馬寶澤張?zhí)祢U 安澤亮 張 剛

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065)

1 引言

盲源分離(Blind Source Separation,BSS)是一種僅利用觀測(cè)信號(hào)就可恢復(fù)出源信號(hào)的信號(hào)處理技術(shù)[1]。然而，觀測(cè)信號(hào)在采集過程中會(huì)受到傳感器數(shù)量的限制，很難滿足觀測(cè)信號(hào)數(shù)目不少于源信號(hào)數(shù)目的要求[2,3]。同時(shí)，源信號(hào)的混疊往往伴隨著信道衰減和時(shí)延現(xiàn)象[4–6]。傳統(tǒng)的瞬時(shí)混合欠定盲源分離(Underdetermined BSS,UBSS)方法沒有考慮時(shí)延的影響，混合矩陣僅包含衰減系數(shù)[7]。在實(shí)際情況下，每個(gè)源信號(hào)不可能同時(shí)達(dá)到所有的傳感器，不同的源信號(hào)到達(dá)傳感器的時(shí)間延時(shí)也有差別，時(shí)延的大小取決于傳感器與信源間的相對(duì)位置以及源信號(hào)的傳播速度[8]。由于信號(hào)到達(dá)每個(gè)傳感器的幅度衰減和時(shí)間延遲不同，衰減延遲混合比線性瞬時(shí)混合更符合實(shí)際環(huán)境。因此，有必要對(duì)帶衰減延時(shí)混合的欠定盲源分離問題進(jìn)行深入的研究，即在傳感器數(shù)量小于信源數(shù)的情況下不僅需要考慮源信號(hào)的幅度衰減，還要考慮源信號(hào)到達(dá)傳感器所產(chǎn)生的時(shí)延。

在欠定混合系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[9]利用稀疏編碼技術(shù)從時(shí)頻點(diǎn)集合中發(fā)現(xiàn)1-D子空間，然后通過層次聚類對(duì)子空間中向量分組就可估計(jì)出混合矩陣，最后采用最小二乘方法實(shí)現(xiàn)源信號(hào)恢復(fù)。文獻(xiàn)[10]利用一種新的子空間補(bǔ)償匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)欠定盲源分離源信號(hào)的恢復(fù)，該算法通過每次迭代選取多于一個(gè)原子的方式降低計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)為了提高恢復(fù)精度用L2范數(shù)最小化代替L0范數(shù)最小化。由于上述UBSS方法僅考慮了衰減系數(shù)而沒有考慮時(shí)延，因此，文獻(xiàn)[11]提出了一種基于先驗(yàn)信息的UBSS方法處理延時(shí)混合信號(hào)，從復(fù)值混合矩陣中提取先驗(yàn)信息確定單源區(qū)間，然后利用凝聚層次聚類法和子空間法分別估計(jì)混合矩陣和源信號(hào)。同時(shí)，根據(jù)延時(shí)混合模型，文獻(xiàn)[12]提出了一種混合矩陣估計(jì)方法，在時(shí)頻域中先建立一個(gè)變換矩陣構(gòu)造實(shí)譜矩陣，然后根據(jù)單源區(qū)間的聚類中心推導(dǎo)出混合矩陣。由以上描述可知，欠定混合模型是盲源分離研究的熱點(diǎn)，考慮時(shí)延的欠定盲源分離方法有待進(jìn)一步研究。此外，信源數(shù)估計(jì)是盲信號(hào)處理的重要組成部分，尤其是非正定混合系統(tǒng)[13–15]。估計(jì)的源信號(hào)個(gè)數(shù)將直接影響分離結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此有必要在欠定混合系統(tǒng)分離階段之前進(jìn)行信源數(shù)估計(jì)[16]。

