李雪，黃美容，王德鑫

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼028043；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 核物理研究所，內(nèi)蒙古 通遼028043）

隨著國防科技及核能與核技術(shù)研究的發(fā)展，近幾年來新型核能系統(tǒng)的研發(fā)對(duì)核數(shù)據(jù)的需求越來越強(qiáng)烈，相關(guān)單位對(duì)核數(shù)據(jù)研究的關(guān)注度也逐漸加強(qiáng)，紛紛投入人力、物力開展核數(shù)據(jù)相關(guān)研究，進(jìn)一步促進(jìn)核數(shù)據(jù)研究工作的發(fā)展［1］.

恒星中的重元素是通過不同機(jī)制產(chǎn)生的，如慢中子俘獲（s過程）和快速中子俘獲過程（r過程）.在紅巨星中發(fā)現(xiàn)的s過程解釋了大約60%比56Fe重的原子核的起源，剩下的40%的原子核通常歸因于r過程［2］.其中麥克斯韋平均截面（Maxwell average cross section，簡稱MACS）是研究天體中重元素合成的重要參數(shù)，利用該參數(shù)可計(jì)算出太陽系的核素豐度、給出有關(guān)s過程中核合成的中子密度分布和宇宙年齡、溫度等情況［3］.因此，找到最適合的積分方式，對(duì)研究核天體物理起著重要作用.目前s過程核合成的計(jì)算通?；趯Ｓ玫暮颂祗w物理數(shù)據(jù)庫，如BAO等［4的工作.這些數(shù)據(jù)庫包含麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率的質(zhì)量信息.NAKAGAWA等［5］也根據(jù)JENDL-3.3評(píng)價(jià)的核反應(yīng)庫計(jì)算了麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率.

從20世紀(jì)40年代研究核數(shù)據(jù)開始，各個(gè)國家都先后建立了自己的評(píng)價(jià)核數(shù)據(jù)庫，尤其是中子核數(shù)據(jù)庫，并且不斷地更新版本.比如美國的ENDF、歐洲的JEFF、日本的JENDL、中國的CENDL、前蘇聯(lián)的BROND等.美國國家核數(shù)據(jù)中心（NNDC）收錄了ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0和CENDL-3.1［6-9］評(píng)價(jià)的核反應(yīng)庫的麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率.筆者采用梯形數(shù)值積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分［10］對(duì)70Ge、73Ge（n，γ）的麥克斯韋平均截面進(jìn)行計(jì)算，找到其中最合適的積分方法，并用該方法對(duì)ENDF/B-VIII.0、JEFF-3.3、CENDL-3.2和TENDL-2019［11-14］的最新版本的核反應(yīng)庫進(jìn)行了計(jì)算.

1 麥克斯韋平均截面

設(shè)天體環(huán)境中有2種原子核x和y，其中y為靶核，x為入射炮彈，x和y發(fā)生核反應(yīng)的反應(yīng)速率與它們之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v、反應(yīng)截面σ以及A和B的數(shù)密度，即

其中，R為核反應(yīng)的反應(yīng)速率.

在天體環(huán)境中，核的速度分布可以用一個(gè)概率函數(shù)φ（v）表示，φ（v）滿足［15］

因此，在計(jì)算時(shí)應(yīng)該考慮到速度的分布，計(jì)算所有速度的平均值<σv>，即

其中，<σv>的含義是對(duì)每對(duì)核子的反應(yīng)率.

總反應(yīng)率可以表示為

為了使上述公式包含全同粒子的情況，通常把公式（4）改寫成

核的數(shù)密度可以通過天體密度、核的質(zhì)量分?jǐn)?shù)或摩爾分?jǐn)?shù)來計(jì)算

式中，NA是阿伏伽德羅常數(shù)，Ai是原子核i的質(zhì)量.

