李佳煒，江 晶，吳衛(wèi)華，鄭玉軍

(1.空軍預(yù)警學(xué)院 預(yù)警情報(bào)系，湖北 武漢 430019；2.空軍預(yù)警學(xué)院 空天預(yù)警系，湖北 武漢 430019；3.中國人民解放軍94710部隊(duì)，江蘇 無錫 214000)

協(xié)同多傳感器系統(tǒng)通過將空間分離的傳感器組網(wǎng)協(xié)同，可以提高對彈道導(dǎo)彈和衛(wèi)星等快速目標(biāo)的探測精度、覆蓋范圍和截獲概率，相比單傳感器系統(tǒng)有著更大的潛力和優(yōu)勢[1-2]。然而，系統(tǒng)的融合性能除了受限于傳感器各自的探測能力外，還受到固有的系統(tǒng)誤差影響。在一定數(shù)量級的系統(tǒng)誤差下，傳統(tǒng)的集中式卡爾曼濾波器[3](Centralized Kalman Filter，CKF)的跟蹤性能將嚴(yán)重惡化。因此，為改善系統(tǒng)整體的融合性能，需要首先對系統(tǒng)誤差下的多傳感器進(jìn)行配準(zhǔn)和補(bǔ)償[4-8]。

圍繞多傳感器的系統(tǒng)誤差配準(zhǔn)問題，國內(nèi)外學(xué)者展開了深入的研究。文獻(xiàn)[9-11]針對天基光電傳感器，利用恒星期望位置與實(shí)際量測的殘差，構(gòu)建關(guān)于緩變誤差的偏差濾波器和目標(biāo)狀態(tài)的非線性估計(jì)子，從而實(shí)現(xiàn)校正傳感器量測的同時(shí)估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)。在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[12-13]分別將導(dǎo)致視線量測偏差的系統(tǒng)誤差描述為姿態(tài)失配角和指向偏移角，建立相應(yīng)偏差矢量的轉(zhuǎn)移模型和已知參考點(diǎn)的量測模型，并通過非線性濾波方法實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)誤差的在線配準(zhǔn)與補(bǔ)償。上述研究屬于在線估計(jì)類算法，有良好的實(shí)時(shí)性，但是需要覆蓋范圍內(nèi)參考點(diǎn)的位置信息，而且需要增加用于估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的濾波器。在離線批處理類算法方面，文獻(xiàn)[14]提出適用于兩部傳感器相對配準(zhǔn)的線性最小二乘(Linear Least Squares，LLS)估計(jì)子，并給出了其統(tǒng)計(jì)性能邊界。針對傳感器總數(shù)大于2的情況，文獻(xiàn)[15-16]提出最大似然配準(zhǔn)(Maximum Likehood Registration，MLR)算法，其通過似然函數(shù)最大化迭代實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差和目標(biāo)狀態(tài)的聯(lián)合估計(jì)，且適用于多種傳感器觀測體制。文獻(xiàn)[17-18]針對機(jī)動平臺的姿態(tài)時(shí)變情況，構(gòu)造了能夠同時(shí)估計(jì)傳感器量測、平臺姿態(tài)角系統(tǒng)誤差的機(jī)動最大似然配準(zhǔn)算法。文獻(xiàn)[19]推導(dǎo)了WGS-84坐標(biāo)系下無源傳感器量測對目標(biāo)狀態(tài)的雅可比矩陣，提出了距離缺失情況下多空基無源傳感器最大似然配準(zhǔn)算法。文獻(xiàn)[20]引入衛(wèi)星軌道定向、姿態(tài)角測量與傳感器觀測過程中包含的測量誤差的先驗(yàn)信息來修正目標(biāo)狀態(tài)的誤差協(xié)方差，進(jìn)一步提高了最大似然配準(zhǔn)算法對多星載光學(xué)傳感器的配準(zhǔn)性能。