本文研究了一種針對(duì)多維信號(hào)衰減延時(shí)混合的UBSS方法。首先，為了利用觀測(cè)信號(hào)在稀疏域中的線性聚類特性，需要計(jì)算觀測(cè)信號(hào)的短時(shí)頻譜能量來消除時(shí)延的影響；其次，由于散點(diǎn)呈現(xiàn)出的線性聚類只與衰減系數(shù)有關(guān)，所以可以利用勢(shì)函數(shù)估計(jì)信源數(shù)。再次，根據(jù)估計(jì)出的信源數(shù)篩選能量和峰值對(duì)應(yīng)的頻點(diǎn)構(gòu)造二進(jìn)制時(shí)頻掩碼，進(jìn)而得到分離信號(hào)的短時(shí)頻譜。最后，在時(shí)域通過填充線消除分離信號(hào)存在的邊界效應(yīng)。此外，將基于子空間表示的Subspace方法[17]和基于稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)的UBSS-SCA方法[18]作為對(duì)比算法。

2 理論背景

2.1 數(shù)學(xué)模型

那么，式(2)的矩陣形式可以表述為

利用短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform,STFT)將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到時(shí)頻域，式(2)的時(shí)頻域形式為

由于信號(hào)在傳輸過程中存在衰減aij和時(shí)延σij，傳統(tǒng)的UBSS方法只能解決信號(hào)衰減問題。

2.2 問題分析

3 衰減延時(shí)混合UBSS方法

3.1 勢(shì)函數(shù)估計(jì)信源數(shù)

通過計(jì)算勢(shì)函數(shù)的大小來衡量散點(diǎn)聚類成線性

3.2 二進(jìn)制時(shí)頻掩碼預(yù)測(cè)

3.3 消除邊界效應(yīng)

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 模擬信號(hào)仿真

圖1 模擬信號(hào)時(shí)域波形

圖2 模擬信號(hào)散點(diǎn)圖

圖3 峰值分布情況

根據(jù)式(16)計(jì)算出每個(gè)估計(jì)信源的短時(shí)頻譜，然后通過填充線消除時(shí)域分離信號(hào)的邊界效應(yīng)。從圖4(a)虛方框可以看出未考慮填充線情況下時(shí)域分離信號(hào)首尾會(huì)存在較為明顯的邊界效應(yīng)；通過填充線消除邊界效應(yīng)的時(shí)域波形如圖4(b)所示，本文方法對(duì)模擬的源信號(hào)進(jìn)行了有效的估計(jì)。

圖4 分離信號(hào)時(shí)域

為了驗(yàn)證本文算法的性能，分別采用基于子空間表示的Subspace方法和基于稀疏分量分析的UBSS-SCA算法作為對(duì)比算法。在不同信噪比條件下，計(jì)算3種方法的分離性能，將SAR(Sources to Artifacts Ratio)作為衡量分離信號(hào)的評(píng)價(jià)指標(biāo)[23]。

圖5是3種算法在不同SNR(Signal to Noise Ratio)情況下對(duì)應(yīng)的SAR對(duì)比圖，可以看出本文所提算法優(yōu)于其余兩種算法，隨著SNR的增加SAR最終都趨于平穩(wěn)。

圖5 3種算法分離性能對(duì)比

4.2 實(shí)測(cè)懸臂梁錘擊測(cè)試中固有頻率估計(jì)

采用規(guī)格為0.9×0.05×0.008 m3的均衡鋼制懸梁臂作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過安裝在懸梁上的3個(gè)位移傳感器來收集由錘擊激發(fā)的位移響應(yīng)信號(hào)，其中觀測(cè)信號(hào)的采樣頻率為1600 Hz，3個(gè)信道的截止頻率為800 Hz[24]。

圖6是3個(gè)傳感器采集到的信號(hào)，從時(shí)域圖中可以看出，觀測(cè)信號(hào)不具有稀疏性。圖7(a)為觀測(cè)信號(hào)在時(shí)頻域上的散點(diǎn)圖，可以明顯地看出散點(diǎn)聚類成閉合曲線，這種橢圓曲線說明源信號(hào)在混疊過程中存在時(shí)延。能量域散點(diǎn)圖如圖7(b)所示，在3維稀疏域中出現(xiàn)了4條聚類直線，為了估計(jì)信源數(shù)將3維散點(diǎn)圖映射到2維，利用勢(shì)函數(shù)峰值估計(jì)信源數(shù)。

