蔣 雙，趙思林，李紅霞

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100)

正確地理解數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．《教育大詞典》認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師專業(yè)素質(zhì)是由“良好的個(gè)人品德，職業(yè)道德，有比較廣博的知識(shí)，精通數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，教育理論素養(yǎng)，語言素養(yǎng)，能力和身體健康[1]”組成的．?dāng)?shù)學(xué)教師的專業(yè)知識(shí)主要包含數(shù)學(xué)本體性知識(shí)；數(shù)學(xué)教育知識(shí)；數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)以及對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確理解[2]．理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言容易片面地局限于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.而在研究者看來更應(yīng)重視對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)和理解，如對(duì)“數(shù)學(xué)的定義”“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)”“數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)的價(jià)值”“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造機(jī)制”等內(nèi)容的理解．前者偏重于理解數(shù)學(xué)的“樹木”，后者偏重于理解數(shù)學(xué)的“森林”．本文側(cè)重于對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)和理解．

1 問題的提出

1.1 研究背景

王宏等[3]認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是教師個(gè)體專業(yè)發(fā)展過程中的核心，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)地位的來源和依據(jù)．中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)素養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，更是中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的素養(yǎng)之一．鄭晨等[4]對(duì)文獻(xiàn)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，中國數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的研究在選題和研究方法方面存在一些問題．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)在教師專業(yè)發(fā)展中占有核心地位[4]，但涉及數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的論文數(shù)量并不多．從十多年“國培計(jì)劃”實(shí)施中數(shù)百節(jié)教學(xué)觀摩課(研究課)及說課、評(píng)課的情況來看，許多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解存在不少問題甚至有較大偏差．因此，研究中學(xué)數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)是有意義的．

1.2 已有研究

畢力格圖等[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展是指以入職前所理解或掌握的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)為基礎(chǔ)，傳承與發(fā)展數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化的心理活動(dòng)．畢力格圖等[5]還提出數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)可分為三個(gè)發(fā)展水平：直觀水平、概念水平和理論水平．黃佳寧[6]認(rèn)為數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)水平是數(shù)學(xué)知識(shí)的正確性、解釋性、聯(lián)系性和數(shù)學(xué)思想方法這四個(gè)維度的提升和自我研修展開．舒爾曼[7]認(rèn)為，學(xué)科知識(shí)是指在特殊學(xué)科中的概念、原則與技能以及這些知識(shí)在教師頭腦中的結(jié)構(gòu)和數(shù)量．SII/LMT認(rèn)為學(xué)科知識(shí)包含3類：一般的學(xué)科知識(shí)、專門的學(xué)科知識(shí)和橫向的數(shù)學(xué)知識(shí)[8]．KAT把數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)分成兩類：中學(xué)代數(shù)知識(shí)，高于中學(xué)數(shù)學(xué)課程的高等數(shù)學(xué)知識(shí)[8]．黃毅英等[9]把數(shù)學(xué)教師開展常規(guī)教學(xué)應(yīng)具備的知識(shí)分為3類，即數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(MK)，一般教學(xué)法知識(shí)(PK)，有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)(CK)．“MK”“PK”“CK”三者共同構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(MPCK)[9]．MPCK是指教師能夠把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)(即學(xué)術(shù)數(shù)學(xué))用通俗易懂甚至是大白話的語言予以講授和闡釋，使“學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)”變?yōu)閷W(xué)生易于理解和接受的“大眾數(shù)學(xué)”[10]．由此易見，MPCK素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師的核心素養(yǎng)，并且強(qiáng)依賴于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)教師的角色有點(diǎn)像從“數(shù)學(xué)家”到“中學(xué)學(xué)生”的“二傳手”．從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的視角看，數(shù)學(xué)教師要當(dāng)好“二傳手”，最重要的素養(yǎng)是具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[10]．

2 中學(xué)數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成是在個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上對(duì)數(shù)學(xué)“感悟”“反思”與“體驗(yàn)”的結(jié)果[11]．教師養(yǎng)成了數(shù)學(xué)素養(yǎng)即是說教師已在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上形成了“數(shù)學(xué)頭腦”，能用基本的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)手段和數(shù)學(xué)方法去分析和解決數(shù)學(xué)具體問題以及其他一些現(xiàn)實(shí)問題[11]．理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)在教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)中占有重要地位．理解數(shù)學(xué)包括對(duì)“數(shù)學(xué)的定義”“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)”“數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)的價(jià)值”“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造機(jī)制”等內(nèi)容的理解．

