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        70,73Ge的麥克斯韋平均截面計(jì)算

        2021-09-02 07:45:10李雪黃美容王德鑫
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分麥克斯韋辛普森

        李雪,黃美容,王德鑫

        (1.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼028043;2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 核物理研究所,內(nèi)蒙古 通遼028043)

        隨著國防科技及核能與核技術(shù)研究的發(fā)展,近幾年來新型核能系統(tǒng)的研發(fā)對(duì)核數(shù)據(jù)的需求越來越強(qiáng)烈,相關(guān)單位對(duì)核數(shù)據(jù)研究的關(guān)注度也逐漸加強(qiáng),紛紛投入人力、物力開展核數(shù)據(jù)相關(guān)研究,進(jìn)一步促進(jìn)核數(shù)據(jù)研究工作的發(fā)展[1].

        恒星中的重元素是通過不同機(jī)制產(chǎn)生的,如慢中子俘獲(s過程)和快速中子俘獲過程(r過程).在紅巨星中發(fā)現(xiàn)的s過程解釋了大約60%比56Fe重的原子核的起源,剩下的40%的原子核通常歸因于r過程[2].其中麥克斯韋平均截面(Maxwell average cross section,簡稱MACS)是研究天體中重元素合成的重要參數(shù),利用該參數(shù)可計(jì)算出太陽系的核素豐度、給出有關(guān)s過程中核合成的中子密度分布和宇宙年齡、溫度等情況[3].因此,找到最適合的積分方式,對(duì)研究核天體物理起著重要作用.目前s過程核合成的計(jì)算通?;趯S玫暮颂祗w物理數(shù)據(jù)庫,如BAO等[4的工作.這些數(shù)據(jù)庫包含麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率的質(zhì)量信息.NAKAGAWA等[5]也根據(jù)JENDL-3.3評(píng)價(jià)的核反應(yīng)庫計(jì)算了麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率.

        從20世紀(jì)40年代研究核數(shù)據(jù)開始,各個(gè)國家都先后建立了自己的評(píng)價(jià)核數(shù)據(jù)庫,尤其是中子核數(shù)據(jù)庫,并且不斷地更新版本.比如美國的ENDF、歐洲的JEFF、日本的JENDL、中國的CENDL、前蘇聯(lián)的BROND等.美國國家核數(shù)據(jù)中心(NNDC)收錄了ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0和CENDL-3.1[6-9]評(píng)價(jià)的核反應(yīng)庫的麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)速率.筆者采用梯形數(shù)值積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分[10]對(duì)70Ge、73Ge(n,γ)的麥克斯韋平均截面進(jìn)行計(jì)算,找到其中最合適的積分方法,并用該方法對(duì)ENDF/B-VIII.0、JEFF-3.3、CENDL-3.2和TENDL-2019[11-14]的最新版本的核反應(yīng)庫進(jìn)行了計(jì)算.

        1 麥克斯韋平均截面

        設(shè)天體環(huán)境中有2種原子核x和y,其中y為靶核,x為入射炮彈,x和y發(fā)生核反應(yīng)的反應(yīng)速率與它們之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v、反應(yīng)截面σ以及A和B的數(shù)密度,即

        其中,R為核反應(yīng)的反應(yīng)速率.

        在天體環(huán)境中,核的速度分布可以用一個(gè)概率函數(shù)φ(v)表示,φ(v)滿足[15]

        因此,在計(jì)算時(shí)應(yīng)該考慮到速度的分布,計(jì)算所有速度的平均值<σv>,即

        其中,<σv>的含義是對(duì)每對(duì)核子的反應(yīng)率.

        總反應(yīng)率可以表示為

        為了使上述公式包含全同粒子的情況,通常把公式(4)改寫成

        核的數(shù)密度可以通過天體密度、核的質(zhì)量分?jǐn)?shù)或摩爾分?jǐn)?shù)來計(jì)算

        式中,NA是阿伏伽德羅常數(shù),Ai是原子核i的質(zhì)量.

