鄧沙麗， 鄧 綠， 楊海波

（1. 南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063； 2. 贛東學(xué)院，江西 撫州 344000）

引 言

同調(diào)論在代數(shù)拓?fù)涞难芯恐芯哂兄匾淖饔茫渲袑?duì)于Cech 上同調(diào)以及Bredon 上同調(diào)的研究都是基于復(fù)代數(shù)簇上，而由于實(shí)數(shù)域的不封閉性，在現(xiàn)有的基于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式解的解析方法來(lái)研究實(shí)代數(shù)簇是很困難的，因此，有必要將其擴(kuò)展到有Galois 群作用，尤其是Gal(C/R)作用的復(fù)代數(shù)簇上的上同調(diào)理論。這個(gè)對(duì)于實(shí)代數(shù)上簇的研究是非常有用的。在文獻(xiàn)[1]中，Bredon 定義了在有限群G作 用下的等變上同調(diào)理論；在文獻(xiàn)[2]中，May、Lewis 和MacClure 證明了由普通的整數(shù)分次的Bredon 上同調(diào)理論可以擴(kuò)展到普通的RO(G)?分次的Bredon 上同調(diào)理論。本文將介紹最簡(jiǎn)單情形Gal(C/R)作用下軌道點(diǎn)的上同調(diào)環(huán)。

1 奇異同調(diào)和奇異上同調(diào)

1.1 整數(shù)分次的奇異同調(diào)和奇異上同調(diào)

為了將主要的結(jié)構(gòu)放置在恰當(dāng)?shù)奈恢蒙?，先回顧下奇異同調(diào)和上同調(diào)的傳統(tǒng)方法，當(dāng)系數(shù)為整數(shù)時(shí)，奇異同調(diào)函子被定義為是下列函子的合成。

給定一個(gè)阿貝爾范疇A， 將A中復(fù)形的范疇記為Kom(A)， 復(fù)形上的邊界記為Kom?(A)，從而可以得到奇異上同調(diào)群的定義[3]。

1.2 奇異同調(diào)的Dold-Thom 方法

奇異同調(diào)的Dold-Thom 方法可以看作是從一個(gè)空間X出發(fā)，生成一個(gè)簡(jiǎn)單集Sing?(X)，然后將其定義為ZSing?(X)，最后應(yīng)用到鏈復(fù)形函子并取其同調(diào). 關(guān)于該定理的證明，最著名的版本涉及到點(diǎn)空間 (X,x0) 的 無(wú)限對(duì)稱乘積S P∞(X)， 從而得到X的約化同調(diào)，因?yàn)閆X是一個(gè)阿貝爾拓?fù)淙海敲碨ing?(ZX)是點(diǎn)態(tài)加法下的簡(jiǎn)單阿貝爾群，根據(jù)文獻(xiàn)[4]， π?(ZX,0)可以從下面函子的復(fù)合得到。

其中，AbTop是對(duì)象為阿貝爾拓?fù)淙?，態(tài)射為連續(xù)同倫的范疇。

1.3 同倫理論的奇異上同調(diào)

CW?復(fù)形同倫類型空間稱為Eileberg-MacLane空間[5]，如果滿足：

1.4 等變情形下的奇異（上）同調(diào)

在有限群G作用下的拓?fù)淇臻g的范疇，每個(gè)軌道G/H所起的作用與通常拓?fù)渲械哪硞€(gè)點(diǎn)是一樣的，但對(duì)于同調(diào)和上同調(diào)理論來(lái)說(shuō)，增加了一定的復(fù)雜性，因?yàn)樗鼈兊南禂?shù)不再是群了，而是從G?軌道和等變映射到阿貝爾群所構(gòu)成的函子，我們把它叫做系數(shù)系統(tǒng)[7]。因此，要尋找整系數(shù)奇異同調(diào)群的等價(jià)對(duì)應(yīng)物就會(huì)有多種途徑. 其中一種合理的方式是根據(jù)1.2 中提到的Dold-Thom 方法. 而另一種方式是1.1 中提到的通過(guò)找到函子X(jué)■→[X,ZoSn]G來(lái)獲得。

2 主要定義

首先，我們回顧一些本文中需要用到的相關(guān)定義. 下面的定義在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中都可以找到。

定義1 系數(shù)系統(tǒng)是指反變函子M:OG→Ab。

定義2 普通約化Z?分次Bredon 上同調(diào)理論是在范疇GCW?，且系數(shù)系統(tǒng)為M的反變函子的序列：

滿足下面的Eilenberg-Steenrod 公理：

1）如果范疇GCW?中的兩個(gè)映射是G?同倫的，那么誘導(dǎo)出上同調(diào)間相同的映射；

2）對(duì)于任意的X∈GCW?和n∈Z，有自然同構(gòu)：

是正合的；

3 單軌道點(diǎn)的上同調(diào)環(huán)

4 總 結(jié)