2.1 對(duì)“數(shù)學(xué)的定義”的理解

關(guān)于“數(shù)學(xué)的定義”，有各具特色的一些觀點(diǎn)，如“科學(xué)說”“邏輯說”“結(jié)構(gòu)說”“文化說”等．

(1)科學(xué)說．“純數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”[12]．?dāng)?shù)學(xué)被看作是關(guān)于量的科學(xué)，或者是關(guān)于空間與數(shù)的科學(xué)[13]．“演算”概括了數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)，反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性及其辯證關(guān)系，有理由把它作為對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括，因此可以說“數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)”[14]．吳文俊在《中國大百科全書·數(shù)學(xué)卷》中幾乎沿用了恩格斯的定義．?dāng)?shù)學(xué)界公認(rèn)的“數(shù)學(xué)的定義”是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”．?dāng)?shù)學(xué)的“科學(xué)說”定義主要強(qiáng)調(diào)了“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)”，并指出了數(shù)學(xué)研究對(duì)象是“數(shù)”與“形”，“演繹”與“計(jì)算”．“演繹”與“計(jì)算”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

(2)邏輯說．什么是數(shù)學(xué)？羅懋康[15]說，數(shù)學(xué)就是針對(duì)結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化細(xì)化后的邏輯．以羅素和弗雷格為代表的邏輯主義認(rèn)為：數(shù)學(xué)就是邏輯[16]．羅素[16]指出：“所有純粹數(shù)學(xué)，既然它能從自然數(shù)的理論演繹出來，就不過是邏輯的延伸．并且即使是不能從自然數(shù)的理論演繹出來的數(shù)學(xué)的現(xiàn)代分支，將以上的結(jié)論推廣到它們，也沒有原則上的困難．”“邏輯是數(shù)學(xué)的少年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的成人時(shí)代．”[16]由此可認(rèn)為，邏輯是數(shù)學(xué)之母．事實(shí)上，數(shù)學(xué)的概念按邏輯來劃分，數(shù)學(xué)命題由概念或公理(公設(shè))來推演(演繹)，數(shù)學(xué)證明必須嚴(yán)格遵循邏輯規(guī)則，數(shù)學(xué)中的算法依邏輯而生成．

(3)結(jié)構(gòu)說．布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)部演化，使其各個(gè)不同的組成部分聚集在一起形成更為密集的統(tǒng)一體，好像創(chuàng)造出某種類似于中心核的東西，它比以往任何時(shí)候都更加緊密[17]．任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科(分支或方向)的知識(shí)都可以統(tǒng)一在某一公理體系之下，公理體系就是該門數(shù)學(xué)學(xué)科(分支或方向)的根基．這就是說，數(shù)學(xué)是一門統(tǒng)一的科學(xué)，可以按照“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的原理將數(shù)學(xué)的各個(gè)分支加以分類，這就是所謂的“結(jié)構(gòu)主義”[18]．布爾巴基學(xué)派曾把整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)分別歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)．布爾巴基學(xué)派用“結(jié)構(gòu)主義”思想把整個(gè)數(shù)學(xué)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿M織起來，取得了不少成果．

(4)文化說．克萊因說數(shù)學(xué)是一種文化[19]．?dāng)?shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙；數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言；數(shù)學(xué)是思維的工具；數(shù)學(xué)是一種思想方法；數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù)；數(shù)學(xué)充滿理性精神[14]．?dāng)?shù)學(xué)是看不見的文化．?dāng)?shù)學(xué)代表人類心靈最高成就之一，是心(邏輯)對(duì)物(科學(xué))的勝利[18]．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象終究不是物質(zhì)世界中的真實(shí)存在，而是抽象思維的產(chǎn)物，它是一種人為約定的規(guī)則系統(tǒng)[14]．?dāng)?shù)學(xué)作為人為約定的規(guī)則系統(tǒng)包括兩個(gè)內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)中“人為約定”的東西就是數(shù)學(xué)中的概念、符號(hào)和特殊的規(guī)定(約定)，這有利于使數(shù)學(xué)的語言系統(tǒng)成為人類通用的科學(xué)語言；二是“規(guī)則系統(tǒng)”，主要是指數(shù)學(xué)在人類的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)、發(fā)展與完善過程中必需要符合人類思維的基本規(guī)律，即數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)、發(fā)展與完善必需建構(gòu)“規(guī)則系統(tǒng)”(如公理系統(tǒng))并充分運(yùn)用“規(guī)則系統(tǒng)”．?dāng)?shù)學(xué)除了在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用外，還具有精神領(lǐng)域的功效[14]．?dāng)?shù)學(xué)文化具有人文性的特點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)的人文性在培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、理性思維、人文精神等方面具有重大的教育價(jià)值與作用．

