張?jiān)骑w，林德福，鄭多，程子恒，唐攀

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

面向現(xiàn)代局部戰(zhàn)爭(zhēng)的新要求，無(wú)人機(jī)應(yīng)用場(chǎng)景由廣闊戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境向復(fù)雜城市環(huán)境發(fā)展[1]。旋翼無(wú)人機(jī)(巡飛彈)由于其在城市環(huán)境具有懸停、垂直起降、便攜性等獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，受到廣泛關(guān)注，如以色列的“螢火蟲”、“羅特姆”旋翼巡飛彈、歐洲GLMAV新概念巡飛彈、波蘭的“蜻蜓”巡飛彈等。與此同時(shí)，打破傳統(tǒng)單機(jī)執(zhí)行任務(wù)的局限，利用數(shù)架無(wú)人機(jī)對(duì)多目標(biāo)協(xié)同打擊，能夠有效提升毀傷效能和突防概率，將成為未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)中一種重要的作戰(zhàn)模式[2-4]。因此，研究旋翼無(wú)人機(jī)復(fù)雜作戰(zhàn)環(huán)境下的多目標(biāo)協(xié)同打擊問題具有現(xiàn)實(shí)意義。

多目標(biāo)協(xié)同打擊問題可以描述為復(fù)雜多約束條件下的多目標(biāo)任務(wù)分配和軌跡規(guī)劃兩個(gè)子問題。任務(wù)分配是指考慮多目標(biāo)任務(wù)和戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)，對(duì)每架無(wú)人機(jī)的打擊目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化配置，使其以最小代價(jià)協(xié)作完成任務(wù)；軌跡規(guī)劃是考慮地形、氣象等環(huán)境因素，在滿足彼此協(xié)同、外界環(huán)境和無(wú)人機(jī)自身等約束條件下，在任務(wù)分配的基礎(chǔ)上對(duì)無(wú)人機(jī)從初始位置到目標(biāo)位置的最優(yōu)飛行路徑進(jìn)行規(guī)劃[5-7]。多目標(biāo)分布式協(xié)同打擊問題融合了任務(wù)分配和路徑規(guī)劃兩個(gè)問題，其數(shù)學(xué)描述復(fù)雜，過(guò)程和終端約束條件多，導(dǎo)致優(yōu)化求解難度大。

多目標(biāo)任務(wù)分配是協(xié)同攻擊的前提，合理的任務(wù)分配是綜合火力打擊、能量消耗、時(shí)間等因素的最優(yōu)配置。任務(wù)分配常用模型有多旅行商問題模型[8-9]、混合整數(shù)線性規(guī)劃模型[10-12]、合同拍賣網(wǎng)模型[13-14]。多旅行商問題是經(jīng)典旅行商問題的拓展，且在無(wú)人機(jī)任務(wù)分配上有廣泛的應(yīng)用[8]。Kivelevitch等[9]建立經(jīng)濟(jì)模型解決多旅行商(MSTP)問題，通過(guò)多個(gè)代理商綜合考慮收益與路徑因素，獲得任務(wù)分配的最優(yōu)解。混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，文獻(xiàn)[10]對(duì)典型的對(duì)敵防空壓制(SEAD)任務(wù)場(chǎng)景，設(shè)計(jì)了一種基于整數(shù)編碼混合遺傳算法進(jìn)行任務(wù)分配的方法。文獻(xiàn)[11]提取障礙物的有效節(jié)點(diǎn)，采用混合整數(shù)的方法解決無(wú)人機(jī)對(duì)動(dòng)目標(biāo)的任務(wù)分配問題。文獻(xiàn)[12]采用混合整數(shù)方法實(shí)現(xiàn)了線上動(dòng)態(tài)任務(wù)分配與軌跡規(guī)劃算法。關(guān)于拍賣網(wǎng)模型，由Bertsekas[13]首先提出拍賣算法，并解決了單任務(wù)分配問題；嚴(yán)飛等[14]在考慮約束情況下，利用合同網(wǎng)協(xié)議實(shí)現(xiàn)異構(gòu)無(wú)人機(jī)實(shí)時(shí)任務(wù)分配。針對(duì)某些特定的實(shí)際情況也衍生出來(lái)不同的算法，Manyam等[15]提出了一種長(zhǎng)機(jī)和僚機(jī)的協(xié)作攻擊模式，通過(guò)利用僚機(jī)對(duì)威脅進(jìn)行探測(cè)來(lái)降低長(zhǎng)機(jī)的威脅，采用Voronoi圖進(jìn)行地圖劃分并以此為路徑進(jìn)行搜索。

