李靜，梁曉珍

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

令Ω 是Rn(n≥2)中開(kāi)的有界連通區(qū)域，且具有光滑邊界Γ。 假設(shè)Γ0和Γ1是Γ 的具有正測(cè)度的不相交閉子集且滿足Γ=Γ0∪Γ1。 本文考慮以下具有聲學(xué)邊界條件的波動(dòng)系統(tǒng)初邊值問(wèn)題：

系統(tǒng)（1）—（8）是一個(gè)具有聲學(xué)邊界條件的波動(dòng)系統(tǒng)，這類模型在實(shí)際應(yīng)用研究中多用于噪聲的控制和抑制研究。Morse 和Ingardy［1］首先將這類聲學(xué)邊界條件引入到了波動(dòng)系統(tǒng)的控制研究中，之后Beale 和Rosencrans［2］進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展了這類聲學(xué)邊界條件。本文中的邊界條件（4）是一類具有非局部反應(yīng)邊界的聲學(xué)邊界條件。它描述了邊界Γ1上的點(diǎn)在波的附加壓力作用下類似于彈性膜的振動(dòng)行為，而非局部反應(yīng)邊界則刻畫了邊界Γ1上的各點(diǎn)間的振動(dòng)是相互影響的。如果假設(shè)Γ1上的每一個(gè)點(diǎn)在附加壓力作用下的振動(dòng)行為都像彈簧一樣，并且相鄰的點(diǎn)之間沒(méi)有橫向張力，則（4）中的項(xiàng)“c2ΔΓz”將消失，此時(shí)稱邊界Γ1是一類傳統(tǒng)的局部反應(yīng)的。顯然，本文所研究的非局部反應(yīng)邊界條件（4）推廣了經(jīng)典的局部反應(yīng)聲學(xué)邊界條件，能夠更加準(zhǔn)確地刻畫彈性邊界的實(shí)際振動(dòng)。

對(duì)于具有聲邊界條件的波動(dòng)方程，局部反應(yīng)邊界的情形已經(jīng)被許多學(xué)者進(jìn)行了廣泛地研究，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［3-5］。近年來(lái)，具有非局部反應(yīng)邊界的聲學(xué)邊界條件也引起了許多學(xué)者的關(guān)注，獲得了一些相關(guān)的研究結(jié)果?？蓞㈤單墨I(xiàn)［6-9］。在文獻(xiàn)［10］中，作者考慮了一類具有非局部反應(yīng)聲學(xué)邊界的波動(dòng)系統(tǒng)，證明了即使內(nèi)部阻尼的作用范圍是局部的，該波動(dòng)系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性仍然成立。在文獻(xiàn)［6］中，作者研究了具有聲學(xué)邊界條件的載流子型波動(dòng)方程，在非局部反應(yīng)邊界條件下，證明了該方程混合問(wèn)題的整體解的存在性、唯一性和漸近穩(wěn)定性。

時(shí)滯是自然界中的一類普遍現(xiàn)象，也是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因之一。因此，對(duì)具有時(shí)滯擾動(dòng)的偏微分系統(tǒng)控制問(wèn)題的研究一直以來(lái)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［3，5，11，12］。在文獻(xiàn)［5］中，作者將時(shí)滯效應(yīng)引入到具有聲邊界條件的波動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中，研究了一類具有聲學(xué)邊界條件和時(shí)滯的非線性變系數(shù)波動(dòng)系統(tǒng)，獲得了該系統(tǒng)能量的一般衰減率。

據(jù)我們所知，目前有關(guān)具有時(shí)滯效應(yīng)的聲學(xué)邊界問(wèn)題的研究主要集中于局部反應(yīng)邊界的情形，對(duì)于非局部反應(yīng)邊界的研究還很少，尤其是時(shí)滯效應(yīng)出現(xiàn)在交界面Γ1處的還幾乎未見(jiàn)到過(guò)。而本文則對(duì)這類模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了探究，所獲得的結(jié)論將目前已有的關(guān)于時(shí)滯聲學(xué)邊界模型的研究推廣到了非局部反應(yīng)邊界的情形。本文主要使用乘子法和能量估計(jì)方法獲得此類系統(tǒng)能量的一般衰減率。考慮到邊界耗散，還將使用邊界上的跡定理，從而減少對(duì)邊界條件的幾何限制。