2.2 對(duì)“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)”的理解

(2)邏輯性．?dāng)?shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性．邏輯是人類數(shù)千年歷史中已無數(shù)次驗(yàn)證過的對(duì)客觀世界進(jìn)行思考的正確方法和理論，它反映了客觀世界最基本的關(guān)系、最本質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)[15]．從前面談到的“數(shù)學(xué)的定義”的“邏輯說”可以清晰地看到，邏輯對(duì)于數(shù)學(xué)是極端重要的．離開邏輯的數(shù)學(xué)是不存在的．?dāng)?shù)學(xué)的邏輯性決定了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)在對(duì)概念下定義、證明數(shù)學(xué)命題、推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式、設(shè)計(jì)計(jì)算方法(算法)等方方面面．?dāng)?shù)學(xué)的邏輯性對(duì)培養(yǎng)人的求真品格、理性精神具有重大教育價(jià)值．

(3)應(yīng)用性．?dāng)?shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性．如，數(shù)學(xué)在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、航天科學(xué)、人工智能、大數(shù)據(jù)分析、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、5G通訊、人臉識(shí)別、天氣預(yù)報(bào)等各學(xué)科、國民生產(chǎn)各部門、社會(huì)經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用．例如，中國華為公司開發(fā)的5G通訊技術(shù)主要依賴于土耳其一位數(shù)學(xué)家的一篇論文.又如，數(shù)學(xué)模型是研究宏觀經(jīng)濟(jì)與微觀經(jīng)濟(jì)的重要工具，在經(jīng)濟(jì)與金融的理論研究上，數(shù)學(xué)的地位更加特殊[21]．

(4)系統(tǒng)性．?dāng)?shù)學(xué)是一個(gè)組織結(jié)構(gòu)良好的系統(tǒng)[22]．?dāng)?shù)學(xué)本身就是一個(gè)巨系統(tǒng)，此系統(tǒng)是概念(符號(hào))、命題、推理、算法四個(gè)子系統(tǒng)的集成．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)本身是結(jié)構(gòu)化的、整合的，而不是零碎的[23]．因此，個(gè)體從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到認(rèn)知數(shù)學(xué)，再到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的形成，都應(yīng)是系統(tǒng)化的、全息化的．

(5)概括性．概括是思維的最顯著的特征，數(shù)學(xué)概括能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要條件[24]．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括對(duì)知識(shí)點(diǎn)的分類，而分類則是將具有同一特征的知識(shí)歸在一起，這個(gè)過程需要將事物的相同屬性進(jìn)行分析，歸納和總結(jié)，形成系統(tǒng)的表述語言，即是需要一定的概括能力．因此，數(shù)學(xué)具有概括性．如，加法的交換律即a+b=b+a可以看成是在2+3=3+2、13+5=5+13、23+61=61+23、(-7)+(-2)=(-2)+(-7)、x+2=2+x等特殊事例的基礎(chǔ)上概括出來的.又如，復(fù)數(shù)數(shù)系是在正整數(shù)數(shù)系基礎(chǔ)上不斷抽象和概括出來的．?dāng)?shù)學(xué)的概括性與抽象性密切相關(guān)．