時(shí)空同步攻擊是提升突防概率的重要手段，亦是多機(jī)協(xié)同實(shí)現(xiàn)效能倍增的關(guān)鍵。針對(duì)時(shí)空同步攻擊問題，現(xiàn)有研究主要包括兩種研究思路，一種是在規(guī)劃路徑的基礎(chǔ)上，通過(guò)調(diào)整路徑或調(diào)整無(wú)人機(jī)的飛行速度來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)間上的協(xié)同。Chandler等[16]通過(guò)調(diào)節(jié)無(wú)人飛行器的速度，從而保證多飛行器在時(shí)間上的合理安排；Beard等[17]通過(guò)調(diào)整部分無(wú)人飛行器的航跡長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)無(wú)人飛行器同時(shí)到達(dá)任務(wù)區(qū)域；文獻(xiàn)[18]提出一種用于多無(wú)人機(jī)避碰的軌跡生成辦法，并實(shí)現(xiàn)了線上動(dòng)態(tài)時(shí)間協(xié)調(diào)。另一種實(shí)現(xiàn)時(shí)空同步攻擊的方法是在動(dòng)力學(xué)約束下，將時(shí)間作為控制因素加入軌跡規(guī)劃中，針對(duì)無(wú)人機(jī)的可行軌跡通過(guò)構(gòu)造無(wú)人機(jī)的飛行軌跡函數(shù)實(shí)現(xiàn)。Bellingham等[19]應(yīng)用混合整數(shù)線性規(guī)劃法解決了有時(shí)間限制的緊密耦合問題，該方法的優(yōu)點(diǎn)是得到最優(yōu)值，但計(jì)算量大，不適合在線規(guī)劃。張思宇等[20]提出基于時(shí)間約束集的發(fā)射時(shí)間規(guī)劃算法框架，建立了以發(fā)射時(shí)間為優(yōu)化變量、避免飛行碰撞為約束條件和同時(shí)到達(dá)目標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化問題，但是每條軌跡的運(yùn)算時(shí)間不同，存在時(shí)間較長(zhǎng)的情況，且不能嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)同時(shí)達(dá)到的目標(biāo)。Eun等[21]通過(guò)遺傳算法(GA)實(shí)現(xiàn)多任務(wù)分配，并將時(shí)間作為約束以實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊，但是假設(shè)速度為恒定的速度，且只是任務(wù)層規(guī)劃。

本文面向復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下多目標(biāo)協(xié)同打擊的需求，研究了存在多禁飛區(qū)約束的復(fù)雜環(huán)境下，多目標(biāo)的分布式時(shí)空同步協(xié)同打擊問題。考慮多個(gè)禁飛區(qū)域約束，本文基于Delaunay三角形構(gòu)建可行飛行路徑地圖，利用A*算法研究單無(wú)人機(jī)路徑搜索策略，保證無(wú)人機(jī)規(guī)避禁飛區(qū)。為了對(duì)無(wú)人機(jī)打擊目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化配置，利用sigmoid飽和函數(shù)增大數(shù)值敏感度，提升任務(wù)分配的最優(yōu)性。在此基礎(chǔ)上，提出基于貝塞爾曲線的無(wú)人機(jī)軌跡連續(xù)性約束方法，通過(guò)引入動(dòng)態(tài)時(shí)間調(diào)節(jié)因子，實(shí)現(xiàn)分布式無(wú)人機(jī)時(shí)空同步到達(dá)的路徑規(guī)劃。進(jìn)一步考慮噪聲、陣風(fēng)等干擾條件，研究無(wú)人機(jī)的協(xié)同軌跡跟蹤控制問題。本文提出的多無(wú)人機(jī)協(xié)同打擊策略，賦予無(wú)人機(jī)在多約束、高動(dòng)態(tài)復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下的時(shí)空同步協(xié)同打擊能力，提升了無(wú)人機(jī)協(xié)同突防作戰(zhàn)的任務(wù)效能。

1 無(wú)人機(jī)協(xié)同打擊問題數(shù)學(xué)描述

1.1 協(xié)同打擊問題

在存在多個(gè)禁飛區(qū)域(如障礙物、敵方探測(cè)雷達(dá)、火力點(diǎn)等)的典型作戰(zhàn)區(qū)域中，為了盡可能地實(shí)施突防，增大毀傷效能，利用多架無(wú)人機(jī)對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行時(shí)空同步協(xié)同打擊，如圖1所示。

圖1 多機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)場(chǎng)景

任務(wù)場(chǎng)景中含有多個(gè)打擊目標(biāo)TAi、若干障礙物THj，其中xUk為第k架無(wú)人機(jī)的位置坐標(biāo)，xTHj為障礙物THj中心點(diǎn)位置坐標(biāo)，xTAi為第i個(gè)打擊目標(biāo)位置坐標(biāo)。多目標(biāo)分布式協(xié)同打擊包含兩個(gè)子問題：

