鄧 欣,袁紅剛,婁 寧

(1.中國西南電子技術(shù)研究所，成都 610036;2.北方電子設(shè)備研究所，北京 100191)

0 引 言

自適應(yīng)波束形成算法可通過獲取空間環(huán)境信息，在期望信號方向形成主瓣的同時自適應(yīng)在干擾方向形成零陷，實(shí)現(xiàn)抑制干擾。這種自適應(yīng)波束形成技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各種不同領(lǐng)域[1-2]。大多數(shù)傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成通常假設(shè)工作在理想情況下。實(shí)際中，各種非理性因素如陣列自身的幅相誤差、目標(biāo)波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)誤差、干擾方向失配等問題通常會導(dǎo)致傳統(tǒng)波束形成性能下降，其中目標(biāo)來波方向失配引起的目標(biāo)方向增益下降問題受到了廣泛的關(guān)注和研究[3-5]。

現(xiàn)有的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法主要包括對角加載算法、不確定集約束算法[6]、最差性能最優(yōu)化算法[7]以及穩(wěn)健線性約束最小方差[8]算法等。其中，對角加載算法雖然可以有效提高穩(wěn)健性，但其性能依賴對角加載因子的選擇，當(dāng)對角加載因子選取不當(dāng)時，可能導(dǎo)致干擾方向零陷深度不夠[9]，此外，在信干噪比較大時，對角加載算法可能會出現(xiàn)性能下降問題。不確定集約束算法將可能失配的導(dǎo)向矢量約束在某個橢圓不確定集內(nèi)，從而降低目標(biāo)DOA失配的影響。最差性能最優(yōu)化算法通過優(yōu)化最差條件下的波束形成性能達(dá)到提高穩(wěn)健性的目的。不確定集約束算法和最差性能最優(yōu)化方法均可歸結(jié)為對角加載類算法，只是有各自的對角因子求解方法，此類方法在信干噪比較高時仍然會出現(xiàn)性能下降較大的問題[9]。穩(wěn)健線性約束最小方差算法雖然能在一定程度上減少目標(biāo)期望信號方向失配造成的影響，但當(dāng)期望信號失配較大時，目標(biāo)方向的增益仍然會有一定損失。

針對現(xiàn)有算法存在的問題，本文提出了一種基于投影對消處理的穩(wěn)健波束形成算法，通過尋找協(xié)方差矩陣特征向量中與目標(biāo)DOA估計(jì)矢量相關(guān)性最強(qiáng)的矢量作為目標(biāo)導(dǎo)向矢量，并通過投影對消矩陣消去期望信號，最后通過在干擾方向施加零點(diǎn)約束形成零陷。與現(xiàn)有方法的對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法能在目標(biāo)方向失配、信干噪比較大的情況下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健波束形成，并在干擾方向形成較深零陷。

1 信號模型

考慮N元等距線陣，其陣元間距為d，且每個陣元均為全向陣元，如圖1所示。

圖1 等距線陣自適應(yīng)波束形成系統(tǒng)模型示意圖

X(t)=A(θ)S(t)+N(t) 。

(1)

利用式(1)的接收信號，可以得到協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)值為

(2)

式中：L為快拍數(shù)，上標(biāo)H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

對于常規(guī)最小方差無失真響應(yīng)波束形成(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)算法，其最優(yōu)權(quán)值為

(3)

2 基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)算法及其本質(zhì)

2.1 算法描述[6]

在實(shí)際中，真實(shí)的導(dǎo)向矢量a0很難準(zhǔn)確獲得，但是可以被約束在某個橢圓不確定集之內(nèi)，即

(4)

式中：A為某給定參數(shù)。為了優(yōu)化得到更準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量s，將波束形成算法代價函數(shù)描述為如下形式：

(5)

式中：σ2表示陣列輸出信號的方差。

式(5)中的問題可轉(zhuǎn)化為二次約束二次規(guī)劃問題，并由Lagrange乘子法求解得到最優(yōu)解s[10]為

(6)

由矩陣求逆引理可以得到

(7)

將式(6)代入采樣矩陣求逆(Sampling Matrix Inverse，SMI)算法的最優(yōu)權(quán)表達(dá)式，可以得到穩(wěn)健算法的最優(yōu)權(quán)為

(8)

這說明該波束形成算法屬于對角加載類算法。由式(7)和式(5)的約束條件可以推出解最優(yōu)Lagrange常數(shù)的公式為

(9)

2.2 算法分析

對式(9)的解進(jìn)行分析。首先對R進(jìn)行特征值分解，得到

R=UΣUH。

(10)

式中：U=[u1,u2,…,uN]，為R的特征向量矩陣，Σ=diag(λ1,λ2,…,λN)為相應(yīng)的特征值矩陣?？梢詫⑹?9)展開寫作[10]

(11)

首先做一點(diǎn)近似：在信噪比較高的前提下(通常認(rèn)為-10 dB以上)，目標(biāo)信號對應(yīng)的特征向量與目標(biāo)信號的導(dǎo)向矢量近似同向，可以用目標(biāo)信號對應(yīng)的特征向量代替目標(biāo)信號的導(dǎo)向矢量，即a0=δu1，δ為一常數(shù)。