2.3 對(duì)“數(shù)學(xué)化”的理解

“數(shù)學(xué)化”是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的核心．?dāng)?shù)學(xué)化是指人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法來分析和表征客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程[25]．后來許多研究者將數(shù)學(xué)化劃分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化是指把生活世界引向概念系統(tǒng)和符號(hào)世界[26]，縱向數(shù)學(xué)化是指在橫向數(shù)學(xué)化基礎(chǔ)上作進(jìn)一步抽象化、系統(tǒng)化處理的過程并獲得整體數(shù)學(xué)知識(shí)體系(系統(tǒng))．研究者認(rèn)為，橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的分類過于粗略，可以更為詳細(xì)地將“數(shù)學(xué)化”分解為概念化、符號(hào)化、邏輯化、結(jié)構(gòu)化和模型化等．

(1)概念化．“概念是邏輯思維的細(xì)胞”．由數(shù)學(xué)概念(定義)可以演繹出數(shù)學(xué)命題(公式，定理，性質(zhì)等)．由此可以說，數(shù)學(xué)概念(定義)是數(shù)學(xué)知識(shí)的源泉．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)基于事實(shí)(事例)，始于概念(定義)．?dāng)?shù)學(xué)概念(定義)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)概念(定義)的產(chǎn)生和發(fā)展，往往是從一個(gè)問題開始，由實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念，由解決問題到更進(jìn)一步應(yīng)用的一個(gè)教育全過程[27]．有的概念可從客觀事物或?qū)嶋H問題中抽象出概念，如“圓”的概念可以看成是從太陽、鐵環(huán)、圓柱的水杯的軸截面等“圓形”“球形”實(shí)物抽象而得；有的概念可從問題解決之需要來建構(gòu)，如“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念是為求解“運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度”而產(chǎn)生的，又如虛數(shù)單位i是為了使方程x2+1=0有解之需要而產(chǎn)生，并直接定義(規(guī)定)虛數(shù)單位i滿足i2=-1；有的概念是為了建立公理體系而設(shè)立，如歐幾里得中“點(diǎn)”“直線”“兩條直線平行”等原始概念就是為建立歐氏公理體系而設(shè)立．

(2)符號(hào)化．?dāng)?shù)學(xué)概念的創(chuàng)設(shè)往往伴隨數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)設(shè)，“對(duì)數(shù)”概念伴隨“l(fā)ogaN”“l(fā)gN”“l(fā)nN”等符號(hào)的誕生．符號(hào)化要求我們將復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)概念用簡潔的符號(hào)來表示，并理解符號(hào)是怎么來的，從而對(duì)符號(hào)進(jìn)行再創(chuàng)造，形成新的符號(hào)．2001年中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“符號(hào)感”，將發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)作為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，符號(hào)意識(shí)是中國義務(wù)教育階段的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性與學(xué)生的認(rèn)知水平[28]．雖然數(shù)學(xué)符號(hào)的使用比數(shù)字晚，但數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)量卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)字．目前數(shù)學(xué)符號(hào)已經(jīng)超過了兩百個(gè)，并且每個(gè)符號(hào)都有其自身的意義和故事．符號(hào)的出現(xiàn)將復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)概念、冗長的文字變得簡潔美觀．符號(hào)是數(shù)學(xué)思想傳達(dá)的媒介，是數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)的核心工具，能夠清晰而簡明地表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律以及數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)作為數(shù)學(xué)抽象物的一種表現(xiàn)形式，既是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的抽象，也是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部規(guī)律的集中體現(xiàn)[28]．符號(hào)具有統(tǒng)一性原則，并不是隨意編造而來的．

(3)邏輯化．?dāng)?shù)學(xué)與邏輯密不可分．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是邏輯思維的活動(dòng)．給數(shù)學(xué)概念下定義必須遵守四條邏輯規(guī)則，數(shù)學(xué)命題的“猜想”依賴于合情推理，研究數(shù)學(xué)命題之間邏輯關(guān)系需要借助于“充分條件”“必要條件”“充要條件”等重要概念，數(shù)學(xué)命題的“證明”依賴于已有真命題和邏輯規(guī)則，三段論推理，解決問題的算法一般是由具有先后順序的機(jī)械步驟構(gòu)成，等．這些數(shù)學(xué)活動(dòng)都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯化．

(4)結(jié)構(gòu)化．結(jié)構(gòu)化強(qiáng)調(diào)由數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想可以構(gòu)成一個(gè)完整、嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的體系．如歐幾里得公理體系就是一個(gè)結(jié)構(gòu)化的東西，布爾巴基學(xué)派把數(shù)學(xué)看成是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，并認(rèn)為整個(gè)數(shù)學(xué)是由代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)構(gòu)成．

