吳魯超，杜帥帥，周孔濤

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

隨著科學技術的發(fā)展，信息化技術在民用和軍事領域有著極其廣泛的應用，尤其是在飛行器的實際應用中引起了越來越多的研究者的興趣[1-4]。在飛行器的信息化技術中，航跡規(guī)劃是其中的一個重要的難點。航跡規(guī)劃是指在一些約束條件下，運動體在經(jīng)過糾正自身姿態(tài)尋找最短到達目標點的路徑。針對這一問題，許多研究人員提出來各種各樣的計算方法[5-9]。在復雜的飛行環(huán)境中，飛行器的飛行路徑分析是十分復雜的，這些方法都是假設飛行器的狀態(tài)最優(yōu)且姿態(tài)良好，這在實際應用中，對飛行器來說沒什么困難。

飛行器在飛行的過程中會產(chǎn)生飛行誤差，為了使飛行器更加快速地到達目的地，需要對產(chǎn)生的誤差進行校正，就需要有更優(yōu)的航徑。但是飛行器的飛行環(huán)境可能隨時間動態(tài)變化，例如天氣等不可控因素，造成在飛行器的校正點進行誤差校正時存在無法達到理想校正的情況，這將會導致飛行器無法找到到達目標點的最優(yōu)解。本文通過蒙特卡羅算法分析了飛行器在復雜環(huán)境下的航跡規(guī)劃問題，模擬飛行器當?shù)竭_校正點因不可控因素無法充分校正時所產(chǎn)生的路徑變化問題，用MATLAB 仿真飛行器的航跡規(guī)劃路徑，找到了最優(yōu)航徑。

1 問題分析

飛行器在空間飛行過程中，會產(chǎn)生方向誤差，包括水平誤差和豎直誤差，這就需要飛行器在飛行過程中進行誤差校正。為了模擬飛行器在復雜空間中飛行校正狀況，假設了飛行器的目標點集，即可以進行誤差校正的點，每個點的空間坐標位置和該點可進行校正的類型如表1 所示。

表1 目標校正點位置和類型Tab.1 Location and type of target correction points

對每個位置點進行編號，以便與后來求的位置點進行對應，校正點坐標為空間三軸坐標，每個數(shù)值代表他們各自的位置，單位為m。校正點類型用0 和1 表示，其中0 代表該點為水平誤差校正，1 代表該點為豎直誤差校正。

為了更好地研究飛行過程，對飛行器的飛行過程進行了約束假設。即假設飛行器在空間運動中每飛行 1 m，即直線距離增加1 m，垂直誤差和水平誤差將各增加δ個單位，并且飛行器只有到達校正點時，才可以進行誤差校正；在進行誤差校正時，只有當飛行器的垂直誤差不大于α1個單位，水平誤差不大于α2個單位時,才能進行垂直誤差校正；當飛行器的垂直誤差不大于β1個單位，水平誤差不大于β2個單位時,才能進行水平誤差校正；每個點都只能對單方向進行校正，水平或者垂直。當校正水平時，垂直誤差保持不變。當校正垂直時，水平誤差保持不變。要求飛行器到達終點時的垂直誤差和水平誤差均應小于θ個單位誤差。

飛行器實際飛行的過程中，由于不可控的因素，并不能保證每個校正點都能完全校正。假設飛行器到達校正點時能成功將某個誤差校正為0的概率是80%，如果校正失敗，則校正后的剩余誤差為min(error,5)個單位（其中error 為校正前誤差，min 為取小函數(shù)）。并且假設飛行器在航跡軌道飛行中不受其他條件約束如飛行器最大轉彎角、最大爬角、飛行環(huán)境等的影響。通過蒙特卡羅算法，我們?nèi)ふ以诩僭O的飛行空間中在滿足成功率的情況下能到達目標點時路徑最小的航跡。

2 結果與討論

2.1 模型建立

為了保證飛行器能成功到達目標點，需要飛行器在飛行過程中經(jīng)過若干校正點來校正飛行誤差。但每個校正點能成功校正的概率為80%，校正失敗后，使誤差變化為min(error,5)個單位誤差。根據(jù)問題分析，可以通過以下方式建立模型：

首先按照坐標位置對空間中的校正點進行編號

式中：u——校正點的個數(shù)。

根據(jù)題中所給的校正誤差點坐標，可以得出各個校正點之間的連通距離矩陣dij

則可以得到每個元素pi到pj的直線距離Dij，單位為m。

根據(jù)問題描述，可以得到以下約束條件：

只有在滿足式（4）的條件下，飛行器才可以安全地到達目標位置。

當飛行器到達校正點后，需要對誤差進行校正，由問題描述可知，在該點進行校正后，去尋找下一個校正點時，其間距必須小于一個定值，即

式中：mij——相鄰兩個水平誤差的距離；nij——相鄰兩個垂直誤差的距離。

飛行器到達每個校正點都是進行單方向校正，所以要判斷飛行器到達的每個校正點的誤差類型。假設到達的點為垂直誤差校正點α時，則

且需同時滿足mi-1,j-1δ≤α1和ni-1,j-1δ≤α2；當?shù)竭_的點為水平誤差校正點β時，則

并需同時滿足mi-1,j-1δ≤β1和ni-1,j-1δ≤β2。

飛行器在校正點能成功校正誤差為0 的概率為80%，如果校正失敗，會有剩余誤差min(error,5)。并且，由于飛行器航跡校正過程中存在2 個校正方向，哪個方向出現(xiàn)問題，都很可能由于這個極小的誤差導致失聯(lián)。這個現(xiàn)象可能下一個校正點才會出現(xiàn)，也可能過好幾個節(jié)點才出現(xiàn)，所以,要盡可能使經(jīng)過的校正點數(shù)變少。為了更好地約束飛行器經(jīng)過的校正點數(shù)，可以引入概率參數(shù)作為一個優(yōu)化目標，來表示到達終點的概率。如果用ηij表示該點不能成功到達下一點的概率，當每經(jīng)過校正點時，不能到達終點的概率就會增加。用λij表示該點能到達終點的概率則為1-ηij。