1)多目標(biāo)任務(wù)分配。多目標(biāo)任務(wù)分配是對(duì)無(wú)人機(jī)資源的配置，通過(guò)給每架無(wú)人機(jī)分配合理的任務(wù)目標(biāo)，以盡可能最小的代價(jià)完成多目標(biāo)打擊。代價(jià)函數(shù)可表示為

(1)

式中：uU為無(wú)人機(jī)數(shù)量；nTA為目標(biāo)點(diǎn)數(shù)量；αk,j為分配系數(shù)，αk,j∈{0,1}，1表示無(wú)人機(jī)Uk執(zhí)行TAi任務(wù)，0表示不執(zhí)行TAi任務(wù)；f(LUkTAi)為路徑的代價(jià)函數(shù)，LUkTAi為無(wú)人機(jī)Uk到目標(biāo)點(diǎn)TAi的飛行路徑。約束條件保證了每架無(wú)人機(jī)僅執(zhí)行一個(gè)任務(wù)。

2)時(shí)間約束的路徑規(guī)劃與跟蹤。時(shí)間約束的路徑規(guī)劃與跟蹤是無(wú)人機(jī)協(xié)同執(zhí)行任務(wù)的核心，以實(shí)現(xiàn)時(shí)空同步打擊多個(gè)目標(biāo)，最大化打擊效能，即

(2)

式中：Lk為第k架無(wú)人機(jī)的軌跡；F(Lk)為每條路徑的優(yōu)化函數(shù)；tk為第k架無(wú)人機(jī)的時(shí)間，保證無(wú)人機(jī)規(guī)劃軌跡的最優(yōu)性;Ts為預(yù)先設(shè)定的時(shí)間。通過(guò)該約束條件可保證每條飛行軌跡所需時(shí)間都相等，且為預(yù)設(shè)定的時(shí)間Ts.

1.2 無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

牛頓等式為

(3)

式中：m為無(wú)人機(jī)質(zhì)量；g為重力加速度。

歐拉等式為

(4)

對(duì)無(wú)人機(jī)12個(gè)狀態(tài)量進(jìn)行簡(jiǎn)化，選取其中的部分狀態(tài)量，并通過(guò)部分狀態(tài)量及部分狀態(tài)量導(dǎo)數(shù)將所有其他的狀態(tài)量表達(dá)出來(lái)，最終可以得出無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的平坦輸出[22]為

σ=[x,y,z,ψ].

(5)

(6)

進(jìn)一步建立一個(gè)中間坐標(biāo)系Ocxcyczc，中間坐標(biāo)系Ocxcyczc與機(jī)體坐標(biāo)系Obxbybzb之間只存在俯仰和滾轉(zhuǎn)角的差別，中間坐標(biāo)系Ocxcyczc的Ocxcyc平面與世界坐標(biāo)系Owxwywzw的Owxwyw平面共面，如圖2所示。根據(jù)坐標(biāo)系的定義以及坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可以得到中間坐標(biāo)系x軸方向單位矢量和y軸方向單位矢量的表達(dá)方式：

圖2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

(7)

式中：σ4為平坦輸出的第4個(gè)輸出量。

通過(guò)(6)式、(7)式，可以唯一求解出無(wú)人機(jī)姿態(tài)，即慣性坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣:

(8)

(9)

式中：a為無(wú)人機(jī)加速度；ωbw為機(jī)體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度。

為了便于后續(xù)公式的表達(dá)，定義變量hω為

(10)

最終可以推導(dǎo)得到旋轉(zhuǎn)角速率[ωx,ωy,ωz]為

(11)

通過(guò)上述的推導(dǎo)可知，無(wú)人機(jī)全部狀態(tài)均可由x、y、z、ψ4個(gè)狀態(tài)量進(jìn)行表示，因此對(duì)無(wú)人機(jī)的路徑規(guī)劃即是對(duì)[x,y,z,ψ]4個(gè)狀態(tài)量進(jìn)行規(guī)劃。

2 單無(wú)人機(jī)路徑圖構(gòu)建及其搜索策略

單機(jī)的飛行路徑安全是多無(wú)人機(jī)協(xié)同規(guī)劃的前提，因此本部分首先研究多禁飛區(qū)約束下的單機(jī)路徑規(guī)劃問題。

2.1 基于Delaunay三角形的搜索地圖構(gòu)建

Delaunay三角形存在空?qǐng)A特性和最大化最小角性質(zhì)[23-25]，可以將地圖劃分成最小單元，保證飛行路徑有效規(guī)避禁飛區(qū)，因此可基于Delaunay三角進(jìn)行戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境地圖構(gòu)建。