(12)

式中：γ是一個極小的常數(shù)，用以保證協(xié)方差矩陣可逆。

由于γ是一個極小的數(shù)，因此式(12)的結(jié)果可以采用以下近似:

(13)

則方向圖在a0方向的幅度為

(14)

事實(shí)上，式(14)的結(jié)論在很多其他的對角加載類算法中也能推出，如基于模約束的穩(wěn)健波束形成算法和基于最壞性能的最優(yōu)的自適應(yīng)波束形成算法等。

3 基于投影對消處理的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

3.1 目標(biāo)信號對應(yīng)的特征向量搜索[7]

由之前的a0=δu1可知，可以用目標(biāo)信號的特征向量代替目標(biāo)導(dǎo)向矢量，因此需要對目標(biāo)信號的特征向量進(jìn)行搜索[11]。

定義列向量x、y的相關(guān)系數(shù)為

(15)

(16)

3.2 投影對消處理過程

通過式(16)搜索得到目標(biāo)信號的特征矢量后，就可以生成相應(yīng)的對消矩陣:

(17)

經(jīng)過對消之后的協(xié)方差矩陣記為R′:

R′=BRBH。

(18)

將式(18)進(jìn)行展開:

(I-u1(u1Hu1)-1u1H)H=

(19)

由式(19)可知，R′中關(guān)于目標(biāo)信號的特征矢量已經(jīng)被濾除，這與對角加載類的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法等價。為了保證R′的非奇異性，要對其進(jìn)行補(bǔ)償，即

R″=R′+γI。

(20)

式中：γ為一極小常數(shù)。

得到對消后的協(xié)方差矩陣后，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則，可以得到此時的最優(yōu)權(quán)為

(21)

則陣列波束形成的方向圖為

(22)

3.3 約束零點(diǎn)位置

式(21)中的權(quán)向量是基于SMI算法獲得的，當(dāng)目標(biāo)信號功率較大時，該權(quán)向量無法在干擾處生成零陷，因此為了保證干擾處零陷的產(chǎn)生，需要對方向圖加入零點(diǎn)約束。

設(shè)C為約束矩陣，F(xiàn)為約束值向量，權(quán)值wopt應(yīng)同時滿足

CHwopt=F。

(23)

在這里，由于目標(biāo)信號的DOA估計(jì)不精確，我們不對目標(biāo)信號使用約束，即C中的約束向量全部是干擾方向的導(dǎo)向矢量，F(xiàn)為全零列向量。

線性約束最小方差(Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV)算法是加入零點(diǎn)約束的有效算法，但是直接由式(20)估計(jì)得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行LCMV波束形成是不行的，這是由于由式(14)推出的結(jié)論是基于SMI算法的，同樣的結(jié)果對于LCMV算法并不適用，因此需要另辟蹊徑。

采用正交投影的原理得到相應(yīng)的權(quán)向量。首先，全體滿足Φ={w|CHw=F}的權(quán)值w構(gòu)成C的零空間，因此Φ為一線性子空間，而wopt∈Φ，向C零空間做投影的投影矩陣可以表示為

E=I-C(CHC)-1CH，

(24)

(25)

(26)

(27)

所提算法的流程圖可見圖2。

圖2 算法流程圖

算法具體步驟如下：

Step1 對協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征分解。

Step2 以式(16)為準(zhǔn)則，尋找與目標(biāo)估計(jì)導(dǎo)向矢量最接近的特征矢量作為目標(biāo)導(dǎo)向矢量。

Step3 由式(17)生成相應(yīng)的對消矩陣，并計(jì)算式(18)中對消后的協(xié)方差矩陣。

Step4 求解零點(diǎn)投影矩陣E，并通過式(25)得到最終的權(quán)矢量。

4 仿真與分析

為了對比本文所提的算法與基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法、穩(wěn)健自適應(yīng)最小方差準(zhǔn)則算法和傳統(tǒng)最小方差無失真響應(yīng)算法的性能差異，證明本文所提算法的有效性，分析幾種算法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用條件，進(jìn)行了如下三組仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)陣元數(shù)為16的均勻線陣，陣元間距為半波長，陣元為全向陣元，信號真實(shí)波達(dá)方向?yàn)?0°，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)

4.1 不同信噪比情況下性能比較(實(shí)驗(yàn)1)