1 符號(hào)假設(shè)及主要結(jié)論

1.1 符號(hào)假設(shè)

設(shè)Ω，Γ0，Γ1是引言中定義的集合。記空間L2(Ω)和L2(Γ1)中內(nèi)積和范數(shù)分別如下：

定義集合V={u∈H1(Ω)；u=0a.e.(x，t)∈Γ0}。 顯然Poinearé 不等式在V中成立，即存在一個(gè)正常數(shù)k使得|u|≤k|?u|。因此我們可以賦予V如下的內(nèi)積和范數(shù)：

注意到Γ1是一個(gè)沒(méi)有邊界的緊致流形，可以分別賦予空間H1(Γ1)和Η2(Γ1)以下范數(shù)：

其中?T是切梯度。

1.2 假設(shè)條件

為了獲得系統(tǒng)（1）—（8）的一致穩(wěn)定性結(jié)論，我們引入一些基本的假設(shè)條件。

假設(shè)1 （1）令函數(shù)β，g是C1(R)類的單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足β(0)=0，g(0)=0，假設(shè)存在正常數(shù)β1，β2，g1，g2，，使得

（2）令函數(shù)φ是C1(R)類的單調(diào)遞增的奇函數(shù)。假設(shè)存在正常數(shù)φ0，φ1，使

注記1 由于φ是一個(gè)遞增的奇函數(shù)，易得

假設(shè)3 令x0是Rn中的一個(gè)定點(diǎn)，假設(shè)(x－x0)·ν≤0，x∈Γ0。

利用Fadeo-Galerkin 方法，可以得到如下系統(tǒng)（1）－（8）的解的存在唯一性結(jié)論：

令假設(shè)1－3 成立，設(shè)u0∈V∩H2(Ω)，u1∈V，z0∈H2(Γ1)，k0∈V(Γ1×(－τ，0))，則系統(tǒng)（1）—（8）存在唯一的解(u，z)，且滿足

有關(guān)上述適定性結(jié)論的證明可以參閱文獻(xiàn)［5，13］做類似的證明，這里省略。

在假設(shè)2 成立的條件下，我們定義系統(tǒng)（1）—（8）的能量如下：

由假設(shè)2 可知，這樣的ξ是存在的。

為了方便，本文中將能量泛函E(t)中的傳統(tǒng)能量部分記為E0(t)，即

1.3 主要結(jié)論

本文主要是研究具有聲學(xué)邊界條件的波動(dòng)系統(tǒng)（1）—（8）在邊界時(shí)滯擾動(dòng)下的一致穩(wěn)定性。以下是本文的主要結(jié)論。

定理1 令假設(shè)1－3 成立。對(duì)于系統(tǒng)（1）－（8）的解(u，z)，存在一個(gè)常數(shù)T＞0，使得

其中S(t)是如下微分方程的解：

這里q(r)是由（49）－（52）、（54）、（62）給出的連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)且函數(shù)S(t)一致衰減到零。

2 定理1 的證明

通常，我們只需要對(duì)系統(tǒng)的強(qiáng)解進(jìn)行相關(guān)研究。通過(guò)經(jīng)典的稠密性定理，定理1 對(duì)于弱解仍成立。