選取無(wú)人機(jī)U1，終點(diǎn)目標(biāo)TA1，禁飛區(qū)中心位置TH={TH1,TH2,…,THq}。生成算法采用Bowyer-Watson算法，即：

1)構(gòu)造一個(gè)超級(jí)三角形，包含所有禁飛區(qū)，放入三角形鏈表。

2)將禁飛區(qū)中的散點(diǎn)依次插入，在三角形鏈表中找出其外接圓包含插入點(diǎn)的三角形(稱為該點(diǎn)的影響三角形)，刪除影響三角形的公共邊，將插入點(diǎn)與影響三角形的全部頂點(diǎn)連接起來(lái)，從而完成一個(gè)點(diǎn)在Delaunay三角形鏈表中的插入，如圖3所示。

圖3 Bowyer-Watson算法

3)循環(huán)執(zhí)行上述第2步，直到所有散點(diǎn)插入完畢。

根據(jù)Bowyer-Watson算法，可建立搜索地圖如圖4所示。

圖4 基于Delaunay三角形的地圖構(gòu)建

為了盡可能增大飛行安全性，取三角形邊線的中點(diǎn)為路徑點(diǎn)，將初始位置和最近的三角形中點(diǎn)相連作為初始搜索路徑，將終止位置和最近的3個(gè)三角形中點(diǎn)相連作為終止搜索路徑，可建立搜索樹地圖，如圖5和圖6所示，圖中P1,P2,…,P19表示搜索樹節(jié)點(diǎn)。

圖5 搜索樹

圖6 搜索樹節(jié)點(diǎn)示意圖

2.2 A*路徑搜索

為了在諸多可行路徑中搜索出滿足性能指標(biāo)最優(yōu)的飛行路徑，采用A*啟發(fā)式搜索算法。設(shè)定代價(jià)函數(shù)表達(dá)式為

f(n)=g(n)+h(n)，

(12)

式中：g(n)為節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移的代價(jià)函數(shù)；h(n)為啟發(fā)式搜索函數(shù)。

代價(jià)函數(shù)和啟發(fā)式函數(shù)可描述為

g(n)=αdn,n+1，

(13)

式中：α是歸一化參數(shù)，使得g(n)滿足g(n)∈[0,1]；dn,n+1表示節(jié)點(diǎn)n和節(jié)點(diǎn)n+1之間的距離。

軌跡的安全性是無(wú)人機(jī)任務(wù)的前置條件，綜合考慮整條軌跡的相對(duì)安全性與軌跡的絕對(duì)安全性，將節(jié)點(diǎn)n和節(jié)點(diǎn)n+1之間的點(diǎn)劃分成N份，求N個(gè)節(jié)點(diǎn)到單個(gè)障礙物之間的最小距離，并選取最小距離為代價(jià)函數(shù)評(píng)估軌跡的相對(duì)安全性。在此基礎(chǔ)上，增加判定條件如下：如果最小距離小于設(shè)定的安全半徑，將最小距離設(shè)定為0.1 m.以此判定條件來(lái)保障路徑的絕對(duì)安全，如圖 7所示。綜上可以得到啟發(fā)式搜索函數(shù)為

圖7 軌跡安全性

(14)

式中：β是參數(shù)歸一化因子，使得滿足h(n)∈[0,1]；nTH為障礙物數(shù)量；dTHj,l表示節(jié)點(diǎn)n與拓展節(jié)點(diǎn)n+1之間的第l個(gè)點(diǎn)與THj禁飛區(qū)之間的距離。

通過(guò)啟發(fā)式的搜索可以找到一個(gè)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑，并且滿足

∑f(n)→min，

(15)

如圖8所示，從無(wú)人機(jī)初始位置點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p1、p3、p6、p8到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)位置的一條路徑。

圖8 A*算法路徑搜索結(jié)果

3 多目標(biāo)協(xié)同攻擊任務(wù)分配

為了以盡可能小的能量損耗實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)協(xié)同打擊，需要對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化分配。將能量損失、威脅因子、打擊力度和無(wú)人機(jī)分布情況作為目標(biāo)分配的綜合考量因素，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)f({Uk},{TAi},{THj})。

定義代價(jià)函數(shù)f({Uk},{TAi},{THj})為

μf[i1,…,inTA]+μs[i1,…,inTA]，

(16)

(17)

式中：m(i)表示攻擊同一個(gè)目標(biāo)的無(wú)人機(jī)數(shù)量。

(18)

式中：n(TA)表示攻擊目標(biāo)個(gè)數(shù)。

為了最小化代價(jià)函數(shù)f({Uk},{TAi},{THj})，可通過(guò)給每個(gè)無(wú)人機(jī)分配對(duì)應(yīng)的目標(biāo)點(diǎn)來(lái)獲得無(wú)人機(jī)的分布，其優(yōu)化模型則可表示為