然而，上述最大似然配準(zhǔn)算法均采用泰勒展開的一階項(xiàng)來線性化非線性量測轉(zhuǎn)換，其對非線性函數(shù)的近似僅達(dá)到一階多項(xiàng)式精度，限制了算法的配準(zhǔn)性能。統(tǒng)計(jì)線性回歸(Statistical Linear Regression，SLR)是一種基于點(diǎn)的方法，其利用多個(gè)回歸點(diǎn)來近似函數(shù)的非線性，能精確到高階多項(xiàng)式且避免了計(jì)算復(fù)雜的雅可比或海塞矩陣[21-22]。因此，筆者提出一種基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的最大似然配準(zhǔn)算法。該算法利用一組不完全相同的回歸點(diǎn)，通過統(tǒng)計(jì)線性回歸構(gòu)建目標(biāo)狀態(tài)關(guān)于去偏量測的回歸方程，并得到投影后目標(biāo)狀態(tài)的前二階統(tǒng)計(jì)特性；同時(shí)利用似然最大化迭代準(zhǔn)確求解配準(zhǔn)方程，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)誤差和目標(biāo)狀態(tài)的聯(lián)合估計(jì)。

1 非隨機(jī)系統(tǒng)誤差的最大似然估計(jì)

考慮一個(gè)協(xié)同多傳感器系統(tǒng)對共同區(qū)域內(nèi)的同一目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)同步觀測，各傳感器在觀測維度上受到不同程度的系統(tǒng)誤差影響，因此系統(tǒng)的量測方程可建模為

zk=h(xk)+b+wk，

(1)

(2)

由于目標(biāo)狀態(tài)xk未知，在b和xk均未知的情況下，僅能得到似然函數(shù)p(Z|X，b)，其中目標(biāo)狀態(tài)集合X={xk∶k=1，2，…，K}。通過聯(lián)合最大化關(guān)于X和b的似然函數(shù)，并根據(jù)噪聲項(xiàng)wk在時(shí)域內(nèi)相互獨(dú)立，可得X和b的最大似然估計(jì)值為

(3)

式(3)也稱為系統(tǒng)的配準(zhǔn)方程，其中p(zk|xk，b)為量測矢量zk的條件概率密度。

2 統(tǒng)計(jì)線性誤差傳播理論框架

(4)

由式(4)可知，目標(biāo)狀態(tài)投影誤差是由高斯量測噪聲經(jīng)非線性量測轉(zhuǎn)換函數(shù)傳播后產(chǎn)生的。在系統(tǒng)誤差bn已知的條件下，目標(biāo)狀態(tài)xk，n的概率密度可近似為一個(gè)均值為xk的高斯分布。利用統(tǒng)計(jì)線性回歸對非線性量測轉(zhuǎn)換進(jìn)行線性化處理，可近似求得目標(biāo)狀態(tài)的一階、二階統(tǒng)計(jì)特性。

(5)

(6)

其中，

(7)

(8)

(9)

非線性函數(shù)g的線性化形式可表示為

xk=gL(yk)=Ayk+c+e。

(10)

式(10)也稱為xk關(guān)于yk的回歸方程，其中殘差e的均值和協(xié)方差矩陣為

(11)

(12)

其中，

(13)

因此，經(jīng)線性化函數(shù)gL傳播后的前二階矩分別為

(14)

var(gL(yk))=AΣykAT+(Σxk-AΣykAT)=Σxk。

(15)

3 基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的最大似然配準(zhǔn)算法

(16)

(17)

(18)

3.1 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)

使得條件概率密度p(zk|xk，b)在目標(biāo)狀態(tài)空間中最大化的xk就是目標(biāo)狀態(tài)的最大似然估計(jì)。考慮到噪聲序列wk，n在傳感器間具有相互獨(dú)立性，則可將p(zk|xk，b)表示為緊湊形式：

(19)

聯(lián)合式(10)，并忽略線性化誤差ek，n的影響，則式(19)在目標(biāo)狀態(tài)空間中的近似形式可表示為

p(zk，1，zk，2，…，zk，N|xk，b)≈

(20)

根據(jù)式(13)，目標(biāo)狀態(tài)誤差協(xié)方差Σxk，n可近似為

(21)

其中，

(22)

