王寧，李銀伢，戚國慶，盛安冬

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

現(xiàn)代火控系統(tǒng)主要包含目標(biāo)搜索識(shí)別、跟蹤、命中和毀傷4個(gè)重要環(huán)節(jié)，其中目標(biāo)跟蹤是后續(xù)武器系統(tǒng)命中和毀傷目標(biāo)的必要前提[1]。因此，實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確、穩(wěn)定地獲取目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是火控系統(tǒng)信息處理領(lǐng)域中重要的研究課題之一。

隨著傳統(tǒng)空中目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性能、隱身性能的提高，以及制導(dǎo)炸彈、巡航導(dǎo)彈和無人機(jī)等新型飛行器在現(xiàn)代戰(zhàn)場(chǎng)上的大量應(yīng)用，使得單一傳感器的估計(jì)性能難以滿足新形勢(shì)、新技術(shù)條件下的目標(biāo)跟蹤作戰(zhàn)需求[2-3]。另一方面，網(wǎng)絡(luò)通訊和智能傳感器的飛速發(fā)展為多傳感器信息融合提供了技術(shù)支持，這使得網(wǎng)絡(luò)化的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代火控系統(tǒng)中，其中分布式跟蹤系統(tǒng)更是由于通信量小、可靠性高等優(yōu)勢(shì)受到了越來越多的關(guān)注和研究[4]。

在實(shí)際應(yīng)用中，分布式火控網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)作戰(zhàn)單元需要協(xié)調(diào)一致地對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤、打擊，以獲得最佳的綜合毀傷效果。因此，分布式火控網(wǎng)絡(luò)需要避免部分探測(cè)單元由于自身估計(jì)精度太低而造成目標(biāo)漏網(wǎng)現(xiàn)象，這就要求分布式跟蹤系統(tǒng)在提高各探測(cè)單元估計(jì)精度的同時(shí)保持估計(jì)狀態(tài)的一致性。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，由于目標(biāo)的隱身性、高機(jī)動(dòng)性，設(shè)備自身的偶發(fā)故障，以及真實(shí)戰(zhàn)場(chǎng)上電子對(duì)抗干擾等諸多因素，使得探測(cè)單元對(duì)目標(biāo)的探測(cè)概率小于1，即出現(xiàn)不完全量測(cè)現(xiàn)象[5]。不完全量測(cè)下跟蹤系統(tǒng)的估計(jì)性能往往隨著探測(cè)概率的下降而降低，特別是當(dāng)探測(cè)概率小于跟蹤系統(tǒng)臨界探測(cè)概率時(shí)，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義下的估計(jì)誤差方差會(huì)發(fā)散[6]。因此，將一致性估計(jì)算法應(yīng)用于分布式跟蹤系統(tǒng)，并且在不完全量測(cè)下提高其估計(jì)精度、保證算法收斂性，對(duì)分布式火控系統(tǒng)目標(biāo)跟蹤理論研究和工程應(yīng)用都有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在現(xiàn)有的一致性濾波算法中，基于信息一致性的分布式濾波算法由Battistelli等首先提出，該方法保證了估計(jì)結(jié)果即使在一步內(nèi)也可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定[7]。這一特征引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注：Li等[8]提出了平均一致性無跡卡爾曼濾波(UKF)算法；Wei等[9]提出了基于協(xié)方差交叉方法的線性一致性濾波算法?？紤]到一致性估計(jì)算法中可能存在的不完全量測(cè)情形，Li等[10]提出了一種不完全量測(cè)下的線性一致性估計(jì)算法；Xu等[11]提出了存在通信丟包情況的二級(jí)線性一致性卡爾曼濾波算法；陳燁等[12]提出了基于事件觸發(fā)機(jī)制的不完全量測(cè)線性一致性估計(jì)算法。然而，在不完全量測(cè)下，非線性系統(tǒng)的一致性估計(jì)問題及其對(duì)應(yīng)算法估計(jì)方差的收斂性問題還鮮有相關(guān)研究成果發(fā)表。