圖6 觀測(cè)信號(hào)時(shí)域波形和頻譜

對(duì)稀疏域中的散點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，消除不可靠數(shù)據(jù)對(duì)生成勢(shì)函數(shù)的影響。不失一般性，將圖7(b)中的3維散點(diǎn)圖映射到以E1和E2組成的2維平面，計(jì)算勢(shì)函數(shù)并檢測(cè)峰值，如圖8(a)所示。被標(biāo)記出的5個(gè)峰值可以作為信源數(shù)的估計(jì)。圖8(b)是能量和在不同頻點(diǎn)上的峰值分布，利用估計(jì)信源數(shù)選取前5個(gè)能量和峰值對(duì)應(yīng)的頻點(diǎn)來構(gòu)造二進(jìn)制時(shí)頻掩碼。

圖7 實(shí)測(cè)信號(hào)散點(diǎn)圖

圖8 測(cè)試實(shí)驗(yàn)中峰值分布情況

通過式(16)計(jì)算出估計(jì)信源的短時(shí)頻譜，再利用ISTFT將估計(jì)信源由時(shí)頻域變換到時(shí)域，最終每個(gè)時(shí)域分離信號(hào)分別乘以填充線來消除邊界效應(yīng)的影響。本文算法估計(jì)出的源信號(hào)時(shí)域和頻譜如圖9所示，5個(gè)模態(tài)響應(yīng)信號(hào)頻率由低到高依次列出，說明該算法在處理實(shí)測(cè)信號(hào)時(shí)是有效性的。

圖9 估計(jì)源信號(hào)時(shí)域和頻域

由文獻(xiàn)[24]可知，5個(gè)模態(tài)的理論固有頻率分別為8.9 Hz,55.78 Hz,156.20 Hz,306.09 Hz,505.84 Hz。為了直觀地對(duì)比每個(gè)算法的準(zhǔn)確度，采用式V=|Vtheo?Vesti|/Vtheo來衡量計(jì)算值與理論值間的差距，其中Vtheo表示固有頻率的理論值，Vesti表示估計(jì)出的固有頻率值。表1為理論固有頻率和4種算法估計(jì)出的模態(tài)分量固有頻率，其中小括號(hào)中的數(shù)值越小就說明計(jì)算值與理論值越接近?？梢缘贸?，雖然文獻(xiàn)[24]處理的是5個(gè)傳感器采集到的信號(hào)，但計(jì)算出的固有頻率與理論值還是差距較大。實(shí)驗(yàn)表明本文所提方法優(yōu)于Subspace和UBSSSCA方法，在處理帶時(shí)延的模態(tài)信號(hào)分離過程中所計(jì)算出的固有頻率與理論值最接近。

表1 固有頻率估計(jì)結(jié)果(Hz)

5 結(jié)束語

由于信號(hào)采集過程中傳感器數(shù)量會(huì)受到嚴(yán)重限制，這就會(huì)造成信源數(shù)往往大于傳感器數(shù)，再加上傳輸信道的復(fù)雜性，信號(hào)時(shí)延也是不可避免的。所以研究帶延時(shí)信息的UBSS方法很有實(shí)際意義。本文研究了一種考慮衰減延時(shí)的UBSS算法，首先，分析問題尋找稀疏域并利用勢(shì)函數(shù)估計(jì)信源數(shù)；然后，根據(jù)信源數(shù)選取能量和峰值對(duì)應(yīng)的頻點(diǎn)構(gòu)造時(shí)頻掩碼估計(jì)源信號(hào)的短時(shí)頻譜；最后，利用填充線恢復(fù)時(shí)域估計(jì)源信號(hào)。實(shí)驗(yàn)表明該方法對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行了有效分離，在處理實(shí)測(cè)懸臂梁錘擊信號(hào)時(shí)，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)模態(tài)的分離，成功地識(shí)別出了各階模態(tài)固有頻率。