李小騰，梁 航，徐 靜，趙進(jìn)全，金吉良

（1.國(guó)網(wǎng)陜西省電力公司電力科學(xué)研究院，陜西西安710010；2.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西西安710049）

0 引言

系統(tǒng)潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)重要的三大計(jì)算之一，其結(jié)果不僅可以檢查系統(tǒng)元件的負(fù)荷情況、節(jié)點(diǎn)電壓水平、功率流向以及系統(tǒng)損耗情況等指標(biāo)，還可以為電力調(diào)度部門進(jìn)行負(fù)荷調(diào)度、系統(tǒng)監(jiān)測(cè)分析提供重要的依據(jù)。隨著電力系統(tǒng)區(qū)域間的聯(lián)網(wǎng)不斷擴(kuò)大，系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)不斷增多，潮流方程的規(guī)模也越來(lái)越大，使得潮流方程的求解變得異常困難[1-7]。特別是當(dāng)直流系統(tǒng)與交流系統(tǒng)相連接時(shí)，直流系統(tǒng)增加的相關(guān)變量，進(jìn)一步加劇了潮流方程的規(guī)模、非線性及計(jì)算的復(fù)雜性，使得理論成熟的交流系統(tǒng)潮流計(jì)算方法不能直接用于交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算之中。同時(shí)，由于電力部門要求必須對(duì)復(fù)雜易變的系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控，這對(duì)潮流計(jì)算的效率和精度又提出了更高的要求。因此，在交直流混合系統(tǒng)日益廣泛的情況下，研究其潮流計(jì)算方法具有重要的意義。

目前，交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算方法主要有統(tǒng)一迭代法和交替迭代法。統(tǒng)一迭代法是將所有變量統(tǒng)一起來(lái)進(jìn)行迭代的求解方法，該方法計(jì)算復(fù)雜，但收斂性較好；交替迭代法則是將交流變量和直流變量分別求解，算法相對(duì)簡(jiǎn)單，但是對(duì)初值要求高，收斂性較差。因此，本文提出了改進(jìn)型的交直流混合系統(tǒng)潮流計(jì)算方法。在此方法中，針對(duì)交替迭代計(jì)算中修正方程的計(jì)算量大、存儲(chǔ)量大、計(jì)算收斂性較差等問(wèn)題，引入具有重啟動(dòng)功能的廣義最小殘差法GMRES（m）（generalized minimum residual method）；并針對(duì)矩陣的條件數(shù)和特征值影響計(jì)算的收斂性，引入矩陣預(yù)處理技術(shù)。通過(guò)實(shí)例計(jì)算，驗(yàn)證了方法的有效性。

1 交直流系統(tǒng)潮流計(jì)算模型

為了建立交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算模型，對(duì)于交流系統(tǒng)，通常把直流系統(tǒng)等效為注入到相應(yīng)交流節(jié)點(diǎn)上的有功功率和無(wú)功功率；對(duì)于直流系統(tǒng)，則將交流系統(tǒng)等效為一個(gè)加在換流器一次側(cè)上的恒壓源。

1.1 交流系統(tǒng)潮流計(jì)算模型

交流系統(tǒng)潮流計(jì)算模型所涉及的方程為

式中，i、j節(jié)點(diǎn)為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)，i、j=1，2，…，n，j∈i表示節(jié)點(diǎn)j與i直接相連，PGi、QGi分別為節(jié)點(diǎn)i上發(fā)電機(jī)發(fā)出的有功功率和無(wú)功功率，PLi、QLi分別為節(jié)點(diǎn)i上負(fù)荷吸收的有功功率和無(wú)功功率，Ui、Uj為第i和j個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓，θij為節(jié)點(diǎn)i和j的電壓Ui和Uj的相位差，Gij、Bij則分別為節(jié)點(diǎn)i、j間的電導(dǎo)和電納。

1.2 直流系統(tǒng)潮流計(jì)算模型

直流系統(tǒng)潮流計(jì)算模型所涉及的方程主要有以下幾種。

a）節(jié)點(diǎn)功率方程。節(jié)點(diǎn)功率方程為

其中，直流節(jié)點(diǎn)k=1，2，…，nc；Udk、Idk、φk分別為換流變壓器k輸出的直流電壓、電流以及換流器的功率因數(shù)角。

b）換流器方程。換流器方程為

其中，Xck為換相電抗，k＝1，2，…，nc；kTk為換流變壓器變比；kr為換相系數(shù)。

c）直流網(wǎng)絡(luò)方程。直流網(wǎng)絡(luò)方程為

其中，gdkj為節(jié)點(diǎn)k、j間的電導(dǎo)。

d）控制方程?？刂品匠虨?/p>

式（1）—式（5）組成了交直流混合系統(tǒng)的潮流方程。

2 交直流混合系統(tǒng)潮流計(jì)算

2.1 交替迭代法

設(shè)交、直流系統(tǒng)潮流方程分別為

其中，X、Y分別為交、直流變量。

交替迭代法的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 交替迭代法計(jì)算流程圖

2.2 GMRES（m）方法

在交替迭代方法中，計(jì)算量主要集中在修正方程的求解上，修正方程的求解時(shí)間約占計(jì)算時(shí)間的80%。為了提高潮流計(jì)算的效率，目前的研究主要集中在建模等方面，而對(duì)修正方程的求解方法研究較少。但由于方程系數(shù)矩陣的不規(guī)則性及方程的非線性，大大增加了計(jì)算量、存儲(chǔ)量和計(jì)算的復(fù)雜性，影響了計(jì)算的收斂性，特別是當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模較大時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)無(wú)法收斂和無(wú)法計(jì)算的情況。為此，本文提出使用適合高維稀疏矩陣方程求解的GMRES（m）方法，以提高系統(tǒng)潮流計(jì)算的效率和收斂性。