基于以上分析，考慮實(shí)際應(yīng)用中存在的不完全量測(cè)情形，本文提出了一種基于信息一致性的分布式容積卡爾曼濾波(ICDCKF)算法。該算法考慮了各探測(cè)單元量測(cè)信息的相關(guān)性，將協(xié)方差交叉方法應(yīng)用于一致性融合系數(shù)的計(jì)算，提高了互協(xié)方差未知條件下分布式融合算法的估計(jì)精度。進(jìn)一步地，本文給出了不完全量測(cè)下，ICDCKF算法估計(jì)誤差方差有界的條件，并通過數(shù)值算例對(duì)理論成果進(jìn)行分析驗(yàn)證。ICDCKF算法應(yīng)用于一類光電跟蹤網(wǎng)絡(luò)，對(duì)兩種典型運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行了跟蹤仿真和對(duì)比分析，驗(yàn)證了所提算法的有效性和可行性。

1 問題描述

在笛卡爾坐標(biāo)系下，考慮一類非線性運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)方程描述如下：

xk=f(xk-1)+wk-1,

(1)

(2)

(3)

式中：P{·}為某一事件的發(fā)生概率；λi∈[0,1]為探測(cè)單元i成功測(cè)量目標(biāo)的概率。

培養(yǎng)學(xué)生的求知欲望和解決實(shí)際問題的能力往往需從問題開始；學(xué)習(xí)的過程更是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程。啟發(fā)式教學(xué)可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性；讓學(xué)生獨(dú)立思考，鍛煉邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力、分析問題和解決問題的能力。

在本文考慮的跟蹤網(wǎng)絡(luò)中，每一個(gè)探測(cè)單元不僅具有對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的量測(cè)功能，還具備一定的通信和計(jì)算能力，可以完成對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)和信息融合任務(wù)，如圖1所示。圖1中，各探測(cè)單元均以相同的探測(cè)、通信以及估計(jì)頻率對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，且相鄰探測(cè)單元之間可以進(jìn)行局部估計(jì)的信息交互。該探測(cè)網(wǎng)絡(luò)中的探測(cè)設(shè)備以光電探測(cè)儀、近程火控跟蹤雷達(dá)為主，探測(cè)單元之間通過有線或無線通信方式實(shí)現(xiàn)探測(cè)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建及信息交互，可用于要地末端防御中的防空目標(biāo)探測(cè)跟蹤領(lǐng)域。

圖1 分布式跟蹤網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

證明根據(jù)所提算法的第3步可知：

基于圖1所示的分布式跟蹤網(wǎng)絡(luò)，已有諸多算法可以基本完成目標(biāo)跟蹤任務(wù)，但針對(duì)不完全量測(cè)條件下的非線性運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，仍有以下問題值得深入研究：如何設(shè)計(jì)一種新型分布式非線性融合算法以獲取針對(duì)非線性目標(biāo)的一致性高精度狀態(tài)估計(jì)結(jié)果？如何保證不完全量測(cè)情形下所提算法估計(jì)結(jié)果的收斂性？并從理論上給出算法估計(jì)誤差方差有界性的嚴(yán)格證明？后文將就這些問題進(jìn)行詳盡闡述。

2 基于信息一致性的分布式容積卡爾曼濾波算法

針對(duì)第1節(jié)所描述的非線性目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)(1)式和(2)式，為獲得分布式跟蹤網(wǎng)絡(luò)中針對(duì)非線性目標(biāo)的一致性狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，本節(jié)給出一種ICDCKF算法。該算法本質(zhì)上屬于一類分布式估計(jì)算法，因此各探測(cè)單元需要首先完成對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的局部估計(jì)，然后通過與相鄰單元之間的信息交互，最終完成一致性融合估計(jì)。

以探測(cè)單元i為例，考慮實(shí)際應(yīng)用中存在的不完全量測(cè)現(xiàn)象，參考文獻(xiàn)[13]中所提算法，首先給出一種改進(jìn)的容積卡爾曼濾波(MCKF)算法用于目標(biāo)狀態(tài)的局部估計(jì)，如算法1所示。