(5)模型化．?dāng)?shù)學(xué)模型不能局限于數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模包括“真實(shí)情境、實(shí)際問題、抽象與假設(shè)、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)問題的分析與解決、解決實(shí)際問題、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?yōu)化模型”等環(huán)節(jié)．?dāng)?shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)定義(符號(hào))、數(shù)學(xué)公式、函數(shù)模型、方程模型、空間圖形、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、公理體系等具體形態(tài)．“真實(shí)情境、實(shí)際問題化”、“實(shí)際問題、數(shù)學(xué)問題化”、“數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識(shí)化”是建立數(shù)學(xué)模型、獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，而“數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用化”則是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型(知識(shí))解決問題的過程．

2.4 對(duì)“數(shù)學(xué)的價(jià)值”的理解

數(shù)學(xué)的生命力在于數(shù)學(xué)的高價(jià)值．包括科學(xué)價(jià)值、思維價(jià)值、文化價(jià)值、育人價(jià)值、審美價(jià)值等．

(1)科學(xué)價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)是追求邏輯真的科學(xué)．“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)．”數(shù)學(xué)科學(xué)對(duì)人類正確、精準(zhǔn)地認(rèn)識(shí)世界提供了強(qiáng)大的思想武器和普適的科學(xué)方法．認(rèn)知科學(xué)的研究表明，心智是涉身的、思維是無意識(shí)的、抽象概念是隱喻的．而科學(xué)發(fā)現(xiàn)的心理邏輯模型從心理直覺和邏輯推理兩種加工方式來說明科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，揭示了創(chuàng)造性思維在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用[29]．?dāng)?shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，而且也是一切重大技術(shù)革命的基礎(chǔ)[21]．

(2)思維價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)的重要價(jià)值一方面在于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)創(chuàng)造性思維過程，同時(shí)也是一個(gè)心理邏輯過程[29]．?dāng)?shù)學(xué)思維活動(dòng)的一個(gè)直接結(jié)果是可以產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)[30]．?dāng)?shù)學(xué)思維作為數(shù)學(xué)思想的方法和手段，其價(jià)值不容低估．人們通常所說的等量替換、圖形結(jié)合、遞歸法等都是數(shù)學(xué)思想的方法，即數(shù)學(xué)思維[31]．?dāng)?shù)學(xué)思維主要包括創(chuàng)造性思維、邏輯思維、轉(zhuǎn)化思維、逆向思維、對(duì)應(yīng)思維等．創(chuàng)造性思維是具有新穎性、流暢性、原創(chuàng)性、靈活性的思維．溯因、類比和歸納這三種擴(kuò)展前提的推理是具有創(chuàng)新性的推理，這三種擴(kuò)展前提的推理與創(chuàng)造性思維高度契合[29]．

(3)文化價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言及其形成和發(fā)展過程[32]．高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”置于課程設(shè)計(jì)基本理念的重要位置上，并提出：“通過在高中階段數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，學(xué)生將初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，開闊視野，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，激發(fā)對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)”[32]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)文化的途徑有很多，如在各章引言中、新課引入時(shí)、講述概念時(shí)、定理(公式)證明時(shí)、數(shù)學(xué)思想方法中、例題教學(xué)、實(shí)際應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)文化[32]．

(4)育人價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)的抽象、推理和模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有其他學(xué)科不可替代的育人價(jià)值[33]．對(duì)具體事例(事物)的抽象概括，不僅可以得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象如“數(shù)”“形”、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)定律，更具教育意義的是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程、掌握數(shù)學(xué)抽象的方法、感悟數(shù)學(xué)抽象的思想，能讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何從量或形的角度去觀察、認(rèn)識(shí)、把握現(xiàn)實(shí)事物，基于“客觀世界-數(shù)學(xué)世界”的數(shù)學(xué)認(rèn)知方式是每個(gè)公民無論從事何種職業(yè)都不可缺少的基本素養(yǎng)．因此，抽象思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育最核心的育人價(jià)值[34]．?dāng)?shù)學(xué)推理包括合情推理、邏輯推理、統(tǒng)計(jì)推理、模糊推理等，對(duì)形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維、科學(xué)精神、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)態(tài)度；實(shí)踐創(chuàng)新能力；學(xué)習(xí)能力等方面都有育人的價(jià)值[35]．?dāng)?shù)學(xué)的模型思想是學(xué)生在建模、解模、用模、評(píng)模(即評(píng)價(jià)模型)等活動(dòng)中形成的．?dāng)?shù)學(xué)的模型思想地形成有利于學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式去認(rèn)識(shí)、分析和表征“個(gè)體的生活世界”與“客觀世界”．