對(duì)于方程Ax=b，GMRES（m）求解方法如下。

a）計(jì)算r0=b-Ax0，β＝||r0||2，U1＝r0/β

b）進(jìn)入Arnoldi正交化循環(huán)過(guò)程

計(jì)wj＝A vj

c）計(jì)算ym∈Rm，使得

d）計(jì)算近似解xm＝＋Umym

e）收斂判斷：如果滿足收斂條件，結(jié)束；否則令x0＝xm，轉(zhuǎn)a）重新進(jìn)行循環(huán)迭代。

2.3 GMRES（m）的預(yù)處理

根據(jù)數(shù)學(xué)理論，矩陣的條件數(shù)和特征值會(huì)影響方程求解的收斂性，特征值分散越大，收斂越慢[8]。因此，引入預(yù)處理技術(shù)對(duì)方程系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理。

對(duì)線性方程A x＝b，進(jìn)行如下變換。

其中，取MR＝I（單位矩陣），采用不完全三角形分解，將A分解為L(zhǎng)′和U′，并使L′和U′與A的上下三角具有相同的非零結(jié)構(gòu)，這就是矩陣的預(yù)處理技術(shù)。

2.4 交直流系統(tǒng)潮流計(jì)算

下面以整流側(cè)定電流控制、逆變側(cè)定熄弧角控制的直流系統(tǒng)為例，簡(jiǎn)要介紹直流系統(tǒng)的潮流計(jì)算方法。

已知直流線路的電阻Rdc、換相電抗Xci和Xcj、直流電流Id、直流電壓Udi和Udj、整流觸發(fā)角α、逆變熄弧角γ及兩端交流節(jié)點(diǎn)電壓Ui和Uj。

a）計(jì)算換流變壓器的變比ni和nj及交流節(jié)點(diǎn)的注入電流Ii和Ij。

將ni和nj與換流變壓器分接頭極限值進(jìn)行比較，若越限，則將其固定在極限值上，轉(zhuǎn)步驟b）、或c）、或d）。

b）計(jì)算ni和Udi及Ii和Ij。

如果ni也越限，則將其固定在極限值上，轉(zhuǎn)步驟d）。

c）計(jì)算nj和Udi及Ii和Ij。

如果nj也越限，則將其固定在極限值上，轉(zhuǎn)步驟d）。

d）計(jì)算α和Udi及Ii和Ij。

交直流系統(tǒng)交換的有功功率為

交流系統(tǒng)的無(wú)功功率為

其中

3 算例

為了說(shuō)明本文方法的有效性，選擇了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的4機(jī)11節(jié)點(diǎn)交直流混合系統(tǒng)，在節(jié)點(diǎn)7和節(jié)點(diǎn)9之間有一條直流線路，如圖2所示[9]。系統(tǒng)參數(shù)和邊界條件如下。

圖2 4機(jī)11節(jié)點(diǎn)交直流系統(tǒng)

a）發(fā)電機(jī)。額定容量為900 MVA，額定電壓為20 kV。G1：P1=700 MW，U1=1.03（標(biāo)幺值）。G2：P2=700 MW，U1=1.01（標(biāo)幺值）。G3：U3=1.03（標(biāo)幺值），φ3=-6.8°。G4：P4=700 MW，U1=1.01（標(biāo)幺值）。

b）升壓變壓器。900 MVA、20/230 kV基準(zhǔn)下阻抗為0+j0.15，電壓比為1.0。

c）輸電系統(tǒng)。額定電壓230 kV，線路參數(shù)在100 MVA、230 kV基準(zhǔn)下，r=0.000 1標(biāo)幺值/km，x=0.001標(biāo)幺值/km，b=0.001 75標(biāo)幺值/km。

d）負(fù)荷。節(jié)點(diǎn)7，P7=967 MW，Q7=100 Mvar；節(jié)點(diǎn)9，P9=1 767 MW，Q9=100 Mvar。電容補(bǔ)償：節(jié)點(diǎn)7為325 Mvar，節(jié)點(diǎn)8為109 Mvar，節(jié)點(diǎn)9為395 Mvar。直流線路：額定功率Pdc=200 MW，額定電壓Udc=56 kV，額定電流Idc=3 600 A，線路電阻1.5Ω。換流變壓器額定電壓比：230 kV/45.3 kV，換相電抗0.57Ω。

e）運(yùn)行方式。定功率運(yùn)行，整流側(cè)定電流控制，逆變側(cè)定熄弧角（γ=22°）控制。

表1為系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)電壓2種方法（本文方法與文獻(xiàn)[9]方法）的計(jì)算結(jié)果。

表1 系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)的電壓計(jì)算值

由表1可知，2種方法的計(jì)算結(jié)果相吻合，電壓幅值的最大、最小及平均誤差分別為0.23%、0%和0.055%；電壓相角的最大、最小及平均誤差分別為0.25%、0%和0.086%。本文方法具有高的計(jì)算精度。同時(shí)，為了說(shuō)明本文方法的計(jì)算效率，比較了改進(jìn)前后的計(jì)算時(shí)間。改進(jìn)前、后本例系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓的計(jì)算時(shí)間分別為2.461 s和1.617 s，計(jì)算速度提高了1.52倍。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，計(jì)算復(fù)雜度及計(jì)算時(shí)間將會(huì)急劇增加，本文方法的計(jì)算速度將會(huì)有更大的提高。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算中，通過(guò)在交替迭代法中引入GMRES（m）算法，同時(shí)應(yīng)用矩陣預(yù)處理技術(shù)于GMRES（m）之中，極大地簡(jiǎn)化了交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算，提高了計(jì)算的效率和收斂性，為交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算提供了一種有效的方法。