算法1MCKF算法。

1)時(shí)間更新

鋤禾火鍋主料有牛肉片、雞片、蝦片、魚片、豬排肉、豬腰片以及明蝦等，配料有粉絲、魚丸、菠菜、白菜、洋菜和色拉油等，吃法比較像中國的炒菜：食用時(shí)是先點(diǎn)燃平底鍋，等油燒熱時(shí)將菠菜和洋蔥等放入鍋中拌炒至八成熟，再放入白菜梗同炒，加白糖和醬油，待全部炒熟后再把自已喜愛的各式主料加放到鍋中煎熟，一邊食用一邊煎煮，吃到一半時(shí)，再加入一些鮮湯煮熟，加佐料后再在鮮湯內(nèi)涮以主料食用之。

(4)

依據(jù)其分解結(jié)果，可以計(jì)算容積點(diǎn)為

MRI平掃檢出率高于多排螺旋CT平掃，P＜0.05；兩種檢測(cè)方式增強(qiáng)掃描檢出率對(duì)比無明顯差異，P＞0.05。如下表所示。

(5)

則有(14)式成立：

由此，可以獲得目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)估計(jì)值及先驗(yàn)估計(jì)方差為

(6)

2)量測(cè)更新

對(duì)先驗(yàn)估計(jì)方差進(jìn)行Cholesky分解：

基于LabWindows/CVI的某型綜合控制單元測(cè)試設(shè)備開發(fā)………………………………郝云虎，李 強(qiáng)，張賢周(3)

(7)

可得相應(yīng)的容積點(diǎn)如下：

(8)

(9)

(10)

和

(11)

(12)

上式中Y為被解釋變量，X為解釋變量，i為樣本個(gè)數(shù)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)μ代表著那些對(duì)Y有影響但又未納入模型的諸多因素的綜合影響。為了使對(duì)模型的估計(jì)具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，對(duì)無法直接觀測(cè)的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的分布，需要進(jìn)行以下一些基本假定：

(13)

另外，工作坊雖然可以為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新的平臺(tái)，其不僅需要從教學(xué)方法上進(jìn)行探討，還要從硬件環(huán)境上予以保證[12]：學(xué)校要為工作坊提供充足的工作空間、設(shè)備、材料和制度支持等，如：建立完善的校內(nèi)專業(yè)實(shí)訓(xùn)室并堅(jiān)持對(duì)學(xué)生開放，選聘優(yōu)秀的實(shí)訓(xùn)教師，鼓勵(lì)學(xué)生申報(bào)科研項(xiàng)目、實(shí)踐訓(xùn)練項(xiàng)目和創(chuàng)新項(xiàng)目，做好管理工作等，保證工作坊的健康、可持續(xù)發(fā)展。

證明由于算法的估計(jì)結(jié)果呈高斯分布，記

案例1：學(xué)生到學(xué)校生物園觀察植物，回到教室后遭到了教師的質(zhì)問：為什么要到那兒去？教師的本意是讓學(xué)生明白，我們身邊到處都有可供觀察的植物，但是他的質(zhì)問已構(gòu)成了對(duì)學(xué)生自主行為的一種干預(yù)，這或許是教師權(quán)威主義的瞬間行為。

(14)

進(jìn)一步地，將不同單元j∈Ni代入(14)式并相乘：

在可可西里的一周里，溫衡去了傳說中的無人區(qū)，去了巴顏喀拉山頂看日出，走的那天她才打開手機(jī)，陶小西沒有再發(fā)來任何消息，她最后一點(diǎn)希冀也破滅了。

(15)

(13)式代入(15)式，可以得到

(16)

