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        2020全國(guó)高考物理1卷壓軸題的兩個(gè)變式及解析

        2021-08-31 05:28:36王偉民辛存良
        物理教學(xué)探討 2021年6期
        關(guān)鍵詞:帶電粒子拋物線電場(chǎng)

        王偉民 辛存良

        摘? ?要:剖析2020全國(guó)高考物理1卷壓軸題難度不大的原因,增添一些條件將壓軸題改編成題目背景相似但難度較大的兩個(gè)變式問(wèn)題,并對(duì)改編的變式問(wèn)題進(jìn)行解析。

        關(guān)鍵詞:電場(chǎng);磁場(chǎng);帶電粒子;拋物線;類斜拋運(yùn)動(dòng);圓弧軌跡

        中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? 文章編號(hào):1003-6148(2021)6-0041-3

        1? ? 原題呈現(xiàn)

        題目 (2020全國(guó)高考物理1卷第25題)在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng),柱的橫截面是以O(shè)為圓心,半徑為R的圓,AB為圓的直徑,如圖1所示。質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場(chǎng),速度方向與電場(chǎng)的方向垂直。已知?jiǎng)傔M(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為零的粒子,自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場(chǎng),AC與AB的夾角θ=60°。運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場(chǎng)力作用。

        (1)求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小;

        (2)為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能增量最大,該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大?

        (3)為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)前后動(dòng)量變化量的大小為mv0,該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大?

        這道題是物理卷除了選做題目外的最后一道題,也是整份試卷中單題分值最高的一道題(該題分值20分,占物理總分的2/11),處于壓軸題的重要位置。該題目在題干基礎(chǔ)上共設(shè)置三個(gè)分問(wèn)題,三個(gè)小問(wèn)題由淺入深,層層遞進(jìn),能夠很好地考查學(xué)生知識(shí)遷移的能力。該題目既注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查,同時(shí)也兼顧考生能力高低的區(qū)分。高考結(jié)束之后,大部分考生和教師對(duì)這道題目的總體評(píng)價(jià)是:題目很經(jīng)典,作為壓軸題,難度比往年的壓軸題稍降。

        在筆者看來(lái),這道壓軸題的難度不高應(yīng)該是編者的刻意而為。受疫情的影響,全國(guó)各地的考生在臨近高考的關(guān)鍵時(shí)期,高考復(fù)習(xí)均在農(nóng)歷庚子年的春節(jié)之后按下了“暫停鍵”,本來(lái)應(yīng)該在教室內(nèi)老師指導(dǎo)下系統(tǒng)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)活動(dòng),大多變成了網(wǎng)上學(xué)習(xí)。盡管有老師在網(wǎng)上的悉心指導(dǎo),但跟面對(duì)面的課堂學(xué)習(xí)相比,學(xué)習(xí)效果自然不是很好,不同地域的考生的復(fù)習(xí)迎考均受到了不同程度的影響。和往年相比,順延高考和中考時(shí)間也是國(guó)家為最大限度地挽回疫情對(duì)考生學(xué)習(xí)的影響而出臺(tái)的一個(gè)方案。

        實(shí)際上,對(duì)這道壓軸題在總體背景不變的情況下,稍微改換一下題目條件,即可將其改為難度較大的題目。在很多人心目中,“難度大”是壓軸題目的一個(gè)顯著“標(biāo)志”。

        2? ? 該壓軸題目的不同變式與解析

        變式1 在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng),柱的橫截面是以O(shè)為圓心,半徑為R的圓,AB為圓的直徑,如圖1所示。質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速率沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng),電場(chǎng)方向與紙面平行。已知以速率v0沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)的粒子,自圓周上的C點(diǎn)仍以速率v0穿出電場(chǎng),AC與AB的夾角θ=60°。運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場(chǎng)力作用。

        (1)求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小;

        (2)為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)后動(dòng)能的增量最大,該粒子沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大?

        分析 該變式給出的問(wèn)題與原題的不同之處是:題目未限定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向與電場(chǎng)方向垂直,所以,從一般情況考慮,在帶電粒子只受電場(chǎng)力的作用且初速度不為零的情況下,帶電粒子的運(yùn)動(dòng)屬于類拋體運(yùn)動(dòng),可以先利用題目給出的條件確定電場(chǎng)的方向,之后根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行求解。

        解析 在只受電場(chǎng)力的作用,且粒子的初始速度與電場(chǎng)方向不一致也不反向時(shí),帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。因?yàn)閹щ娏W訌腁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的速度與它從C點(diǎn)穿出電場(chǎng)的速度大小相同,所以,A、C兩點(diǎn)是粒子的拋物線軌跡上相對(duì)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn),作AC的中垂線,這一中垂線過(guò)圓心O,與電場(chǎng)邊界交點(diǎn)為D與G(圖2),電場(chǎng)方向?yàn)閺腄指向G的方向。

        (1)設(shè)與AC夾角為θ的初速度v0沿平行于AC和垂直于AC方向的分量分別是vx和vy,帶電粒子在電場(chǎng)中的加速度為a(取D至G的方向?yàn)榧铀俣鹊恼较颍﹦t有:vx=v0cosθ,vy=v0sinθ

        因?yàn)椋?=

        所以:a= = =

        因此,電場(chǎng)強(qiáng)度為:

        E= = = =

        (2)如圖3所示,這一情況可用類拋體運(yùn)動(dòng)來(lái)處理。因?yàn)樵凇八骄€”AC“之下”,電場(chǎng)邊界圓弧 上的各點(diǎn)相比,只有G點(diǎn)到“水平線”AC的距離最大,所以,要滿足題目條件,從G點(diǎn)離開電場(chǎng)的粒子穿過(guò)電場(chǎng)后動(dòng)能的增量最大。

        設(shè)帶電粒子由A點(diǎn)以vA的速度沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng),受電場(chǎng)力的作用沿拋物線軌道運(yùn)行一段之后剛好從G點(diǎn)以速度vG穿出,設(shè)vA和vG垂直于電場(chǎng)方向的分量分別為vAx和vGx,沿電場(chǎng)方向的分量分別為vAy和vGy,則有:

        vGx=vAx=vAcos60°= vA,vAy=vAsin60°= vA

        由v? =2aMH得: v? =2· ·MH

        所以:MH= R

        MH+FG= R+R- R=( +1- )R

        由v? =2a(MH+FG)可得:

        v? =2· ( +1- )R= v? + v? - v

        由 = 可得:

        解得:v2A= v

        跟原題目相比,上面的變式1由于更改了題目條件,將帶電粒子在電場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡由原來(lái)的類平拋運(yùn)動(dòng)變換為類斜拋運(yùn)動(dòng),雖然解題方法類似,但解題過(guò)程比原來(lái)復(fù)雜了許多,題目的難度系數(shù)無(wú)疑增加了許多。實(shí)際上,在原來(lái)題目背景材料的基礎(chǔ)上,如果我們?cè)僭鎏硪恍l件,也可將原題變式為帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中交替運(yùn)動(dòng)的綜合性題目。

        變式2 如圖4所示,空間內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)被約束在豎直截面為相交圓面組成的水平封閉柱形區(qū)間內(nèi),空間的其余部分為磁場(chǎng)空間。已知各相交圓是半徑及圓心距均為R的等圓,各圓圓心在同一條直線上,相鄰兩電場(chǎng)邊界的最近距離為 。質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的帶電粒子從兩圓O1和O2的邊界交點(diǎn)P點(diǎn)處以速度v0水平向右射入,在O2圓上P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A(PA為一直徑)由電場(chǎng)進(jìn)入外面的磁場(chǎng),不考慮帶電粒子的重力。

        圖4? 電磁場(chǎng)分布圖

        (1)求勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度;

        (2)為使粒子依次進(jìn)入下一個(gè)相鄰電場(chǎng)時(shí)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡相同,求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

        解析 (1)由于不考慮粒子的重力,且粒子的初始速度與電場(chǎng)方向垂直,所以,粒子在電場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于重力場(chǎng)中僅受重力作用時(shí)物體的平拋運(yùn)動(dòng)。如圖5所示,由題目條件易知,帶電粒子在電場(chǎng)內(nèi)由P沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)至A時(shí),通過(guò)的水平距離和豎直距離分別為PM=R和AM= R,所以,粒子由P運(yùn)動(dòng)到A需要的時(shí)間為t= = 。因此,粒子的加速度為a= = ,所以,電場(chǎng)強(qiáng)度為E= = 。

        (2)以P為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(R,- R)。所以,以P為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=- x2,求導(dǎo)得y'=- ,由此可知,拋物線在A點(diǎn)切線的斜率為x=R時(shí)的導(dǎo)數(shù)值,即k=-2 。

        要使帶電粒子在后續(xù)各相鄰電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的拋物線軌跡形狀相同,帶電粒子在相鄰電場(chǎng)之間的磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡圓弧的圓心必須在相鄰兩圓O2、O3連心線的中垂線上。如圖5所示,設(shè)圓O2和圓O3之間的磁場(chǎng)內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧的圓心為C,則直線AC解析式的斜率為k'=

        - = ,即:tan∠CAD= 。

        圖5? 粒子運(yùn)動(dòng)分析圖

        所以:AC= AD= R

        粒子由P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的速度大小為:

        vA= = = v0

        由帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)公式:

        qvAB=

        可得B= =

        3? ? 結(jié)? 語(yǔ)

        2020全國(guó)高考物理1卷的這道壓軸題背景材料非常新穎,讀題后讓人耳目一新。但該題給人的總體印象是難度系數(shù)不大,解題之后讓人有一種意猶未盡的感覺,很多教師也覺得至少?gòu)碾y度上講這道題的壓軸分量不足。本文給出的兩個(gè)變式題目,其背景材料與原題基本類似,但解題難度相對(duì)較大,這說(shuō)明2020全國(guó)高考物理1卷的這道壓軸題,已經(jīng)具備了背景材料精彩,適合編擬看似與往年壓軸題難度“相當(dāng)”的題目。在筆者看來(lái),編者之所以沒有根據(jù)背景材料編擬成難度很大的題目,應(yīng)該是基于以下兩個(gè)方面的考慮:其一,相比于其他學(xué)科的考試,物理高考卷一直被大家公認(rèn)為是所有學(xué)科中難度最大的一科,近幾年選考物理學(xué)科的考生比例逐年減少的現(xiàn)象就是一個(gè)例證。在保證試卷有效區(qū)分度的前提下,適當(dāng)降低包括壓軸題在內(nèi)的物理試卷各類型題目的難度,可以使廣大考生對(duì)“物理難考”的觀點(diǎn)有所改善。其二,受疫情的影響,全國(guó)各地考生2020年的復(fù)習(xí)迎考都受到不同程度的影響,所以,壓軸題目不能過(guò)難也是眾望所歸。

        (欄目編輯? ? 陳? 潔)

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