(23)

3.2 系統(tǒng)誤差估計(jì)

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

其中，

(28)

(29)

(30)

其中，

(31)

(32)

代入式(27)，式(32)可化簡為式(20)的形式：

(33)

(34)

3.3 算法執(zhí)行流程

SLR-MLR算法主要由系統(tǒng)誤差估計(jì)和目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)兩個(gè)部分組成。算法的具體執(zhí)行流程概括如下。

輸入：歷史量測集合Z={zk∶k=1，…，K}。

誤差估計(jì)：

fork=1，…，Kdo

forn=1，…，Ndo

end for

end for

end while

狀態(tài)估計(jì)：

根據(jù)式(27)，計(jì)算所有傳感器配準(zhǔn)后量測在目標(biāo)狀態(tài)空間中的投影Xk；

4 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

4.1 場景設(shè)置與評價(jià)指標(biāo)

(35)

(36)

假設(shè)系統(tǒng)在目標(biāo)發(fā)射60 s后開始進(jìn)行觀測，量測采樣間隔為1 s，各地面站的地理坐標(biāo)分別為?1=(120°E，38°N)、?2=(112.5°E，50°N)和?3=(105°E，38°N)。整個(gè)系統(tǒng)的觀測性能參數(shù)如下：各雷達(dá)的系統(tǒng)誤差分別設(shè)置為b1=[2.5 km，3.5°，-1.5°]T、b2=[-1.8 km，-3°，1°]T和b3=[2 km，-2.5°，-1°]T；量測誤差標(biāo)準(zhǔn)差均設(shè)置為σρn=0.1 km，σθn=0.2°和σφn=0.25°。仿真場景示意如圖1所示。

(a) 雷達(dá)位置與目標(biāo)軌跡

(b) 量測在狀態(tài)空間中的投影

將系統(tǒng)誤差估計(jì)的平均誤差(Mean Error，ME)和誤差標(biāo)準(zhǔn)差(Error Standard Deviation，ESD)作為性能評價(jià)指標(biāo)，來衡量算法對系統(tǒng)誤差的配準(zhǔn)性能。此外，采用文獻(xiàn)[15]定義的克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)為性能參考邊界。該邊界是一個(gè)保守值，對于數(shù)量不大的蒙特卡羅仿真，能夠較準(zhǔn)確地評估算法理論上的最優(yōu)估計(jì)性能。注意：系統(tǒng)誤差估計(jì)的克拉美羅下界的計(jì)算需要利用目標(biāo)狀態(tài)的真實(shí)值xk，其表達(dá)式為

(37)

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與性能分析

仿真實(shí)驗(yàn)首先通過單次蒙特卡羅運(yùn)行，給出了量測采樣點(diǎn)數(shù)為400時(shí)的SLR-MLR配準(zhǔn)效果，系統(tǒng)誤差估計(jì)和目標(biāo)狀態(tài)融合結(jié)果如圖2與圖3所示。從配準(zhǔn)結(jié)果可以看出，算法在迭代次數(shù)遞增至3～5次后，能較好地收斂到系統(tǒng)誤差的預(yù)設(shè)值附近，并且在任意一個(gè)雷達(dá)不同觀測維度上的估計(jì)精度能夠達(dá)到95%以上。此外，在量測集合經(jīng)配準(zhǔn)補(bǔ)償后，算法的狀態(tài)融合結(jié)果穩(wěn)定且接近目標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)。

圖2 系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果

圖3 目標(biāo)狀態(tài)融合結(jié)果

然后，通過100次蒙特卡羅運(yùn)行，圖4和圖5給出了迭代總數(shù)為5、采樣總數(shù)為200～400情況下SLR-MLR的配準(zhǔn)性能，分別為系統(tǒng)誤差估計(jì)的平均誤差和誤差標(biāo)準(zhǔn)差。由圖可知，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的遞增，算法在各個(gè)觀測維度上的平均誤差趨于平穩(wěn)且收斂于0，誤差標(biāo)準(zhǔn)差接近于克拉美羅下界的開平方；在采樣總數(shù)增加至300后，其穩(wěn)態(tài)平均誤差絕對值的算術(shù)平均分別為0.153 8 km、0.266 3 km、0.230 7 km，0.007 7°、0.002 9°、0.003 3°，以及0.015 2°、0.010 1°、0.007 2°。結(jié)果表明：SLR-MLR能有效地解決協(xié)同多傳感器系統(tǒng)的配準(zhǔn)問題，并且對系統(tǒng)誤差的估計(jì)是漸進(jìn)無偏有效估計(jì)。