(19)

為了實(shí)現(xiàn)多方向打擊目標(biāo)，需要在保證飛行安全約束條件下，為相同攻擊方向的目標(biāo)提供額外的可行打擊方向?；谝呀?jīng)建立的搜索樹，得到連接目標(biāo)的3個(gè)節(jié)點(diǎn)為{Pa,Pb,Pc}，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的搜索樹如圖9所示。

圖9 目標(biāo)節(jié)點(diǎn)搜索樹

假設(shè)原路徑中與終點(diǎn)連接的節(jié)點(diǎn)是Pa，這為重復(fù)攻擊方向的無(wú)人機(jī)提供了額外的兩個(gè)搜索節(jié)點(diǎn){Pb,Pc}。根據(jù)搜索樹建立方法，可以得出兩個(gè)節(jié)點(diǎn){Pb,Pc}距離最近的禁飛區(qū)有最大的安全距離，保障了節(jié)點(diǎn)的安全性。以{Pb,Pc}為終止目標(biāo)點(diǎn)將原目標(biāo)優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)f({Uk},{TAi},{THj})轉(zhuǎn)化為對(duì)搜索節(jié)點(diǎn)P的代價(jià)函數(shù)：

(20)

式中：Pz∈{Pb,Pc}。通過(guò)優(yōu)化搜索出到達(dá)節(jié)點(diǎn)Pb或Pc的最小化代價(jià)函數(shù)路徑，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的多方向協(xié)同打擊。

4 時(shí)間約束的協(xié)同軌跡優(yōu)化及其跟蹤

為了增加無(wú)人機(jī)突防成功率，且最大化打擊效能，需要多架無(wú)人機(jī)能夠時(shí)空同步打擊多個(gè)目標(biāo)。因此需要規(guī)劃出滿足時(shí)間約束的路徑，且匹配設(shè)計(jì)路徑跟蹤控制器。

4.1 基于貝塞爾曲線的軌跡優(yōu)化

為了滿足時(shí)間約束和無(wú)人機(jī)自身的動(dòng)力學(xué)約束，保證軌跡的連續(xù)平滑性，采用貝塞爾曲線對(duì)每架無(wú)人機(jī)的分段軌跡進(jìn)行描述；通過(guò)對(duì)曲線的時(shí)間系數(shù)進(jìn)行映射保證對(duì)目標(biāo)的同時(shí)打擊；為降低飛行過(guò)程中的能量損耗，設(shè)定Minimum Jerk為優(yōu)化目標(biāo)。

貝塞爾曲線由多個(gè)控制點(diǎn)定義，它總是過(guò)初始控制點(diǎn)和終止控制點(diǎn)，且曲線形狀可以通過(guò)改變控制點(diǎn)改變。由于無(wú)人機(jī)可以解耦實(shí)現(xiàn)x軸、y軸兩個(gè)方向的控制，因此可以獨(dú)立地對(duì)x、y進(jìn)行最優(yōu)化處理。

貝塞爾曲線的表達(dá)式為

(21)

(22)

(23)

式中：μ為x軸、y軸任意軸上的B樣條曲線；λ為B樣條曲線分割段數(shù)；Sλ對(duì)應(yīng)著每段路徑的分配時(shí)間，即Sλ=Tλ-Tλ-1.

為了提升計(jì)算效率，每一段軌跡使用相對(duì)時(shí)間進(jìn)行構(gòu)造。以Minimum Jerk為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建第k架無(wú)人機(jī)優(yōu)化軌跡的數(shù)字表達(dá)形式為

(24)

式中：Tk表示第k架無(wú)人機(jī)的總時(shí)長(zhǎng)。針對(duì)第ι段的分段貝塞爾曲線其表達(dá)式為

(25)

化簡(jiǎn)可得

(26)

式中：

(27)

相比于傳統(tǒng)的多項(xiàng)式問題，基于貝塞爾曲線的Minimum Jerk目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式相對(duì)復(fù)雜，不利于構(gòu)建形如J=pTQp二次函數(shù)形式，因此需要通過(guò)傳統(tǒng)多項(xiàng)式進(jìn)行求解。

此處建立傳統(tǒng)多項(xiàng)式系數(shù)與貝塞爾曲線系數(shù)c的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，將基于貝塞爾曲線Minimum Jerk的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為J=cTMTQMc.針對(duì)8階的貝塞爾曲線可以推導(dǎo)出

M=

(28)

在此的基礎(chǔ)上得到Minimum Jerk的時(shí)間歸一化目標(biāo)函數(shù)：

J=aTsTMTQMsa，

(29)