通常，原子核運(yùn)動(dòng)速度遵從麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布率，即

這里T是氣體溫度，m是原子核質(zhì)量，指數(shù)項(xiàng)中的分子表示運(yùn)動(dòng)能量E=1/2mv2，函數(shù)φ（v）也可以寫成能量E的函數(shù)

為了方便計(jì)算，通常溫度以T6（106k）為單位，則溫度和玻爾茲曼常數(shù)k的乘積kT可以轉(zhuǎn)化為以keV單位的能量值，即kT=0.086 2×T6keV.對(duì)于發(fā)生在恒星介質(zhì)內(nèi)的核反應(yīng)，參與反應(yīng)的兩個(gè)原子核x和y的速度分布都可以用麥克斯韋-玻爾茲曼分布描述.因此，每對(duì)原子核發(fā)生反應(yīng)的速率，應(yīng)該是兩個(gè)速度分布的乘積的積

式中，v表示2個(gè)原子核之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，用vx和vy分別表示核x與核y的運(yùn)動(dòng)速度.如果用V表示質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)速度：用μ表示x和y的約化質(zhì)量，即μ=mxmy/（mx+my）總質(zhì)量M=mx+my，則反應(yīng)速率<σv>可以寫成v與V的積分表達(dá)式

（10）式中，速度分布函數(shù)φ（V）和φ（v）分別表示為

和

由于速度分布函數(shù)φ（V）和φ（v）都是歸一的，核反應(yīng)界面僅與2個(gè)反應(yīng)核之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，因此式（10）可以簡化為

將式（12）代入可得

把速度v換成能量E后，上式可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)核天體物理反應(yīng)率，將麥克斯韋的平均截面定義為

其中，v是中子和目標(biāo)核素的相對(duì)速度，vt是平均熱速度，由下式給出

由此得出麥克斯韋平均截面的計(jì)算公式為

其中，k和T分別是系統(tǒng)的玻爾茲曼常數(shù)和溫度，E是中子相對(duì)于目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量.ENDF-6格式橫截面的值在實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中制成表格，最后一個(gè)方程必須修改為［1］

其中，a=m2/（m1+m2），k和T分別是系統(tǒng)的玻爾茲曼常數(shù)和溫度是實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中的中子能量，m1和m2分別是中子和靶核的質(zhì)量.

2 積分方法

2.1 梯形數(shù)值積分

與梯形積分不同，梯形數(shù)值積分（Trapezoidal numerical integration）是基于梯形積分形式改進(jìn)的.通過梯形法執(zhí)行數(shù)值積分運(yùn)算.通過將一個(gè)區(qū)域分為包含多個(gè)更容易計(jì)算的區(qū)域的梯形，該方法對(duì)區(qū)間內(nèi)的積分計(jì)算近似值.

當(dāng)有一組數(shù)據(jù)Y時(shí)，通過梯形數(shù)值積分法計(jì)算Y的近似積分（采用單位間距），Y的大小確定求積分所沿用的維度：如果Y為向量，則梯形數(shù)值積分是Y的近似積分.如果Y為矩陣，則梯形數(shù)值積分對(duì)每列求積分并返回積分值的行向量.如果Y為多維數(shù)組，則梯形數(shù)值積分對(duì)其大小不等于1的第一個(gè)維度求積分.該維度的大小變?yōu)?，而其他維度的大小保持不變.

當(dāng)有2組數(shù)據(jù)X、Y時(shí)，通過梯形數(shù)值積分法計(jì)算X、Y積分，根據(jù)X指定的坐標(biāo)或標(biāo)量間距對(duì)Y進(jìn)行積分.如果X是坐標(biāo)向量，則length（X）必須等于Y的大小不等于1的第一個(gè)維度的大小.如果X是標(biāo)量間距，則梯形數(shù)值積分法對(duì)X，Y求積分等于X乘求積后的Y.