引理1得證。

根據(jù)引理1可知，利用(13)式可以求得無偏的融合估計(jì)結(jié)果，但在現(xiàn)有的一些基于信息一致性的融合算法中，通常采用最大度權(quán)重方法和Metropolis權(quán)重方法求取一致性融合系數(shù)[16-17]。這些方法只考慮了跟蹤網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并沒有考慮各探測(cè)單元的局部估計(jì)信息精度和相互之間估計(jì)信息的相關(guān)性。事實(shí)上，跟蹤網(wǎng)絡(luò)中各探測(cè)單元的局部估計(jì)通常是相關(guān)的[18]，因此在融合過程中需要充分考慮各探測(cè)單元局部估計(jì)信息的相關(guān)性。不過在實(shí)際應(yīng)用過程中，由于各探測(cè)單元估計(jì)值之間的互協(xié)方差通常難以求取或求取的計(jì)算量較大，通常無法獲取各探測(cè)單元局部估計(jì)誤差的互協(xié)方差。因此，本文引入?yún)f(xié)方差交叉方法，用以解決各探測(cè)單元之間互協(xié)方差未知的問題[19]。通常，協(xié)方差交叉算法表述如下：

(17)

(18)

該優(yōu)化問題是一個(gè)N維非線性優(yōu)化問題，可以由MATLAB軟件通用優(yōu)化函數(shù)“fmincon”求解。

針對(duì)本文研究的不完全量測(cè)條件下非線性系統(tǒng)的分布式跟蹤問題，借鑒協(xié)方差交叉方法在解決互協(xié)方差未知情況時(shí)狀態(tài)估計(jì)問題的精度優(yōu)勢(shì)，將該方法用于一致性算法的融合系數(shù)求取，進(jìn)而給出k時(shí)刻的ICDCKF算法，如算法2所示。

算法2ICDCKF算法。

需要說明的是，針對(duì)非線性目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)，常用的濾波方法有擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、UKF、容積卡爾曼濾波(CKF)、粒子濾波(PF)等。相關(guān)研究表明，CKF算法在高維非線性系統(tǒng)中的估計(jì)精度和穩(wěn)定性優(yōu)于EKF和UKF[14]，更適合用于實(shí)際的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)。另一方面，由于研究的非線性系統(tǒng)為高斯白噪聲，PF算法在處理非高斯噪聲方面的優(yōu)勢(shì)無法體現(xiàn)，且相對(duì)CKF算法，其運(yùn)算復(fù)雜度更高[15]，難以適應(yīng)實(shí)時(shí)性要求較高的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)。綜上所述，本文采用CKF算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行狀態(tài)濾波。

3)探測(cè)單元i接收探測(cè)單元j(j∈Nii)的局部估計(jì)信息，并按(19)式完成一致性融合計(jì)算：

(19)

式中：I為適維單位矩陣。

(20)

3 不完全量測(cè)下ICDCKF算法的穩(wěn)定性分析

估計(jì)方差是否有界是判定一個(gè)算法能否有效應(yīng)用的重要標(biāo)準(zhǔn)。尤其對(duì)于非線性系統(tǒng)和不完全量測(cè)情形，估計(jì)方差是否有界直接決定了所提算法能否有效、可行地對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。針對(duì)這一問題，本節(jié)對(duì)不完全量測(cè)下所提ICDCKF算法的穩(wěn)定性進(jìn)行深入分析，并給出確保估計(jì)方差有界的條件。

(21)

利用偽線性化方法對(duì)(21)式進(jìn)行線性化處理[20]，可得

近年來，隨著標(biāo)準(zhǔn)化事業(yè)的蓬勃發(fā)展，標(biāo)準(zhǔn)學(xué)研究與實(shí)踐不斷深入，新的理論與方法不斷涌現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)科的領(lǐng)域不斷拓展、內(nèi)涵日益豐富。當(dāng)前，國內(nèi)外對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化基本理論的研究發(fā)展迅速，除了傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)以外，法學(xué)、社會(huì)學(xué)、公共治理理論、產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新理論、網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域全面介入，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)化的內(nèi)涵和外延開展跨學(xué)科研究，形成了標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)科發(fā)展的新特點(diǎn)。為此，我們需要就標(biāo)準(zhǔn)化的基本概念進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)與現(xiàn)代詮釋。

(22)

考慮由N個(gè)探測(cè)單元組成的跟蹤網(wǎng)絡(luò)對(duì)上述目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行量測(cè)，當(dāng)存在不完全量測(cè)時(shí)，探測(cè)單元i的量測(cè)方程通常描述為

(23)

ΔPxz,k|k-1+δPxz,k|k-1,

(24)

(25)

在給出算法收斂性定理之前，首先給出必要的引理和假設(shè)。

(A+B)-1>A-1-A-1BA-1.