(5)審美價(jià)值．在古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)被珍視為一門藝術(shù)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家把算術(shù)與幾何視之為心智的藝術(shù)與靈魂的音樂，他們已經(jīng)在數(shù)學(xué)中認(rèn)識(shí)到和諧、簡單、明確等美學(xué)特征．古希臘的數(shù)學(xué)家正是基于對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)和欣賞，才使得當(dāng)時(shí)對(duì)某些數(shù)學(xué)理論的研究，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越理解自然界所必需的深度[36]．“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美．正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美”[37]．如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想象力，對(duì)稱性和比例、簡潔，以及精確地適應(yīng)達(dá)到目的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門具有其特有完美性的藝術(shù)[37]．

2.5 對(duì)“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造機(jī)制”的理解

“許多數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造成果可以看成為通過直覺俘獲的‘戰(zhàn)利品’，而邏輯好比是‘關(guān)卡’，在這里起了驗(yàn)收的作用，沒有直覺就不可能達(dá)到目的地．”數(shù)學(xué)直覺又分辨識(shí)直覺、關(guān)聯(lián)直覺和審美直覺．審美直覺是解決新思想、新方法是否符合數(shù)學(xué)美的原則問題[38]．任何數(shù)學(xué)科學(xué)的創(chuàng)造發(fā)明都產(chǎn)生于觀念的選擇，而最佳選擇的出現(xiàn)歸因于無意識(shí)里的“審美直覺”[39]．“人腦(最高物質(zhì)組織形式或機(jī)制)”內(nèi)蘊(yùn)心智本能[21]，心智本能內(nèi)蘊(yùn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新機(jī)制，數(shù)學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造源于數(shù)學(xué)審美直覺，數(shù)學(xué)審美直覺基于研究對(duì)象的和諧性與簡單性．由此得到數(shù)學(xué)創(chuàng)新機(jī)制的線路：研究對(duì)象、和諧性與簡單性、數(shù)學(xué)審美直覺、數(shù)學(xué)創(chuàng)新．因此，數(shù)學(xué)審美直覺可激活數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的心理機(jī)制．但數(shù)學(xué)創(chuàng)新的“心智本能”在人的心智機(jī)制中往往潛藏得很深，對(duì)中學(xué)生來說，需要教師通過數(shù)學(xué)審美去喚醒、激發(fā)、強(qiáng)大起來[39]，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新．因此，把數(shù)學(xué)講得很美，讓學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的美、欣賞數(shù)學(xué)的美、感悟數(shù)學(xué)的美、創(chuàng)立數(shù)學(xué)的美，是數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造能力的核心素養(yǎng)．當(dāng)然，這需要教師具有深厚的數(shù)學(xué)專業(yè)功底、教育理論功底以及優(yōu)良的教學(xué)功夫．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)源于對(duì)數(shù)學(xué)美的感受與追求．美是靈感的源泉．美感是感覺的極致．教師數(shù)學(xué)語言的優(yōu)美、圖形的美觀和板書的工整是學(xué)生感受數(shù)學(xué)美最直接的路徑．

3 中學(xué)數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)的路徑

素養(yǎng)源于學(xué)習(xí)、練習(xí)及反思．中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)習(xí)分為工作前系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)和工作后的在職學(xué)習(xí)，在職學(xué)習(xí)包括研讀中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊、做中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的專題研究性學(xué)習(xí)以及積極參加與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的討論交流活動(dòng)．因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教師“理解數(shù)學(xué)”的素養(yǎng)的生成路徑有：運(yùn)用“高觀點(diǎn)”深度理解中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)；研讀中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊；做中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的專題研究；積極參加與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題相關(guān)的討論交流活動(dòng)．