式中：a為歸一化貝塞爾曲線控制點(diǎn)；s為每段對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)。

設(shè)定曲線Minimum Jerk問題的約束問題包括固定點(diǎn)約束、連續(xù)性約束和最大值約束。

固定點(diǎn)約束包括起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置、速度、加速度約束，以及路徑點(diǎn)的位置約束，通常的表達(dá)形式為

(30)

(31)

連續(xù)性約束則是每段路徑的末位置和下一段路徑初始位置之間的位置、速度、加速度約束，通常表示為

(32)

(32)式的位置點(diǎn)約束和連續(xù)性約束都為線性等式約束，可簡(jiǎn)化為Aeqc=beq，其中Aeq為等式關(guān)系中的參數(shù)矩陣，beq為等式關(guān)系中的參數(shù)向量，c=[c1,c2,…,cmc]。

為了保證軌跡的可行性，需要對(duì)無(wú)人機(jī)的最大速度和最大加速度進(jìn)行約束。貝塞爾曲線具有凸包性質(zhì)，只需要對(duì)每段曲線的控制點(diǎn)進(jìn)行約束，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)整條曲線的速度、加速度的約束，即

(33)

(33)式的速度和加速度約束則可以描述為線性不等式約束，即Aieqc≤bieq，其中Aieg為不等式關(guān)系中的參數(shù)矩陣，bieq為不等式關(guān)系中的參數(shù)向量，c=[c1,c2,…,cmc]。

那么軌跡生成問題可以重新寫為

(34)

問題(32)式可以被轉(zhuǎn)化為凸二次規(guī)劃問題，可高效進(jìn)行求解。

基于貝塞爾曲線，不僅可以實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)同時(shí)達(dá)到的要求，同時(shí)也滿足位置、速度的光滑和加速度的連續(xù)約束條件，保證了飛行軌跡的可行性。

4.2 軌跡跟蹤控制策略

在外界干擾和噪聲條件下，為了使無(wú)人機(jī)能夠精準(zhǔn)跟蹤預(yù)規(guī)劃軌跡，需要設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器。

無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃可以得出每個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的無(wú)人機(jī)位置、速度、加速度控制量，據(jù)此通過(guò)姿態(tài)控制器實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，得到的軌跡控制回路如圖10所示。

圖10 無(wú)人機(jī)軌跡跟蹤控制回路

為了無(wú)人機(jī)在傳感器噪聲和外界擾動(dòng)條件下能夠準(zhǔn)確跟蹤預(yù)定軌跡，計(jì)算出位置、速度、加速度誤差作為PD控制器的輸入量，并將輸出結(jié)果作為無(wú)人機(jī)的閉環(huán)軌跡跟蹤控制量，得到控制指令為

(35)

ac=pv·vd+pp·pd+

(36)

式中：vd、pd分別表示速度和位置的誤差量；vs、vc分別表示設(shè)定速度和當(dāng)前速度；ps、pc表示設(shè)定速度和當(dāng)前速度；ac表示無(wú)人機(jī)加速度控制指令；pv、pp分別表示速度和位置的比例增益；dv、dp分別表示速度和位置的微分增益。

為了降低噪聲等干擾因素對(duì)無(wú)人機(jī)控制指令的影響，在輸入控制指令后添加低通濾波器為

(37)

式中：ac為經(jīng)過(guò)低通濾波后的控制輸入量；TL為低通濾波器時(shí)間常數(shù)；u為計(jì)算得到的控制輸入量。

根據(jù)無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型(35)式，可以將控制指令轉(zhuǎn)化為對(duì)無(wú)人機(jī)姿態(tài)的實(shí)時(shí)控制量，即

(38)

對(duì)(38)式進(jìn)行整理，可以得到無(wú)人機(jī)加速度和姿態(tài)角之間的轉(zhuǎn)換矩陣：

(39)

5 仿真分析

設(shè)定戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境地圖為10 km×10 km區(qū)域，其中存在5個(gè)無(wú)人機(jī)組成的攻擊編隊(duì)，3個(gè)攻擊目標(biāo)，以及若干禁飛區(qū)域，相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真數(shù)據(jù)

5.1 任務(wù)分配與軌跡規(guī)劃

5.1.1 任務(wù)分配與路徑搜索

利用提出的Delaunay三角形劃分方法，構(gòu)建地圖以及搜索樹，結(jié)果如圖11所示。

圖11 多機(jī)Delaunay三角形地圖構(gòu)建

進(jìn)而通過(guò)計(jì)算f({Uk},{TAi},{THj})函數(shù)，求出不同組合下的代價(jià)函數(shù)值，最終無(wú)人機(jī)按照任務(wù)分配矩陣[3,2,1,1,3]進(jìn)行目標(biāo)分配得到的代價(jià)函數(shù)值最小，得到無(wú)人機(jī)的多目標(biāo)分配及其飛行路徑如圖12所示。