        通常,原子核運(yùn)動(dòng)速度遵從麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布率,即

        這里T是氣體溫度,m是原子核質(zhì)量,指數(shù)項(xiàng)中的分子表示運(yùn)動(dòng)能量E=1/2mv2,函數(shù)φ(v)也可以寫成能量E的函數(shù)

        為了方便計(jì)算,通常溫度以T6(106k)為單位,則溫度和玻爾茲曼常數(shù)k的乘積kT可以轉(zhuǎn)化為以keV單位的能量值,即kT=0.086 2×T6keV.對(duì)于發(fā)生在恒星介質(zhì)內(nèi)的核反應(yīng),參與反應(yīng)的兩個(gè)原子核x和y的速度分布都可以用麥克斯韋-玻爾茲曼分布描述.因此,每對(duì)原子核發(fā)生反應(yīng)的速率,應(yīng)該是兩個(gè)速度分布的乘積的積

        式中,v表示2個(gè)原子核之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度,用vx和vy分別表示核x與核y的運(yùn)動(dòng)速度.如果用V表示質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)速度:用μ表示x和y的約化質(zhì)量,即μ=mxmy/(mx+my)總質(zhì)量M=mx+my,則反應(yīng)速率<σv>可以寫成v與V的積分表達(dá)式

        (10)式中,速度分布函數(shù)φ(V)和φ(v)分別表示為

        由于速度分布函數(shù)φ(V)和φ(v)都是歸一的,核反應(yīng)界面僅與2個(gè)反應(yīng)核之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān),因此式(10)可以簡化為

        將式(12)代入可得

        把速度v換成能量E后,上式可轉(zhuǎn)化為

        根據(jù)核天體物理反應(yīng)率,將麥克斯韋的平均截面定義為

        其中,v是中子和目標(biāo)核素的相對(duì)速度,vt是平均熱速度,由下式給出

        由此得出麥克斯韋平均截面的計(jì)算公式為

        其中,k和T分別是系統(tǒng)的玻爾茲曼常數(shù)和溫度,E是中子相對(duì)于目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量.ENDF-6格式橫截面的值在實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中制成表格,最后一個(gè)方程必須修改為[1]

        其中,a=m2/(m1+m2),k和T分別是系統(tǒng)的玻爾茲曼常數(shù)和溫度是實(shí)驗(yàn)室系統(tǒng)中的中子能量,m1和m2分別是中子和靶核的質(zhì)量.

        2 積分方法

        2.1 梯形數(shù)值積分

        與梯形積分不同,梯形數(shù)值積分(Trapezoidal numerical integration)是基于梯形積分形式改進(jìn)的.通過梯形法執(zhí)行數(shù)值積分運(yùn)算.通過將一個(gè)區(qū)域分為包含多個(gè)更容易計(jì)算的區(qū)域的梯形,該方法對(duì)區(qū)間內(nèi)的積分計(jì)算近似值.

        當(dāng)有一組數(shù)據(jù)Y時(shí),通過梯形數(shù)值積分法計(jì)算Y的近似積分(采用單位間距),Y的大小確定求積分所沿用的維度:如果Y為向量,則梯形數(shù)值積分是Y的近似積分.如果Y為矩陣,則梯形數(shù)值積分對(duì)每列求積分并返回積分值的行向量.如果Y為多維數(shù)組,則梯形數(shù)值積分對(duì)其大小不等于1的第一個(gè)維度求積分.該維度的大小變?yōu)?,而其他維度的大小保持不變.

        當(dāng)有2組數(shù)據(jù)X、Y時(shí),通過梯形數(shù)值積分法計(jì)算X、Y積分,根據(jù)X指定的坐標(biāo)或標(biāo)量間距對(duì)Y進(jìn)行積分.如果X是坐標(biāo)向量,則length(X)必須等于Y的大小不等于1的第一個(gè)維度的大小.如果X是標(biāo)量間距,則梯形數(shù)值積分法對(duì)X,Y求積分等于X乘求積后的Y.

        2.2 復(fù)化梯形積分

        將區(qū)間[a,b]劃分成N等分,子區(qū)間的長為,稱hN為變步長.此時(shí),節(jié)點(diǎn)為xk=x0+khN(k=0,1…,N).由定積分的性質(zhì)和梯形公式,得到復(fù)化梯形公式為

        2.3 復(fù)化辛普森積分

        將區(qū)間[a,b]劃分成N等分,子區(qū)間的長為,在每個(gè)子區(qū)間上采取Simpson公式.此時(shí),共有2N+1個(gè)節(jié)點(diǎn).即,得到復(fù)化辛普森公式為