3.1 運(yùn)用“高觀點(diǎn)”深度理解中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)

系統(tǒng)學(xué)習(xí)并掌握大學(xué)本科(或研究生)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)體系是本科學(xué)生(或研究生)獲得中學(xué)數(shù)學(xué)教師資格的必備條件，也是獲得“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的主要渠道，還是認(rèn)識(shí)、形成“高觀點(diǎn)”的關(guān)鍵．“高觀點(diǎn)”是用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想和觀點(diǎn)去看待并處理初等數(shù)學(xué)問題的簡稱．系統(tǒng)學(xué)習(xí)小學(xué)的算術(shù)、中學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師生成“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的主要途徑．只有系統(tǒng)學(xué)習(xí)并全面掌握高等數(shù)學(xué)、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，才能形成中學(xué)數(shù)學(xué)的“高觀點(diǎn)”，才能用“高觀點(diǎn)”認(rèn)識(shí)和處理中學(xué)數(shù)學(xué)的疑難問題，才能更加深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法和思想．

3.2 通過數(shù)學(xué)活動(dòng)來理解數(shù)學(xué)

(1)研讀中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊．許多中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師(名師、專家)的成長經(jīng)驗(yàn)表明，研讀大量中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊是這些教師成長為中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師(名師、專家)的必經(jīng)之路．幾乎所有中學(xué)數(shù)學(xué)期刊都刊登了大量涉及數(shù)學(xué)疑難概念的理解與教學(xué)，數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、推廣與教學(xué)，教材中典型例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的深度研究與教學(xué)等方面的文章，這些文章凝聚了許多中學(xué)一線教師(專家)、教研員、高校學(xué)科專家的心血與智慧，這些文章對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題在認(rèn)識(shí)上有深度、在思維上有廣度、在思想上有厚度．也可以說，這些文章是深刻理解中學(xué)數(shù)學(xué)的“范文”，是教師快速獲得“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的“階梯”．教師在讀這些“范文”、登這些“階梯”之后，還應(yīng)寫出心得體會(huì)，寫出所想、所感、所悟、所獲，最后把寫出來的文章去投稿并爭取發(fā)表．這是中學(xué)數(shù)學(xué)教師生成“理解數(shù)學(xué)”的快速路徑．

(2)做中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的專題研究．教研與創(chuàng)新素養(yǎng)是教師專業(yè)發(fā)展的核心素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)教師的教研與創(chuàng)新素養(yǎng)是指在數(shù)學(xué)科學(xué)和教育科學(xué)指導(dǎo)下開展教育課題研究、探索數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方案和解決數(shù)學(xué)教學(xué)疑難的素養(yǎng)[10]．做中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的專題研究是教師獲得“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的重要路徑．教師對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題做一些專題研究，必然對(duì)這些數(shù)學(xué)知識(shí)和問題要有全面的了解，圍繞這些數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的探究與深刻認(rèn)識(shí)一般需要讀相關(guān)的大量文獻(xiàn)，更需要深度地思考．這些工作的有效實(shí)施，一般會(huì)對(duì)這些專題研究的內(nèi)容(數(shù)學(xué)知識(shí)和問題)形成深刻的理解．因此，無論是探究還是研究中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)和問題，都會(huì)對(duì)這些知識(shí)和問題得到良好的理解．

(3)積極參加與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的討論交流活動(dòng)．教師在參加各種教研活動(dòng)(含教師培訓(xùn))中，積極與其他教師討論數(shù)學(xué)疑難問題，主動(dòng)交流學(xué)習(xí)、探究一些中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和問題的認(rèn)知狀況、心得體會(huì)、經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，這些都會(huì)獲得新的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)．教師在與學(xué)生的對(duì)話、討論、交流等過程中，特別是學(xué)生向老師突然提問并且教師對(duì)這個(gè)問題的思考不多或不太深入，這時(shí)教師的思維處于應(yīng)急狀態(tài)，教師急需頓悟，往往可能突發(fā)靈感，對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)和問題會(huì)突然有新的認(rèn)識(shí)和理解．因此，教師在參與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和問題的討論交流活動(dòng)中容易產(chǎn)生頓悟，即對(duì)某些數(shù)學(xué)知識(shí)和問題產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)和理解．