陳建鵬，周毅鈞，李特奇，符克偉

（安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽淮南，232001）

0 前言

四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)屬于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種，通過動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)與四條驅(qū)動(dòng)桿組成，具有承載能力強(qiáng)，相對(duì)誤差小，工作空間相對(duì)于串聯(lián)機(jī)構(gòu)較為靈活的優(yōu)點(diǎn)，因此適用于工業(yè)自動(dòng)化應(yīng)用場(chǎng)合。本文對(duì)3PSS/PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，確定其末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)性能。該機(jī)構(gòu)三條支鏈中心對(duì)稱。首先在動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)分別建立動(dòng)定坐標(biāo)系，確定機(jī)構(gòu)自由度為3，即三平移的運(yùn)動(dòng)方式，選定豎直方向的移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)件，然后對(duì)位置方程進(jìn)行求解，最后對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行軟件仿真分析，得到運(yùn)動(dòng)變化曲線，與理論求解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了理論求解的正確性。

1 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

如圖1所示，3PSS/PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)A1A2A3A4、動(dòng)平臺(tái)B1B2B3B4、3條PSS支鏈，1條PRRR支鏈組成，固定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)均為正四邊形，以三條PSS支鏈中一條為例，從下而上依次為一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)（Pi1）、球關(guān)節(jié)（Si2），球關(guān)節(jié)（Si3），（i=1、2、3），一條PRRR支鏈從下而上依次為一個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)（P21），轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（R22）轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（R23）, 轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（R24）。四條支鏈相對(duì)于固定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)對(duì)稱分布。

圖1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 機(jī)構(gòu)自由度分析

傳統(tǒng)的G-K公式?jīng)]有考慮機(jī)構(gòu)中不起約束作用的過約束，改良后的G-K公式可確定機(jī)構(gòu)的公共約束，改良后G-K公式如下：

式中：dof表示機(jī)構(gòu)自由度；m表示剛體自由度，N表示連桿數(shù)量；J表示關(guān)節(jié)的數(shù)目；fi表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)，ζ表示機(jī)構(gòu)中全部過約束的總數(shù)，υ表示并聯(lián)冗余約束。

對(duì)于3PSS/PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，剛體自由度與公共約束之和為6，因該機(jī)構(gòu)部無公共約束，所以得到剛體自由度為6，由上圖可知該機(jī)構(gòu)連桿數(shù)量為11，關(guān)節(jié)數(shù)目為12。其中轉(zhuǎn)動(dòng)副具有一個(gè)自由度，移動(dòng)副具有一個(gè)自由度，球副具有兩個(gè)自由度，且機(jī)構(gòu)中無冗余自由度，也無過約束自由度。將上述物理變量其代入修正的G-K公式計(jì)算得出機(jī)構(gòu)自由度：

根據(jù)G-K公式計(jì)算得到，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有四個(gè)自由度。

選取第一支鏈與動(dòng)平臺(tái)相連的球副中心為基點(diǎn)O’。

根據(jù)方位特征集計(jì)算，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有四個(gè)自由度，三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)，其中轉(zhuǎn)動(dòng)自由度方向與R22平行。

2 位置反解

已知末端執(zhí)行器的位姿，求解驅(qū)動(dòng)副的位移量以及其他運(yùn)動(dòng)副的位移量為位置反解，位置反解一般較為簡(jiǎn)單，已知上平臺(tái)正四邊形對(duì)角線長(zhǎng)度為2b，下平臺(tái)正四邊形對(duì)角線長(zhǎng)度為2a。

Ai表示下平臺(tái)的四個(gè)角點(diǎn)，Bi分別表示上平臺(tái)的四個(gè)角點(diǎn)，則有：

由于機(jī)構(gòu)具有三個(gè)平移，一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣公式得到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T，根據(jù)四個(gè)角點(diǎn)坐標(biāo)得到坐標(biāo)矢量P,末端執(zhí)行器中心在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量為Bi，AiBi的長(zhǎng)度Li，根據(jù)公式：

將Ai、Bi代入公式計(jì)算得：

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了分析3PSS/PRRR機(jī)構(gòu)在輸入一定驅(qū)動(dòng)下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，在豎直方向的四個(gè)移動(dòng)副設(shè)置相同的驅(qū)動(dòng)函數(shù)驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)函數(shù)為：

設(shè)定仿真時(shí)間為5s,步數(shù)為500，機(jī)構(gòu)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)位移、速度、加速度隨時(shí)間變化曲線圖，如圖2～ 圖4所示，動(dòng)平臺(tái)動(dòng)平臺(tái)在x、y、z三個(gè)方向均有緩慢移動(dòng)，其中x、z軸方向緩慢向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，y軸方向緩慢向正方向移動(dòng)，該機(jī)構(gòu)速度在3.4秒時(shí)趨向于0，加速度在0.8秒時(shí)趨向于0。由于三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)不是線性變化，可以看出該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)具有翻轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，與理論結(jié)果相吻合。

圖2 位移變化曲線圖

圖3 速度變化曲線圖

圖4 加速度變化曲線圖

4 結(jié)論

以3PSS/PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，運(yùn)用機(jī)構(gòu)拓?fù)鋵W(xué)與改良后的G-K公式計(jì)算出該機(jī)構(gòu)自由度為4，即三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)，并利用位置反解解出機(jī)構(gòu)各個(gè)運(yùn)動(dòng)副的位姿。利用ADAMS軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真，在仿真云圖中可以看出，該機(jī)構(gòu)擁有較好的運(yùn)動(dòng)性能，具有一定的實(shí)用價(jià)值。同時(shí)仿真結(jié)果與理論計(jì)算相輔相成，相互驗(yàn)證了對(duì)方的正確性，也為驅(qū)動(dòng)裝置的選擇提供一定的參考依據(jù)。綜合理論與仿真結(jié)果得出，3PSS/PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能優(yōu)異且具有較高的實(shí)用價(jià)值。