王偉民 辛存良

摘? ?要：剖析2020全國高考物理1卷壓軸題難度不大的原因，增添一些條件將壓軸題改編成題目背景相似但難度較大的兩個變式問題，并對改編的變式問題進行解析。

關(guān)鍵詞：電場;磁場;帶電粒子;拋物線;類斜拋運動;圓弧軌跡

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）6-0041-3

1? ? 原題呈現(xiàn)

題目 （2020全國高考物理1卷第25題）在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強電場，柱的橫截面是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖1所示。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直。已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°。運動中粒子僅受電場力作用。

（1）求電場強度的大小;

（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進入電場時的速度應(yīng)為多大？

（3）為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進入電場時的速度應(yīng)為多大？

這道題是物理卷除了選做題目外的最后一道題，也是整份試卷中單題分值最高的一道題（該題分值20分，占物理總分的2/11），處于壓軸題的重要位置。該題目在題干基礎(chǔ)上共設(shè)置三個分問題，三個小問題由淺入深，層層遞進，能夠很好地考查學(xué)生知識遷移的能力。該題目既注重基礎(chǔ)知識的考查，同時也兼顧考生能力高低的區(qū)分。高考結(jié)束之后，大部分考生和教師對這道題目的總體評價是：題目很經(jīng)典，作為壓軸題，難度比往年的壓軸題稍降。

在筆者看來，這道壓軸題的難度不高應(yīng)該是編者的刻意而為。受疫情的影響，全國各地的考生在臨近高考的關(guān)鍵時期，高考復(fù)習(xí)均在農(nóng)歷庚子年的春節(jié)之后按下了“暫停鍵”，本來應(yīng)該在教室內(nèi)老師指導(dǎo)下系統(tǒng)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)活動，大多變成了網(wǎng)上學(xué)習(xí)。盡管有老師在網(wǎng)上的悉心指導(dǎo)，但跟面對面的課堂學(xué)習(xí)相比，學(xué)習(xí)效果自然不是很好，不同地域的考生的復(fù)習(xí)迎考均受到了不同程度的影響。和往年相比，順延高考和中考時間也是國家為最大限度地挽回疫情對考生學(xué)習(xí)的影響而出臺的一個方案。

實際上，對這道壓軸題在總體背景不變的情況下，稍微改換一下題目條件，即可將其改為難度較大的題目。在很多人心目中，“難度大”是壓軸題目的一個顯著“標志”。

2? ? 該壓軸題目的不同變式與解析

變式1 在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強電場，柱的橫截面是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖1所示。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點先后以不同的速率沿AB方向進入電場，電場方向與紙面平行。已知以速率v0沿AB方向進入電場的粒子，自圓周上的C點仍以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°。運動中粒子僅受電場力作用。

（1）求電場強度的大小;

（2）為使粒子穿過電場后動能的增量最大，該粒子沿AB方向進入電場時的速度應(yīng)為多大？

分析 該變式給出的問題與原題的不同之處是：題目未限定帶電粒子的運動方向與電場方向垂直，所以，從一般情況考慮，在帶電粒子只受電場力的作用且初速度不為零的情況下，帶電粒子的運動屬于類拋體運動，可以先利用題目給出的條件確定電場的方向，之后根據(jù)拋體運動的規(guī)律進行求解。

解析 在只受電場力的作用，且粒子的初始速度與電場方向不一致也不反向時，帶電粒子的運動軌跡是拋物線。因為帶電粒子從A點進入電場的速度與它從C點穿出電場的速度大小相同，所以，A、C兩點是粒子的拋物線軌跡上相對于對稱軸對稱的兩點，作AC的中垂線，這一中垂線過圓心O，與電場邊界交點為D與G（圖2），電場方向為從D指向G的方向。

（1）設(shè)與AC夾角為θ的初速度v0沿平行于AC和垂直于AC方向的分量分別是vx和vy，帶電粒子在電場中的加速度為a（取D至G的方向為加速度的正方向）則有：vx=v0cosθ，vy=v0sinθ

因為： =

所以：a= = =

因此，電場強度為：

E= = = =

（2）如圖3所示，這一情況可用類拋體運動來處理。因為在“水平線”AC“之下”，電場邊界圓弧 上的各點相比，只有G點到“水平線”AC的距離最大，所以，要滿足題目條件，從G點離開電場的粒子穿過電場后動能的增量最大。