2.2 復(fù)化梯形積分

將區(qū)間［a，b］劃分成N等分，子區(qū)間的長為，稱hN為變步長.此時(shí)，節(jié)點(diǎn)為xk=x0+khN（k=0,1…,N）.由定積分的性質(zhì)和梯形公式，得到復(fù)化梯形公式為

2.3 復(fù)化辛普森積分

將區(qū)間［a，b］劃分成N等分，子區(qū)間的長為，在每個(gè)子區(qū)間上采取Simpson公式.此時(shí)，共有2N+1個(gè)節(jié)點(diǎn).即，得到復(fù)化辛普森公式為

3 70Ge、73Ge的MACS計(jì)算

先前公布的麥克斯韋平均截面計(jì)算是基于線性化截面的辛普森積分法，筆者主要根據(jù)ENDF/BVII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫查找的（n，γ）截面數(shù)據(jù)，運(yùn)用梯形數(shù)值積分方法、復(fù)化梯形積分方法、復(fù)化辛普森積分方法對(duì)70Ge、73Ge在8~100 keV下的麥克斯韋平均截面進(jìn)行計(jì)算，并與評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)集Brookhaven National Laboratory report（BNL Report）［16］中數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，分析哪種積分方式計(jì)算結(jié)果更貼近于數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)，接著用最合適的積分方式算出新評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫的麥克斯韋平均截面的值.

BNL Report計(jì)算了843種材料的中子截面、韋斯科特因子、共振積分、麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)率.廣泛分析新評(píng)價(jià)的中子反應(yīng)截面、中子協(xié)方差和數(shù)據(jù)處理技術(shù)的改進(jìn)促使研究者計(jì)算核工業(yè)和中子物理量，產(chǎn)生s過程麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)率，系統(tǒng)地計(jì)算不確定性.討論了核反應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，并給出了新的計(jì)算結(jié)果.因此計(jì)算結(jié)果與BNL Report對(duì)比是比較有可信度的.

3.1 70Ge的MACS計(jì)算

根據(jù)3種方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)作圖如下.

圖1、圖2、圖3、圖4分別為根據(jù)ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.1數(shù)據(jù)庫計(jì)算的70Ge麥克斯韋平均截面與數(shù)據(jù)集BNL Report中麥克斯韋平均截面的對(duì)比圖，其中Trapezoidal表示的是梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果，Mulriple Trapezoidal表示的是復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果，Mulriple Simpson表示的是復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果.從圖1可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果除了在kT=40 keV時(shí)，略高于BNL Report數(shù)據(jù)，其他情況與BNL Report結(jié)果相符；復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果相同，二者在kT=8~40 keV低于BNL Report的結(jié)果，在kT=50~100 keV處，3種計(jì)算方式所得結(jié)果相吻合.從圖2可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果與BNL Report結(jié)果相一致，復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果相契合.同樣在kT=8~40 keV低于BNL Report，在kT=50~100 keV處，3種計(jì)算方式所得結(jié)果完全一致.圖3所能觀察到的與圖1一樣，梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與BNL Report結(jié)果符合的很好，除了在kT=40 keV時(shí)，略高于BNL Report數(shù)據(jù)；而復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果是相吻合的，但是他們?cè)趉T=8~40 keV時(shí)低于BNL Report數(shù)據(jù)，但在kT=50~100 keV處，3種計(jì)算方式所得結(jié)果一致.圖4的整個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)果以及曲線走向都與前3個(gè)圖有所不同，引起不同的原因是原始數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)的不同導(dǎo)致的，如圖5所示.其次，可以觀察到3種積分方式所得結(jié)果與BNL Report數(shù)據(jù)相差都很大，只有在kT=8~10 keV時(shí)梯形數(shù)值積分結(jié)果接近于數(shù)據(jù)庫結(jié)果.

圖1 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.1 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

圖2 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.2 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

圖3 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.3 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

圖4 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.4 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

圖5 7 0Ge不同數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.5 Comparison of(n,γ)cross section data of different70Ge databases

3.2 73Ge的MACS計(jì)算

根據(jù)3種方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)作圖如下.