設η初始值為0，如果前一個點垂直校正失敗，則當?shù)皆擖c時垂直校正誤差將為

如果前一個點水平校正失敗，則當?shù)皆擖c時，水平校正誤差將為

當每經(jīng)過一個校正點時，該校正點不能到達終點的概率將為

綜上所述，可總結為在校正點數(shù)最少即不能到達終點的概率最小且每個校正點滿足校正要求的條件下，使得飛行器成功到達目標點的航跡路徑最短。故我們的目標函數(shù)可設定為求最短距離

在不影響模型意義的前提下，為使模型簡單明確且便于計算，可做以下假設：（1）飛行器在航跡軌道飛行中不受飛行器自身約束，如飛行器最大轉彎角、最大爬升角的影響。（2）飛行器轉彎時為直線段和圓弧段為基元組成的連續(xù)一階可導的二維曲線航跡。（3）假設飛行器在校正點之間運動為勻速運動，不隨其他情況改變。

2.2 蒙特卡羅算法

蒙特卡羅法是來描述隨機因素對裝備運用過程的影響和作用，能確切地反映運用活動的動態(tài)過程，是一種以概率統(tǒng)計理論為指導的數(shù)值計算方法，該方法已被廣泛應用在物理學和工程問題上[10-13]。為了求解問題，首先建立一個概率模型或隨機過程，使它的參數(shù)或數(shù)字特征等于問題的解，然后通過對模型或過程的觀察或抽樣試驗來計算這些參數(shù)或數(shù)字特征，最后給出所求解的近似值。

本文通過該算法求解到達終點的成功概率模型，首先構造了飛行器到達目標點的概率模型，參數(shù)上文已給出。每個概率模型都可以是由概率分別構成的，用終點的概率λ作為問題的解，然后通過對每一個點進行隨機抽樣，以產(chǎn)生隨機數(shù)，在約束條件內(nèi)確定出估計量，對模擬實驗的結果進行對比和參照，從而得到問題的最優(yōu)解。

通過該算法得到最優(yōu)解，使研究人員少了復雜演算過程，更加便于操作和理解，并且該方法簡單快速，定位更加精確，在復雜的環(huán)境下，使飛行器能到達目標點的概率得到了最優(yōu)，同時也就得到了飛行器在航跡點集中的最優(yōu)航跡路徑。

2.3 MATLAB 仿真結果

為了更好地驗證該方法的合理性，我們在三維空間的校正點集中對飛行器的航跡規(guī)劃進行了MATLAB 仿真，首先我們根據(jù)表1 的目標校正點做出來校正點的三維空間坐標示意圖，如圖1 所示。其中，黑色圓圈表示飛行器可進行垂直校正點，灰色圓圈表示水平校正點，A 為出發(fā)點，B為到達點。我們目標即為在這些校正點空間內(nèi)尋找在滿足成功的概率下的從A 到B 的最優(yōu)路徑。

圖1 飛行器航跡校正點示意圖Fig.1 Area diagram of aircraft flight path correction points

根據(jù)問題分析，對目標的校正點的約束條件的參數(shù)值設定為

通過文中所提到的蒙特卡羅算法，把上述參數(shù)代入所建立的概率模型，通過MATLAB 仿真對該模型進行仿真求解，得到了在該目標校正點集合中滿足成功概率的最優(yōu)航跡，如圖2 所示。圖中線條為經(jīng)過的校正點，校正點個數(shù)為12 個，每個校正點均可以實現(xiàn)垂直或水平校正，此航跡長度大約為117 702 m。

圖2 三維航跡示意圖Fig.2 Three-dimensional track diagram

為了更好地進行對比，將航跡的每個校正點的具體信息列出，如表2 所示。該飛行器從出發(fā)點A 到達目標點B 時，共經(jīng)過校正點數(shù)為12 個，校正點編號依次為0→92→558→253→349→193→288 →561 →485 →67 →501 →612，進行了4次水平誤差校正，6 次垂直誤差校正。

表2 最優(yōu)航跡所經(jīng)過的校正點Tab.2 Correction points of the optimal track

對校正成功或者失敗前的誤差進行對比，如表3 所示?？梢钥闯?，在校正之前均滿足校正條件，即可以對該點進行校正，即使校正失敗，誤差也在安全可靠的范圍內(nèi)，即可安全到達目標點B。這說明通過該方法所找的航跡基本滿足要求，符合預期，證明了該方法的合理性和可操作性。

表3 校正成功和失敗前誤差對比Tab.3 Comparison of errors before correction success and failure

3 結論

總之，本文基于飛行器在復雜環(huán)境中的實際飛行中路徑規(guī)劃問題，假設了目標點集合，建立了數(shù)學模型，然后通過應用蒙特卡羅算法去引入每個位置點的概率模型，在約束條件下求解得到了飛行器的最優(yōu)路徑。并且利用MATLAB 仿真了該方法，分析了校正成功或者失敗前的誤差，結果均滿足能到達安全點時的校正條件，證明了該方法的合理性和可靠性。這可能為研究人員對復雜環(huán)境下所引發(fā)的事故概率為基準的飛行器研究提供了一種參考。