        3 70Ge、73Ge的MACS計(jì)算

        先前公布的麥克斯韋平均截面計(jì)算是基于線性化截面的辛普森積分法,筆者主要根據(jù)ENDF/BVII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫查找的(n,γ)截面數(shù)據(jù),運(yùn)用梯形數(shù)值積分方法、復(fù)化梯形積分方法、復(fù)化辛普森積分方法對(duì)70Ge、73Ge在8~100 keV下的麥克斯韋平均截面進(jìn)行計(jì)算,并與評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)集Brookhaven National Laboratory report(BNL Report)[16]中數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,分析哪種積分方式計(jì)算結(jié)果更貼近于數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù),接著用最合適的積分方式算出新評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫的麥克斯韋平均截面的值.

        BNL Report計(jì)算了843種材料的中子截面、韋斯科特因子、共振積分、麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)率.廣泛分析新評(píng)價(jià)的中子反應(yīng)截面、中子協(xié)方差和數(shù)據(jù)處理技術(shù)的改進(jìn)促使研究者計(jì)算核工業(yè)和中子物理量,產(chǎn)生s過程麥克斯韋平均截面和天體物理反應(yīng)率,系統(tǒng)地計(jì)算不確定性.討論了核反應(yīng)的計(jì)算結(jié)果,并給出了新的計(jì)算結(jié)果.因此計(jì)算結(jié)果與BNL Report對(duì)比是比較有可信度的.

        3.1 70Ge的MACS計(jì)算

        根據(jù)3種方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)作圖如下.

        圖1、圖2、圖3、圖4分別為根據(jù)ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.1數(shù)據(jù)庫計(jì)算的70Ge麥克斯韋平均截面與數(shù)據(jù)集BNL Report中麥克斯韋平均截面的對(duì)比圖,其中Trapezoidal表示的是梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果,Mulriple Trapezoidal表示的是復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果,Mulriple Simpson表示的是復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果.從圖1可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果除了在kT=40 keV時(shí),略高于BNL Report數(shù)據(jù),其他情況與BNL Report結(jié)果相符;復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果相同,二者在kT=8~40 keV低于BNL Report的結(jié)果,在kT=50~100 keV處,3種計(jì)算方式所得結(jié)果相吻合.從圖2可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果與BNL Report結(jié)果相一致,復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果相契合.同樣在kT=8~40 keV低于BNL Report,在kT=50~100 keV處,3種計(jì)算方式所得結(jié)果完全一致.圖3所能觀察到的與圖1一樣,梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與BNL Report結(jié)果符合的很好,除了在kT=40 keV時(shí),略高于BNL Report數(shù)據(jù);而復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果是相吻合的,但是他們?cè)趉T=8~40 keV時(shí)低于BNL Report數(shù)據(jù),但在kT=50~100 keV處,3種計(jì)算方式所得結(jié)果一致.圖4的整個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)果以及曲線走向都與前3個(gè)圖有所不同,引起不同的原因是原始數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)的不同導(dǎo)致的,如圖5所示.其次,可以觀察到3種積分方式所得結(jié)果與BNL Report數(shù)據(jù)相差都很大,只有在kT=8~10 keV時(shí)梯形數(shù)值積分結(jié)果接近于數(shù)據(jù)庫結(jié)果.

        圖1 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.1 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

        圖2 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.2 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

        圖3 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.3 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

        圖4 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.4 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

        圖5 7 0Ge不同數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.5 Comparison of(n,γ)cross section data of different70Ge databases

        3.2 73Ge的MACS計(jì)算

        根據(jù)3種方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)據(jù)集BNL Report數(shù)據(jù)作圖如下.