(26)

假設(shè)2初始估計(jì)誤差方差有界。

我們對(duì)他們婚后的床上生涯就這樣略知一二，我們對(duì)他們另外的生活知道得就更多了，總之我們都認(rèn)為林孟艷福不淺，萍萍的漂亮是有目共睹的，她的溫柔與勤快我們也都看在眼里，我們從來沒有看到過她和林孟為了什么而爭(zhēng)執(zhí)起來。我們坐在他們家中時(shí)，她總是及時(shí)地為我們的茶杯斟上水，把火柴送到某一雙準(zhǔn)備點(diǎn)燃香煙的手中。而林孟，結(jié)婚以后的皮鞋總是锃亮锃亮的，衣著也越來越得體了，這當(dāng)然是因?yàn)橛辛似计歼@樣的一個(gè)妻子。在此之前，他是我們這些朋友中衣服穿得最糟糕的人。

基于上述分析及假設(shè)，可給出定理1如下。

2、表面平整，截面尺寸準(zhǔn)確，梁的撓度變形及柱的垂直度符合相關(guān)規(guī)定。主要受力和連接部位無露筋、蜂窩、空洞、夾渣、疏松、明顯裂縫、孔洞、腐蝕、蟲蛀等現(xiàn)象。

為分析各年級(jí)加法減法速度的差異性，采用SNK方法，以P<0.05顯著性差異為依據(jù)，根據(jù)組間及組內(nèi)變異的具體情況將其分為5個(gè)等級(jí)，等級(jí)越高，代表口算時(shí)間越短，即速度越快，具體如表5所示．

(27)

為方便描述，跟蹤網(wǎng)絡(luò)的通信拓?fù)溆脽o向圖g=(N,ε)表示，其中N={1,2,…,N}為節(jié)點(diǎn)的集合，ε為邊的集合。如果一條邊(i,j)∈ε，則稱探測(cè)單元j為探測(cè)單元i的鄰居節(jié)點(diǎn)，且將探測(cè)單元i的鄰居節(jié)點(diǎn)集合記為Ni.特別地，探測(cè)單元i屬于自身的鄰居，即i∈Ni.當(dāng)所指集合Ni不包含探測(cè)單元i時(shí)，記作Nii.

增減翻譯策略是常見的翻譯技巧之一。然而，無論是增詞還是減詞，翻譯范疇里強(qiáng)調(diào)的是，在不更改原文語義的基礎(chǔ)上，為了更加符合目的語文本的語言系統(tǒng)規(guī)范，才可以考慮增詞或減詞。若減詞使原文語義在譯文中遭受缺損，不僅違背了忠實(shí)傳達(dá)原文語義的翻譯原則，對(duì)文學(xué)文本而言，還會(huì)降低文本欣賞的完整度，限制譯文讀者的聯(lián)想空間。如：

(28)

(29)

對(duì)(29)式兩邊求逆，且該逆矩陣的跡為

(30)

(31)

(32)

(33)

又由假設(shè)1，可以將(33)式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(34)

(35)

令

則不等式(35)式可以轉(zhuǎn)換為

(36)

綜上所述，定理1得證。

注1如果跟蹤網(wǎng)絡(luò)中存在部分節(jié)點(diǎn)沒有探測(cè)能力，可假設(shè)該類節(jié)點(diǎn)的探測(cè)概率為λi=0，則在滿足上述估計(jì)方差有界的條件時(shí)，本文所提ICDCKF算法仍可保證該類節(jié)點(diǎn)估計(jì)信息的有界性。因此，本文所提算法可推廣應(yīng)用于包含部分無探測(cè)能力節(jié)點(diǎn)的跟蹤網(wǎng)絡(luò)中。