圖12 多機(jī)任務(wù)分配結(jié)果

利用本文提出的多角度攻擊分配算法，對(duì)具有相同攻擊角度的無(wú)人機(jī)軌跡進(jìn)行重新規(guī)劃，可以得到不同終端攻擊角度的無(wú)人機(jī)飛行路徑，如圖13所示。

由圖13可知，在路徑規(guī)劃階段實(shí)現(xiàn)了無(wú)人機(jī)的多目標(biāo)打擊任務(wù)分配、路徑搜索以及單個(gè)目標(biāo)的多方向打擊。

圖13 多方位攻擊任務(wù)設(shè)計(jì)

5.1.2 含有時(shí)間約束的軌跡優(yōu)化

為在無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)與時(shí)空同步到達(dá)約束下，保證問題可解，以最長(zhǎng)路徑的時(shí)間為總時(shí)長(zhǎng)，進(jìn)行各自無(wú)人機(jī)的時(shí)間優(yōu)化。

選定規(guī)劃總時(shí)間Ts=781 s，設(shè)定到達(dá)終點(diǎn)位置時(shí)的速度為4.5 m/s，x軸、y軸方向的速度約束分別為8 m/s，即最大飛行速度為11.3 m/s，x軸、y軸方向的加速度約束為2 m/s2.根據(jù)以上條件，對(duì)各無(wú)人機(jī)軌跡進(jìn)行Minimum Jerk優(yōu)化，得到5架無(wú)人機(jī)的飛行軌跡，如圖14和圖15示。

圖14 貝塞爾曲線優(yōu)化結(jié)果

圖15 貝塞爾曲線時(shí)序圖

由圖14和圖15可知，利用本文提出的時(shí)間約束協(xié)同軌跡優(yōu)化方法，規(guī)劃得到5架無(wú)人機(jī)協(xié)同攻擊軌跡，可實(shí)現(xiàn)從初始位置出發(fā)，經(jīng)過(guò)路徑規(guī)劃的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，并在第781 s同時(shí)到達(dá)目標(biāo)位置。

圖16分別給出了5架無(wú)人機(jī)x軸、y軸方向的速度和加速度曲線。由圖16可知，規(guī)劃得到的無(wú)人機(jī)位置和速度均為平滑曲線，且加速度曲線連續(xù)，并且速度和加速度均滿足無(wú)人機(jī)約束條件。

圖16 無(wú)人機(jī)速度和加速度曲線

5.2 協(xié)同軌跡跟蹤

為了比較分析無(wú)人機(jī)規(guī)劃軌跡在有無(wú)噪聲和干擾條件下的跟蹤特性，采用辨識(shí)得到的實(shí)際某型無(wú)人機(jī)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型：

(40)

式中：φd、θd、ψd為期望輸出角度；φ、θ、ψ為實(shí)際輸出角度。

5.2.1 理想情況

理想情況下不考慮傳感器噪聲和干擾，分別設(shè)計(jì)速度控制、位置控制的比例增益系數(shù)pv=2.5、pp=0.001.速度控制、位置控制的微分增益系數(shù)dv=1、dp=0.001.利用數(shù)學(xué)分析軟件MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真，設(shè)定脫靶量1 m為終止條件，統(tǒng)計(jì)各個(gè)無(wú)人機(jī)的到達(dá)時(shí)間，仿真結(jié)果如圖17所示。

圖17 理想條件下多無(wú)人機(jī)協(xié)同軌跡跟蹤

由圖17可知，5架無(wú)人機(jī)均能夠準(zhǔn)確跟蹤預(yù)規(guī)劃飛行軌跡，且5架無(wú)人機(jī)同時(shí)到達(dá)各自目標(biāo)位置，構(gòu)成分布式協(xié)同攻擊。

5架無(wú)人機(jī)的速度和加速度曲線如圖18和圖19所示。由圖18和圖19可知，軌跡跟蹤控制器不但能夠控制5架無(wú)人機(jī)準(zhǔn)確跟蹤軌跡，還能夠穩(wěn)定跟蹤速度曲線，且無(wú)人機(jī)速度和加速度均滿足設(shè)定的約束條件。

圖18 理想條件下多無(wú)人機(jī)速度曲線

圖19 理想條件下多無(wú)人機(jī)加速度控制指令

5.2.2 引入噪聲及陣風(fēng)干擾

與此同時(shí)，環(huán)境中還存在風(fēng)的干擾，此處考慮陣風(fēng)干擾。參考文獻(xiàn)[26]，陣風(fēng)干擾模型可描述為

(41)