        圖6、圖7、圖8、圖9分別為根據(jù)JEFF-3.1.2、ENDF/B-VII.1、CENDL-3.1、JENDL-4.0、數(shù)據(jù)庫計(jì)算的73Ge麥克斯韋平均截面與數(shù)據(jù)集ENL Report中麥克斯韋平均截面的對(duì)比圖.從圖6可以觀察到梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果在kT=8~60 keV時(shí)略高于BNL Report數(shù)據(jù),而在60 keV之后兩者吻合;而復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果是一致的,但是它們?cè)趉T=8~60 keV時(shí)低于BNL Report數(shù)據(jù),但在kT=60~100 keV處,3種計(jì)算方式所得結(jié)果一致.從圖7可以觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果與BNL Report數(shù)據(jù)相同,復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果很吻合,同樣在kT=8~60 keV時(shí)低于BNL Report數(shù)據(jù),在kT=60~100 keV處,3種計(jì)算方式所得結(jié)果符合的很好.圖8所能觀察到梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果稍高于BNL Report數(shù)據(jù);而復(fù)化梯形數(shù)值積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果相符,但是它們?cè)趉T=8~60 keV處低于BNL Report數(shù)據(jù),但在kT=60~100 keV處,3種計(jì)算方式所得結(jié)果一致.由圖9可以看出在kT=8~60 keV處,梯形數(shù)值積分結(jié)果高于BNL Report數(shù)據(jù),復(fù)化梯形積分方式的計(jì)算結(jié)果與復(fù)化辛普森積分方式的計(jì)算結(jié)果低于BNL Report數(shù)據(jù).

        圖6 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.6 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

        圖7 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.7 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

        圖8 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.8 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

        圖9 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.9 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

        3.3 70Ge、73Ge在ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019數(shù)據(jù)庫下的MACS計(jì)算

        根據(jù)不同評(píng)價(jià)的核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫分別用梯形數(shù)值積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分對(duì)70Ge、73Ge計(jì)算恒星核合成反應(yīng)(n,γ)的麥克斯韋平均截面結(jié)果與BNL Report提供的麥克斯韋平均截面數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)用梯形數(shù)值積分的積分結(jié)果最為符合.所以運(yùn)用相同方法計(jì)算了新的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫的麥克斯韋平均截面.

        運(yùn)用梯形數(shù)值積分方法,計(jì)算新的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019的麥克斯韋平均截面.結(jié)果如下.

        續(xù)表2

        從表1、表2可以看出,無論是70Ge還是73Ge,對(duì)于ENDF庫、CENDL庫新舊版本(n,γ)截面數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果差距不大,CENDL、JEFF-3.3新的數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù),與原版本有一點(diǎn)差別,原因在于數(shù)據(jù)庫原始截面數(shù)據(jù)的差異.就總體而言,幾乎沒有變化.通過數(shù)據(jù),觀察到JEFF庫的變化很大,所以對(duì)新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較.如圖10、圖11,發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫的變化很大,對(duì)麥克斯韋平均截面的影響較大,所以對(duì)新的(n,γ)截面數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算是非常必要的.

        表1 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)用梯形數(shù)值積分方式所得7 0Ge的麥克斯韋平均截面Tab.1 ENDF/B-VIII.0,CENDL-3.2,JEFF-3.3,TENDL-2019 evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section of70Ge

        表2 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019不同評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫截面數(shù)據(jù)用梯形數(shù)值積分方式所得7 3Ge的麥克斯韋平均截面數(shù)據(jù)Tab.2 ENDF/B-VIII.0,CENDL-3.2,JEFF-3.3,TENDL-2019 different evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section data of73Ge

        圖10 70Ge JEFF新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.10 Comparison of(n,γ)cross section data of 70Ge JEFF old and new databases

        圖11 7 3Ge JEFF新舊數(shù)據(jù)庫的(n,γ)截面數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.11 Comparison of(n,γ)cross section data of 73Ge JEFF old and new databases

        4 結(jié)語

        核數(shù)據(jù)是用來描述原子核基本性質(zhì)、核衰變以及入射粒子與原子核發(fā)生反應(yīng)過程等方面信息的統(tǒng)稱,是核科學(xué)與核工程應(yīng)用所需的重要基礎(chǔ)數(shù)據(jù),其精度和可靠性直接關(guān)系著核工程產(chǎn)品的可靠性、安全性和經(jīng)濟(jì)性.其中麥克斯韋平均截面的精度及準(zhǔn)確性對(duì)于現(xiàn)階段的研究也是非常重要的,因此,通過不同評(píng)價(jià)的核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫分別用梯形積分、復(fù)化梯形積分、復(fù)化辛普森積分對(duì)70Ge、73Ge計(jì)算恒星核合成反應(yīng)(n,γ)的麥克斯韋平均截面進(jìn)行了計(jì)算,發(fā)現(xiàn)梯形數(shù)值積分方法所得結(jié)果最為符合,對(duì)接下來計(jì)算各種核反應(yīng)參數(shù)是有極大幫助的,同時(shí)也希望能為其他研究者提供參考.

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