設(shè)帶電粒子由A點以vA的速度沿AB方向進入電場，受電場力的作用沿拋物線軌道運行一段之后剛好從G點以速度vG穿出，設(shè)vA和vG垂直于電場方向的分量分別為vAx和vGx，沿電場方向的分量分別為vAy和vGy，則有：

vGx=vAx=vAcos60°= vA，vAy=vAsin60°= vA

由v? =2aMH得： v? =2· ·MH

所以：MH= R

MH+FG= R+R- R=（ +1- ）R

由v? =2a（MH+FG）可得：

v? =2· （ +1- ）R= v? + v? - v

由 = 可得：

解得：v2A= v

跟原題目相比，上面的變式1由于更改了題目條件，將帶電粒子在電場內(nèi)的運動軌跡由原來的類平拋運動變換為類斜拋運動，雖然解題方法類似，但解題過程比原來復(fù)雜了許多，題目的難度系數(shù)無疑增加了許多。實際上，在原來題目背景材料的基礎(chǔ)上，如果我們再增添一些條件，也可將原題變式為帶電粒子在電場和磁場中交替運動的綜合性題目。

變式2 如圖4所示，空間內(nèi)存在著豎直向下的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，電場被約束在豎直截面為相交圓面組成的水平封閉柱形區(qū)間內(nèi)，空間的其余部分為磁場空間。已知各相交圓是半徑及圓心距均為R的等圓，各圓圓心在同一條直線上，相鄰兩電場邊界的最近距離為 。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子從兩圓O1和O2的邊界交點P點處以速度v0水平向右射入，在O2圓上P點的對稱點A（PA為一直徑）由電場進入外面的磁場，不考慮帶電粒子的重力。

圖4? 電磁場分布圖

（1）求勻強電場區(qū)域的電場強度;

（2）為使粒子依次進入下一個相鄰電場時在電場中運動的軌跡相同，求勻強磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強度。

解析 （1）由于不考慮粒子的重力，且粒子的初始速度與電場方向垂直，所以，粒子在電場內(nèi)的運動相當(dāng)于重力場中僅受重力作用時物體的平拋運動。如圖5所示，由題目條件易知，帶電粒子在電場內(nèi)由P沿拋物線軌道運動至A時，通過的水平距離和豎直距離分別為PM=R和AM= R，所以，粒子由P運動到A需要的時間為t= = 。因此，粒子的加速度為a= = ，所以，電場強度為E= = 。

（2）以P為坐標原點，水平向右的方向為x軸的正方向建立如圖5所示的平面直角坐標系，則A點坐標為（R，- R）。所以，以P為頂點的拋物線的解析式為y=- x2，求導(dǎo)得y'=- ，由此可知，拋物線在A點切線的斜率為x=R時的導(dǎo)數(shù)值，即k=-2 。

要使帶電粒子在后續(xù)各相鄰電場區(qū)域內(nèi)運動的拋物線軌跡形狀相同，帶電粒子在相鄰電場之間的磁場內(nèi)運動的軌跡圓弧的圓心必須在相鄰兩圓O2、O3連心線的中垂線上。如圖5所示，設(shè)圓O2和圓O3之間的磁場內(nèi)粒子運動軌跡圓弧的圓心為C，則直線AC解析式的斜率為k'=

- = ，即：tan∠CAD= 。

圖5? 粒子運動分析圖

所以：AC= AD= R

粒子由P運動到A點的速度大小為：

vA= = = v0

由帶電粒子在磁場中的運動公式：

qvAB=

可得B= =

3? ? 結(jié)? 語

2020全國高考物理1卷的這道壓軸題背景材料非常新穎，讀題后讓人耳目一新。但該題給人的總體印象是難度系數(shù)不大，解題之后讓人有一種意猶未盡的感覺，很多教師也覺得至少從難度上講這道題的壓軸分量不足。本文給出的兩個變式題目，其背景材料與原題基本類似，但解題難度相對較大，這說明2020全國高考物理1卷的這道壓軸題，已經(jīng)具備了背景材料精彩，適合編擬看似與往年壓軸題難度“相當(dāng)”的題目。在筆者看來，編者之所以沒有根據(jù)背景材料編擬成難度很大的題目，應(yīng)該是基于以下兩個方面的考慮：其一，相比于其他學(xué)科的考試，物理高考卷一直被大家公認為是所有學(xué)科中難度最大的一科，近幾年選考物理學(xué)科的考生比例逐年減少的現(xiàn)象就是一個例證。在保證試卷有效區(qū)分度的前提下，適當(dāng)降低包括壓軸題在內(nèi)的物理試卷各類型題目的難度，可以使廣大考生對“物理難考”的觀點有所改善。其二，受疫情的影響，全國各地考生2020年的復(fù)習(xí)迎考都受到不同程度的影響，所以，壓軸題目不能過難也是眾望所歸。

（欄目編輯? ? 陳? 潔）