式中：vg為干擾的風(fēng)速；vmax為最大風(fēng)速；t1表示開始受風(fēng)影響的時(shí)間；Tg表示風(fēng)持續(xù)影響的時(shí)間。

根據(jù)動(dòng)量定理，推導(dǎo)出風(fēng)對(duì)無(wú)人機(jī)的干擾力，即

(42)

式中：ρ為空氣密度，取ρ=1.205 kg/m3；S為無(wú)人機(jī)陣風(fēng)受力面積。假設(shè)無(wú)人機(jī)在仿真過(guò)程中400 s時(shí)，受到沿y=x直線方向的6級(jí)陣風(fēng)干擾(11 m/s)，持續(xù)時(shí)間為5 s.

為了降低噪聲和陣風(fēng)干擾對(duì)控制指令的影響，設(shè)定低通濾波器參數(shù)TL=1，仿真結(jié)果如圖20所示。由圖20可知，即使引入噪聲及陣風(fēng)干擾，5架無(wú)人機(jī)的軌跡跟蹤控制器依然可以準(zhǔn)確控制無(wú)人機(jī)跟蹤預(yù)先規(guī)劃軌跡，實(shí)現(xiàn)從不同初始位置對(duì)多個(gè)目標(biāo)的時(shí)空同步攻擊，達(dá)成分布式協(xié)同攻擊效果。5架無(wú)人機(jī)的速度和加速度曲線如圖21和圖22所示。

圖20 噪聲及干擾下多無(wú)人機(jī)協(xié)同軌跡跟蹤

圖21 噪聲及干擾情況下多無(wú)人機(jī)速度曲線

圖22 濾波后多無(wú)人機(jī)加速度控制指令

由圖21和圖22可知，在噪聲及陣風(fēng)干擾下，5架無(wú)人機(jī)速度和加速度均滿足約束條件要求，且無(wú)人機(jī)的軌跡跟蹤控制可以很好地抵抗陣風(fēng)干擾，具有一定的魯棒性。

在此基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)2 000次引入測(cè)量噪聲和陣風(fēng)干擾情況的無(wú)人機(jī)協(xié)同攻擊效果如表2所示。

表2 理想情況、引入噪聲及陣風(fēng)干擾協(xié)同攻擊效果比較

由表2可知，考慮噪聲及干擾條件下，5架無(wú)人機(jī)之間的協(xié)同攻擊時(shí)間誤差均小于1 s，表明本文的多無(wú)人機(jī)協(xié)同攻擊策略對(duì)干擾具有較好的魯棒性，滿足復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下多目標(biāo)時(shí)空同步攻擊要求。更為重要的是，本文提出的時(shí)空同步協(xié)同攻擊策略不依賴于無(wú)人機(jī)間的組網(wǎng)通訊，極大地增加了可靠性，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用性。

6 結(jié)論

本文針對(duì)復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下多目標(biāo)分布式時(shí)空同步協(xié)同攻擊問題，提出一種多目標(biāo)任務(wù)分配與時(shí)間約束的協(xié)同路徑規(guī)劃算法，兼顧了無(wú)人機(jī)目標(biāo)分配的最優(yōu)性與規(guī)劃效率，可實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的時(shí)空同步協(xié)同打擊，提升無(wú)人機(jī)的突防概率和打擊效能。得出主要結(jié)論如下：

1)利用Delaunay三角形的空外接圓和最大最小角性質(zhì)，將地圖劃分成最小單元，構(gòu)建戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)地圖，可提高無(wú)人機(jī)飛行過(guò)程中規(guī)避禁飛區(qū)的安全性。

2)提出基于sigmoid函數(shù)對(duì)任務(wù)分配結(jié)果進(jìn)行評(píng)估，可提升多目標(biāo)分配問題的優(yōu)化求解效率，保證無(wú)人機(jī)任務(wù)平均分配的同時(shí)盡可能地提升對(duì)重要目標(biāo)的打擊力度。

3)基于貝塞爾曲線對(duì)設(shè)計(jì)的路徑施加位置和動(dòng)力學(xué)約束，使得控制指令連續(xù)平滑，保證飛行路徑滿足約束條件。且通過(guò)引入時(shí)間調(diào)節(jié)因子，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多目標(biāo)的同時(shí)到達(dá)攻擊。

4)仿真結(jié)果表明，本文多目標(biāo)分配與軌跡規(guī)劃方法可兼顧效率與最優(yōu)，在噪聲及陣風(fēng)干擾下，亦能有效地保證分布式協(xié)同攻擊的時(shí)間一致性。且無(wú)人機(jī)間的協(xié)同不依賴于通信網(wǎng)絡(luò)，具備通信拒止環(huán)境下的協(xié)同攻擊能力，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。