基于上述仿真場景和相同的性能參數(shù)，將筆者所提SLR-MLR算法與文獻(xiàn)[15-20]采用的基于一階泰勒多項(xiàng)式近似的最大似然配準(zhǔn)算法(Taylor-MLR)進(jìn)行比較。圖6給出了迭代總數(shù)為5、采樣總數(shù)為250～300情況下兩種算法對雷達(dá)1的配準(zhǔn)性能，待測試的SLR-MLR中參數(shù)k取值為0、10、20、30、40。圖中，SLR-MLR的ESD明顯低于Taylor-MLR，并且增大參數(shù)k可以明顯地改善其配準(zhǔn)性能。這是因?yàn)門aylor-MLR只能精確到一階多項(xiàng)式，而利用不敏變換生成加權(quán)回歸點(diǎn)的SLR-MLR可以達(dá)到三階多項(xiàng)式精度，因此可以更精確地捕捉觀測過程的非線性特征以及不確定性。

圖4 系統(tǒng)誤差估計(jì)的平均誤差

圖5 系統(tǒng)誤差估計(jì)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差

圖6 算法性能比較

為進(jìn)一步分析參數(shù)k對算法性能的影響，圖7給出了采樣總數(shù)為300時(shí)不同k下SLR-MLR的配準(zhǔn)性能。由圖可知，當(dāng)60≤k≤100時(shí)，SLR-MLR的距離ESD和俯仰ESD達(dá)到最優(yōu)，而其方位ESD在k增大到80后開始收斂，因此建議k的取值區(qū)間為[80，100]。此外，通過仿真實(shí)驗(yàn)可知，兩種算法單個(gè)配準(zhǔn)回路的平均運(yùn)行時(shí)間分別為4.52 s、3.12 s，因此SLR-MLR的計(jì)算復(fù)雜度約為Taylor-MLR的1.45倍，計(jì)算復(fù)雜度沒有明顯增加。

圖7 不同參數(shù)k下SLR-MLR的配準(zhǔn)性能

5 總 結(jié)

筆者對協(xié)同多傳感器系統(tǒng)探測彈道目標(biāo)情況下的系統(tǒng)誤差配準(zhǔn)問題進(jìn)行了研究，提出了一種基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的最大似然配準(zhǔn)算法。通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，可以得到如下結(jié)論：(1) SLR-MLR算法能較好地實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)誤差和目標(biāo)狀態(tài)的聯(lián)合估計(jì)，其中獲得的系統(tǒng)誤差估計(jì)是漸進(jìn)無偏有效估計(jì)；(2) 利用不敏變換生成加權(quán)回歸點(diǎn)，SLR-MLR能達(dá)到三階多項(xiàng)式精度，并且適當(dāng)增大縮放比例參數(shù)可以提升算法的配準(zhǔn)性能；(3) SLR-MLR的配準(zhǔn)精度高于Taylor-MLR，且計(jì)算復(fù)雜度沒有明顯增加，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

需要注意的是，所提算法僅適用于靜態(tài)系統(tǒng)誤差的配準(zhǔn)場景。對于時(shí)變系統(tǒng)誤差下的傳感器配準(zhǔn)問題，采用偽量測方法得到系統(tǒng)誤差的閉式表達(dá)，再應(yīng)用遞歸最小二乘[24]或者遞歸期望最大化[25]算法，可實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)誤差估計(jì)的動態(tài)更新。這也是下一步協(xié)同多傳感器配準(zhǔn)的研究難點(diǎn)和重點(diǎn)。