孫 春 杰

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

為了研究生態(tài)系統(tǒng)中諸如食雀鷹、麻雀、山貓和野兔等具有捕食關系的物種之間的相互作用,數學家和生物學家May[1]提出了一類Holling-Tanner捕食模型.

(1)

其中，H和P分別表示食餌和捕食者的種群密度,V和S分別表示食餌種群和捕食種群的內稟增長率,K為食餌種群的環(huán)境最大容納量,D指的是捕食上限,超過這個值捕食者的攻擊能力就開始飽和,常數k和c分別代表捕獲率和維持捕食者平衡所需的食餌數量.

由于此類模型具有獨特的數學性質和重要的生態(tài)學意義,學者們對此進行了大量的探索,獲得了很多有意義的研究成果.例如，Murray[2]考慮了系統(tǒng)(1)正常數平衡解的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性；Hsu等[3]應用Dulac準則和Lyapunov函數構造方法,研究了形如系統(tǒng)(1)這一類捕食模型的正平衡解的全局穩(wěn)定性問題；Huang等[4]指出,在某些參數范圍內,系統(tǒng)(1)的Hopf分岔是亞臨界的；Gasull等[5]計算出了弱焦點出現時Poincaré-Lyapunov常數,并以此構造出一個含有兩個極限環(huán)的例子.

(2)

1 平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

本節(jié)討論系統(tǒng)(2)解的正性、平衡點的穩(wěn)定性及Hopf分岔的存在性.對于系統(tǒng)(2),經計算可知,該模型存在唯一一個正常數穩(wěn)態(tài)解E=(u*,v*),其中

引理1系統(tǒng)(2)的解都是正的且有界.

證明先證非負性,即證t>0時,系統(tǒng)(2)的解u(t)>0,v(t)>0.由系統(tǒng)(2)的第一個方程可知

兩邊同時積分可得

從而

同理可證v(t)>0.

下面考慮系統(tǒng)(2)的正平衡點E的穩(wěn)定性及Hopf分岔.容易得到系統(tǒng)(2)在E處的雅可比矩陣為

在E處的特征方程為

λ2-(f0-s)λ-s(f0+g0)=0,

(3)

相應于雅克比矩陣J的跡T和行列式D分別為

T=f0-s,D=-s(f0+g0).

考慮到

從而-s(f0+g0)>0,即D>0,所以系統(tǒng)(2)的正常數平衡點E的穩(wěn)定性就由T的符號決定.顯然，當s>f0時,T<0,特征方程的所有根都有負實部.

注意到

于是設立如下條件:

條件(H1)成立時,總有s>0≥f0,因此平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的.條件(H2)成立時,如果s>f0,那么E是局部漸近穩(wěn)定的;如果s

當s逼近f0時,特征方程(3)有一對共軛復根,λ(s)=α(s)±η(s),其中

注意到f0和g0都與參數s相互獨立,從而可得

(4)

其中,

F1(u,v,s)=A20u2+A11uv+A02v2+A30u3+
A21u2v+A12uv2+A03v3+o(|u|4，|u|3|v|),

F2(u,v,s)=B20u2+B11uv+B02v2+B30u3+
B21u2v+B12uv2+o(|u|4，|u|3|v|，|u|2|v|2),

并且,

在條件(H2)成立的情況下,作出如下定義

從而有

再作變量代換(u，v)T=H(ξ，η)Τ.

當s=f0時,上述變量代換將系統(tǒng)(4)化為

(5)

其中,

且

根據文獻[7]中第三焦點值的計算方法,可以得到系統(tǒng)(5)在原點處的第三焦點值α3為

綜上所述,得到以下結論

定理2(1)如果(H1)成立,那么系統(tǒng)(2)的平衡點(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的;

(2)如果(H2)成立且s>f0,那么(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的;

(3)如果(H2)成立且s

(4)當(H2)成立且s=f0時,如果α3>0,那么(u*,v*)是不穩(wěn)定的焦點;如果α3<0,那么(u*,v*)是穩(wěn)定的焦點.另外,當s經過f0時,系統(tǒng)(2)在(u*,v*)處發(fā)生了Hopf分岔.

2 Hopf分岔方向以及周期解的穩(wěn)定性

本節(jié)考慮s經過f0時,系統(tǒng)(2)在平衡點E處產生的Hopf分岔,并研究Hopf分岔的方向和分岔周期解的穩(wěn)定性.

先將系統(tǒng)(5)改換為下面的形式

(6)

其中

線性函數M(X，Y)和N(X，Y，Z)對于平面向量X=(x1，x2)Τ，Y=(y1，y2)Τ，Z=(z1，z2)Τ∈C2作如下取值

其中,

h1=x1y2+x2y1，
h2=x1y2z2+x2y2z1+x2y1z2，
h3=x1y1z2+x1y2z1+x2y1z2.

令

由此可以計算得出

由文獻[8]中的公式,可以求得系統(tǒng)(5)在原點處的第一Lyapunov系數

綜上,可以得到以下結論

定理3當l(0)>0時，系統(tǒng)(2)在E處的Hopf分岔是超臨界的且分岔周期解是不穩(wěn)定的；當l(0)<0時,系統(tǒng)(2)在E處的Hopf分岔是次臨界的且分岔周期解是軌道漸近穩(wěn)定的.

3 數值模擬

本節(jié)利用Matlab軟件對ODE(ordinary differential equation)系統(tǒng)(2)進行數值模擬,以驗證上述關于平衡點E的動力學性質的理論分析.

例1選取參數β=0.2，m=3,滿足條件(H2).此時,E≈(0.679 45，0.679 45),f0≈0.11301，l(0)≈-16.54 499.由定理2和3知,當s>f0時,E是局部漸近穩(wěn)定的;當s

(a)當s=0.2>f0時,E是局部漸近穩(wěn)定的

例2選取參數β=0.2，m=8,滿足條件(H2).此時,E≈(0.159 65，0.159 65),f0≈0.085 22，l(0)≈59.562 73.由定理2和3知,當s>f0時,E是局部漸近穩(wěn)定的,除此之外,系統(tǒng)(2)出現了不穩(wěn)定的分岔周期解;當s

(a)當s=0.095>f0時,E是局部漸近穩(wěn)定的且分支極限環(huán)是不穩(wěn)定的,另外,該不穩(wěn)定的分支極限環(huán)外又存在一個穩(wěn)定的極限環(huán)