信噪比分別為10 dB、-10 dB、-20 dB，信干比為-10 dB，導(dǎo)向矢量估計(jì)誤差為3°，兩個干擾方向分別是-35°和30°,仿真結(jié)果如圖3所示，圖中均以點(diǎn)劃垂直線指示目標(biāo)方向，垂直實(shí)線指示干擾方向(下同)。由圖3可以看出，隨著信噪比變化，本文方法和橢圓不確定集約束算法以及穩(wěn)健自適應(yīng)最小方差準(zhǔn)則算法均能較好地校正導(dǎo)向矢量失配誤差。其中橢圓不確定集約束算法和本文所提算法在目標(biāo)方向的增益略好于穩(wěn)健線性約束最小方差準(zhǔn)則算法，但橢圓不確定集約束算法由于沒有加入零點(diǎn)約束，抑制干擾能力不如本文方法，尤其是當(dāng)信噪比為-20 dB時，橢圓不確定集約束算法未能在-35°干擾方向形成零陷。當(dāng)信噪比為10 dB時，穩(wěn)健自適應(yīng)最小方差準(zhǔn)則算法能較好地抑制干擾，但隨著信噪比增大，其零陷深度變淺。相比之下，傳統(tǒng)的最小方差無失真響應(yīng)算法主瓣偏離，且未能在干擾方向形成較深零陷。

(a)信噪比10 dB

(b)信噪比-10 dB

(c)信噪比-20 dB圖3 不同信噪比情況下的方向圖

4.2 不同信干比情況下性能比較(實(shí)驗(yàn)2)

信噪比為15 dB，導(dǎo)向矢量估計(jì)誤差為3°，信干比分別為-10 dB、5 dB、10 dB，兩個干擾方向分別是-35°和30°，仿真結(jié)果如圖4所示。

(a)信干比-10 dB

(b)信干比5 dB

(c)信干比10 dB圖4 不同信干比情況下的方向圖

由圖4可以看出，本文方法和穩(wěn)健最小方差準(zhǔn)則算法均能在干擾方向形成較深零陷，但本文方法形成零陷相對更深。當(dāng)信干比增大至10 dB時，橢圓不確定集約束算法零陷較淺，抑制干擾能力下降。本文方法和橢圓不確定集約束算法在目標(biāo)方向均能形成較好的增益，最小方差無失真響應(yīng)算法在目標(biāo)方向發(fā)生失配，且旁瓣較高。

4.3 不同導(dǎo)向矢量估計(jì)誤差情況下性能比較(實(shí)驗(yàn)3)

信噪比為15 dB，信干比為-10 dB，導(dǎo)向矢量失配角度分別為3°、5°和7°，兩個干擾方向分別是-35°和30°，仿真結(jié)果如圖5所示。

(a)失配誤差3°

(b)失配誤差5°

(c)失配誤差7°圖5 不同導(dǎo)向矢量估計(jì)誤差下的方向圖

由圖5可以看出，最小方差無失真響應(yīng)算法在存在導(dǎo)向矢量失配誤差時性能會有所下降，失配誤差越大，性能下降越明顯。穩(wěn)健自適應(yīng)最小方差準(zhǔn)則算法受到失配誤差的影響小于最小方差無失真響應(yīng)算法。本文方法和橢圓不確定集約束算法均能有效地校正導(dǎo)向矢量失配誤差而與誤差的大小無關(guān)，這與之前的分析一致，因?yàn)閮煞N方法的本質(zhì)都是使陣列在真實(shí)目標(biāo)方向生成最大值，與失配誤差無關(guān)。

綜合上述，基于穩(wěn)健自適應(yīng)方差準(zhǔn)則的波束形成算法能在一定程度上減少目標(biāo)方向失配產(chǎn)生的影響，但失配誤差較大時性能有所下降?；趯?dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法與本文方法都能有效地校正導(dǎo)向矢量失配誤差，并且性能與誤差的大小無關(guān)；在信干比較小的時候，兩種方法得到的方向圖是幾乎一樣的，這與預(yù)期一致，因?yàn)楸疚奶岢龅乃惴ㄔ诟咝旁氡鹊托鸥杀葪l件下與基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法等價；信干比較高時，也就是說目標(biāo)信號功率相對較大的情況下，基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法由于沒有零點(diǎn)約束，因此在干擾方向上不能有效形成零陷，而本文提出的算法由于進(jìn)行了額外的零點(diǎn)約束，所以在干擾方向生成了有效的零陷；兩種方法隨信噪比下降均有旁瓣升高的問題。

5 結(jié)束語

本文綜合考慮目標(biāo)來波方向估計(jì)不準(zhǔn)確引起的傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成性能下降的問題，以及基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法無法在目標(biāo)信號功率過高的情況下在干擾處生成零陷的問題，從基于導(dǎo)向矢量不確定集約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法出發(fā)，推導(dǎo)其原理，進(jìn)而提出了基于投影對消預(yù)處理的穩(wěn)健波束形成算法。該算法通過正交投影方式進(jìn)行零點(diǎn)約束，可有效校正導(dǎo)向矢量失配誤差，且在不同信干比情況下均能在干擾方向生成較深的零陷。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。該算法可用于數(shù)字相控陣天線的自適應(yīng)波束形成，在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中目標(biāo)信號方向估計(jì)不準(zhǔn)的情況下，確保來波方向處理性能的同時有效抑制旁瓣干擾。在所提算法的基礎(chǔ)上，未來還可以進(jìn)一步研究在低信噪比條件下壓制方向圖旁瓣的方法，解決旁瓣隨著信噪比降低而升高的問題。