圖6、圖7、圖8、圖9分別為根據(jù)JEFF-3.1.2、ENDF/B-VII.1、CENDL-3.1、JENDL-4.0、數(shù)據(jù)庫計(jì)算的73Ge麥克斯韋平均截面與數(shù)據(jù)集ENL Report中麥克斯韋平均截面的對(duì)比圖.從圖6可以觀察到梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果在kT=8~60 keV時(shí)略高于BNL Report數(shù)據(jù)，而在60 keV之后兩者吻合；而復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果是一致的，但是它們?cè)趉T=8~60 keV時(shí)低于BNL Report數(shù)據(jù)，但在kT=60~100 keV處，3種計(jì)算方式所得結(jié)果一致.從圖7可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果與BNL Report數(shù)據(jù)相同，復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果很吻合，同樣在kT=8~60 keV時(shí)低于BNL Report數(shù)據(jù)，在kT=60~100 keV處，3種計(jì)算方式所得結(jié)果符合的很好.圖8所能觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果稍高于BNL Report數(shù)據(jù)；而復(fù)化梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果相符，但是它們?cè)趉T=8~60 keV處低于BNL Report數(shù)據(jù)，但在kT=60~100 keV處，3種計(jì)算方式所得結(jié)果一致.由圖9可以看出在kT=8~60 keV處，梯形數(shù)值積分結(jié)果高于BNL Report數(shù)據(jù)，復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果低于BNL Report數(shù)據(jù).

圖6 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.6 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

圖7 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.7 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

圖8 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.8 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

圖9 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.9 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

3.3 70Ge、73Ge在ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019數(shù)據(jù)庫下的MACS計(jì)算

根據(jù)不同評(píng)價(jià)的核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫分別用梯形數(shù)值積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分對(duì)70Ge、73Ge計(jì)算恒星核合成反應(yīng)（n，γ）的麥克斯韋平均截面結(jié)果與BNL Report提供的麥克斯韋平均截面數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)用梯形數(shù)值積分的積分結(jié)果最為符合.所以運(yùn)用相同方法計(jì)算了新的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫的麥克斯韋平均截面.

運(yùn)用梯形數(shù)值積分方法，計(jì)算新的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019的麥克斯韋平均截面.結(jié)果如下.

續(xù)表2

從表1、表2可以看出，無論是70Ge還是73Ge，對(duì)于ENDF庫、CENDL庫新舊版本（n，γ）截面數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果差距不大，CENDL、JEFF-3.3新的數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)，與原版本有一點(diǎn)差別，原因在于數(shù)據(jù)庫原始截面數(shù)據(jù)的差異.就總體而言，幾乎沒有變化.通過數(shù)據(jù)，觀察到JEFF庫的變化很大，所以對(duì)新舊數(shù)據(jù)庫的（n，γ）截面數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較.如圖10、圖11，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫的變化很大，對(duì)麥克斯韋平均截面的影響較大，所以對(duì)新的（n，γ）截面數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算是非常必要的.

表1 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)用梯形數(shù)值積分方式所得7 0Ge的麥克斯韋平均截面Tab.1 ENDF/B-VIII.0，CENDL-3.2，JEFF-3.3，TENDL-2019 evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section of70Ge

表2 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019不同評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)用梯形數(shù)值積分方式所得7 3Ge的麥克斯韋平均截面數(shù)據(jù)Tab.2 ENDF/B-VIII.0，CENDL-3.2，JEFF-3.3，TENDL-2019 different evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section data of73Ge

圖10 70Ge JEFF新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.10 Comparison of(n,γ)cross section data of 70Ge JEFF old and new databases

圖11 7 3Ge JEFF新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.11 Comparison of(n,γ)cross section data of 73Ge JEFF old and new databases

4 結(jié)語

核數(shù)據(jù)是用來描述原子核基本性質(zhì)、核衰變以及入射粒子與原子核發(fā)生反應(yīng)過程等方面信息的統(tǒng)稱，是核科學(xué)與核工程應(yīng)用所需的重要基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，其精度和可靠性直接關(guān)系著核工程產(chǎn)品的可靠性、安全性和經(jīng)濟(jì)性.其中麥克斯韋平均截面的精度及準(zhǔn)確性對(duì)于現(xiàn)階段的研究也是非常重要的，因此，通過不同評(píng)價(jià)的核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫分別用梯形積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分對(duì)70Ge、73Ge計(jì)算恒星核合成反應(yīng)（n，γ）的麥克斯韋平均截面進(jìn)行了計(jì)算，發(fā)現(xiàn)梯形數(shù)值積分方法所得結(jié)果最為符合，對(duì)接下來計(jì)算各種核反應(yīng)參數(shù)是有極大幫助的，同時(shí)也希望能為其他研究者提供參考.