接觸半徑與球鉸所劃分的微圓環(huán)半徑相等；若上下球鉸半徑不相等，式（5）則不再適用。實際工程中，上下球鉸具有不相等的情況，因而需要推導出一種適用于上下球鉸半徑不相等的靜摩擦因數(shù)計算方法，即上下球鉸自一開始接觸就存在間隙，本文稱為間隙球鉸。

2 修正接觸面積的計算方法

赫茲公式［11］認為當兩球體接觸時，其接觸區(qū)域為一個圓面，接觸半徑c為

導數(shù)作為函數(shù)在某一點處的瞬時變化率刻畫了函數(shù)變化趨勢(上升或下降的陡峭程度)，而函數(shù)的單調性也是對函數(shù)變化趨勢的一種刻畫，那么導數(shù)與函數(shù)的單調性有什么聯(lián)系呢？(教師通過用超級畫板演示曲線上點在運動的過程中，提醒學生注意觀察切線的斜率符號的變化.)

式中：μ1、μ2分別為兩球體的泊松比；ρ1、ρ2分別為兩球體的曲率半徑；E1、E2分別為兩球體的彈性模量。

接觸面積變化時，豎向壓力也發(fā)生變化。修正面積法轉體間隙球鉸靜摩擦因數(shù)計算示意如圖4?？梢?，當上下球鉸半徑不相同時球鉸邊會產生接觸間隙，傳統(tǒng)計算公式已不再適用。

圖4 修正面積法轉體間隙球鉸靜摩擦因數(shù)計算示意

考慮接觸壓力與接觸區(qū)域內任意一點到接觸中心的距離成正比［12］，結合球體變形分析，確定接觸壓力分布函數(shù)為

式中：σ(ρ)為接觸區(qū)域內任意一點的接觸壓力；σmax為接觸面上最大接觸壓力；ρ為接觸區(qū)域各圓環(huán)半徑；φ為豎直方向和每個圓環(huán)形成的夾角；ρsinφ為接觸區(qū)域內任意一點到接觸中心的距離。

考慮接觸壓力分布的對稱性，以ρ為半徑的同一圓環(huán)接觸區(qū)域內，接觸壓力相等。因此，只需要知道圓環(huán)上的一點，即可確定環(huán)中其余部分的接觸壓力。根據(jù)幾何關系式（7）簡化為

根據(jù)圖4的幾何關系，將簡化公式的參數(shù)與球鉸中的幾何參數(shù)相對應，可得

考慮間隙的存在，積分上限需要按照接觸半徑進行修改，根據(jù)圖4幾何關系可知：

式中：R1、R2分別為上球鉸和下球鉸球體半徑，對于轉體施工橋梁球鉸，R1取正值，R2取負值，k1、k2均為與材料泊松比以及彈性模量有關的常數(shù)。

式中：E為接觸材料的彈性模量，即上下球鉸的材料彈性模量。

實際工程中，球鉸材料等參數(shù)可確定，由式（6）求得接觸半徑，再代入式（11）得到靜摩擦因數(shù)為

由于接觸面積的改變，轉體牽引力的計算方法已不再適用。文獻［12］發(fā)現(xiàn)采用平面積分法計算時須假定撐腳與滑道、上下球鉸均為全面積接觸，忽略因滑片布置不當引起的接觸空隙，但這類算法不適用間隙球鉸。計算間隙球鉸牽引力時，本文認為轉體過程中撐腳懸空，接觸區(qū)域為赫茲公式的接觸圓區(qū)域，實際接觸面可視為由無數(shù)部分微圓環(huán)積分而成，部分圓環(huán)可以簡化為一小矩形微元（圖5），微元面為rdβdr，其所受壓力力臂為r。

圖5 平面積分微圓

積分推導出球鉸處摩擦力M1為

式中：L為牽引力力臂。

3 工程算例

依托國道108線禹門黃河橋西引橋轉體工程，14#，15#墩轉體質量分別為11 020.2，8 485.8 t。轉體球鉸采用活性粉末混凝土（Reactive Powder Concrete，RPC）組合球鉸，見圖6。14#、15#墩球鉸實際承重分別為13 000，10 000 t。上下球鉸的接觸表面為鋼表面。

圖6 工程用RPC球鉸（單位：mm）

由于球鉸上下盤為鋼混復合材料，考慮RPC與鋼材的彈性模量不同，參考文獻［13］中Voigt和Reuss等應變模型推導的兩相復合材料等效彈性模量，則

式中：E復為球鉸的復合彈性模量；β為兩種不同材料等應變模型體積所占比例。

以15#墩RPC組合球鉸為例，球鉸采用C120級RPC材料，彈性模量為42 MPa，泊松比0.2；接觸面鋼材采用Q235鋼材，彈性模量為200 GPa，泊松比0.24；上球鉸半徑4.800 m，下球鉸半徑4.929 m，上球鉸平面直徑3.0 m，下球鉸平面直徑2.4 m，千斤頂距離球鉸中心L=L1=L2=4.35 m。

根據(jù)球鉸稱重試驗（圖7）可知，該試驗屬于1.1節(jié)中第二種情況，測得P4=969.51 kN，P5=2 130.03 kN。將其代入式（3）和式（4）可得轉體不平衡力矩MG=2 524.13 kN·m，RPC組合球鉸摩阻力矩MZ=6 741.50 kN·m。

圖7 試驗現(xiàn)場

參考赫茲公式，利用式（4）計算得到15#墩的接觸半徑為4.6 m。對比傳統(tǒng)計算法與修正面積法計算的靜摩擦因數(shù)并反算牽引力，再將其與實測牽引力對比，結果見表1。

表1 傳統(tǒng)方法與修正方法計算值與實測數(shù)據(jù)對比

由表1可知，對于RPC間隙球鉸，傳統(tǒng)計算法牽引力計算值遠大于實測值，誤差達到了43.5%，修正面積法牽引力計算值略大于實測值，誤差為9.4%，控制誤差在10%以內，且不失一般性，該方法可以運用到實際工程間隙球鉸中。

4 結論

1）傳統(tǒng)的計算方法認為上下球鉸為緊密接觸狀態(tài)，球鉸之間不存在接觸間隙，只適用于一般球鉸，針對于間隙球鉸，牽引力計算值與實測值存在較大誤差，已不再適用。

2）基于赫茲公式對有效接觸面積修正的方法，可計算間隙球鉸的靜摩擦因數(shù)，與實際工程較為吻合，廣泛適用于上下半徑不同的間隙球鉸中。