本文中，為研究方便，以下用zt(t)，zt(t－τ)分別表示zt(x，t)，zt(x，t－τ)。

引理1 令假設(shè)1－3 成立。對(duì)于系統(tǒng)（1）－（8）的解(u，z)，存在一個(gè)常數(shù)C1＞0，使得

其中常數(shù)T≥0。

證明 對(duì)系統(tǒng)（1）－（8）的能量泛函E(t)微分，代入相應(yīng)的邊界條件可得：

且滿足以下不等式

根據(jù)本文中Φ 的定義，可知

利用上述結(jié)論，由假設(shè)1 可得

將（23）代入（20）可得

證明 將方程（1）兩邊同乘以ξu并在Ω×[0，T]上積分，注意到u=0，x∈Γ0，應(yīng)用格林公式即可得（27）式。

將方程（4）兩邊同乘以ηz并在Γ1×[0，T]上積分，注意到邊界Γ1是一個(gè)無(wú)邊的緊流形，應(yīng)用格林公式即可得（28）式。引理3 得證。

引理4 在假設(shè)1－3 成立的條件下，當(dāng)T足夠大時(shí)，系統(tǒng)（1）－（8）的解滿足以下能量估計(jì)式：

此處以及以下內(nèi)容中，我們使用常數(shù)C＞0 來(lái)表示與所涉及函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)，他們?cè)谖闹胁煌恢每赡鼙硎静煌某?shù)值。

證明 結(jié)合乘子恒等式（26）、（27）、（28），代入邊界條件（3）可以得到：

將（39）代入（38）可得

其中用到了E(t)的單調(diào)遞減性。

將（43）代入（42）得

由（20）中關(guān)于E(t)的微分可知

將（41）、（45）代入（44），并且注意到E(t)的單調(diào)遞減性可得

取T足夠大，則由（46）式即可推出（29）式。引理4 得證。

能量估計(jì)式（29）右邊的第一項(xiàng)是一個(gè)低階項(xiàng)，通過(guò)緊唯一性可以將此低階項(xiàng)吸收掉。

引理5 （緊唯一性）令假設(shè)1－3 成立。對(duì)于系統(tǒng)（1）－（8）的解(u，z)，當(dāng)T＞0 足夠大時(shí)，存在常數(shù)C2＞0 使 得

類似于文獻(xiàn)［5］，通過(guò)緊性和唯一性結(jié)論可以證明系統(tǒng)（1）－（8）的解滿足（47）。這里不再贅述。

結(jié)合引理4 和引理5 易得如下能量估計(jì)式。

引理6 令假設(shè)1－3 成立。對(duì)于充分大的常數(shù)T＞0，系統(tǒng)（1）－（8）的解滿足以下能量估計(jì)：

定理1 的證明 類似于文獻(xiàn)［8］，令h1，h2：[0，+∞) →R是兩個(gè)嚴(yán)格遞增的凹函數(shù)且滿足h1(0)=0，h2=0 和

由假設(shè)1 可知滿足（49）和（50）的函數(shù)h1和h2是存在的。

為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，記Σ1=Γ1×(0，T+τ)。用measΣ1表示Σ1的測(cè)度。定義輔助函數(shù)h?1(x)和h?2(x)如下：

其中C1是由引理1 中確定的正常數(shù)，不難看出h?1(x)，h?2(x)也是單調(diào)遞增的。

參照文獻(xiàn)［5，15］的方法，只需證明：當(dāng)T＞0 充分大時(shí)，以下不等式成立：

其中

由假設(shè)1 可知

由假設(shè)1 還可知

注意到h?2的定義，應(yīng)用Jensen 不等式以及（50）可得

進(jìn)一步，根據(jù)假設(shè)1 可得

類似于（58）的推導(dǎo)，由假設(shè)1 可得

則q(0)=0，q也是嚴(yán)格遞增，顯然，如果r＞0，則q(r)＞0。接下來(lái)類似文獻(xiàn)［5，15］中的證明過(guò)程可推導(dǎo)出定理1 的結(jié)論，這里不再贅述。定理1 得證。

3 結(jié)論

本文通過(guò)使用乘子法研究了一類聲學(xué)邊界條件是非局部反應(yīng)邊界的波動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，獲得了該類非線性系統(tǒng)在邊界時(shí)滯擾動(dòng)下的一般能量衰減率，將其歸結(jié)為一個(gè)常微分方程的解。所獲得的非線性時(shí)滯系統(tǒng)能量衰減率依賴于非線性耗散項(xiàng)的增長(zhǎng)率。