4 數(shù)值算例

4.1 算例1

為說明不完全量測(cè)下ICDCKF的收斂性和定理1所給的估計(jì)方差有界條件的正確性，考慮一個(gè)由3個(gè)探測(cè)單元組成環(huán)形的跟蹤網(wǎng)絡(luò)對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。同時(shí)，為了與文獻(xiàn)[13]所提單個(gè)探測(cè)單元濾波(CKFI)算法的估計(jì)方差進(jìn)行對(duì)比，本文考慮與文獻(xiàn)[13]中算例1相同的非線性系統(tǒng)：

(37)

仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可知：節(jié)點(diǎn)的探測(cè)概率越高，ICDCKF算法的估計(jì)精度越高；當(dāng)探測(cè)概率為1時(shí)，可以取得最佳的估計(jì)精度；當(dāng)λi>0.15時(shí)，CKFI算法的估計(jì)方差可以收斂；而對(duì)于基于分布式跟蹤網(wǎng)絡(luò)的ICDCKF算法而言，當(dāng)探測(cè)概率λi>0.05時(shí)，估計(jì)方差即可實(shí)現(xiàn)收斂。

圖2 不同探測(cè)概率下ICDCKF和CKFI估計(jì)誤差方差

綜上所述，兩種算法的估計(jì)精度和探測(cè)概率均呈正相關(guān)關(guān)系，且在滿足估計(jì)方差有界的情況下，本文所提ICDCKF算法相對(duì)于CKFI算法有更低的探測(cè)概率需求。另外，在數(shù)值仿真中，ICDCKF算法估計(jì)方差有界所需的條件驗(yàn)證了本文定理1所提理論的正確性。

4.2 算例2

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的有效性和在實(shí)際應(yīng)用中的可行性，將本文所提ICDCKF算法應(yīng)用于一類光電跟蹤網(wǎng)絡(luò)，通過對(duì)不同運(yùn)動(dòng)模型下的目標(biāo)進(jìn)行跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比不同探測(cè)概率下本文所提ICDCKF算法的估計(jì)精度，并將其與其他現(xiàn)有常見估計(jì)算法進(jìn)行比較。

不失一般性，記目標(biāo)狀態(tài)為

式中：I3為三維單位向量；T為采樣周期；q為噪聲強(qiáng)度，q=1; ?為Kronecker積。

考慮由9個(gè)探測(cè)單元組成的分布式跟蹤網(wǎng)絡(luò)對(duì)三維目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。假設(shè)所有探測(cè)單元均分布于高度為0 km的水平面上，且以探測(cè)單元5的坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該分布式跟蹤網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及探測(cè)單元坐標(biāo)分布如圖3所示。

圖3 探測(cè)單元坐標(biāo)水平投影及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

在該跟蹤網(wǎng)絡(luò)中，記單個(gè)探測(cè)單元i的量測(cè)方程為

(38)

為了評(píng)估算法估計(jì)精度，分別定義位置均方根誤差(RMSE)和速度RMSE如下：

進(jìn)一步地，參考累積RMSE(ARMSE)的定義方法[23]，本文利用位置平均ARMSE(AARMSE)和速度AARMSE來評(píng)價(jià)濾波算法在跟蹤網(wǎng)絡(luò)中的整體估計(jì)性能，將其分別定義為

式中：K為目標(biāo)航路的采樣周期次數(shù)。

為比較不同算法在跟蹤系統(tǒng)中狀態(tài)估計(jì)的一致性，定義系統(tǒng)非一致估計(jì)值[24]為

在以下兩種典型的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型(勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型和再入段彈道目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型)下進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)。

仿真場(chǎng)景1勻速圓周運(yùn)動(dòng)(CT)模型，運(yùn)動(dòng)半徑為2 000 m，角速度ω=0.05 rad/s，航高為1 000 m.目標(biāo)初始狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為

x0=

[0 m -100 m/s 2 000 m 0 m/s 1 000 m 0 m/s]T,

f(xk)=

式中：T=0.5 s.該模型下的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

圖4 仿真場(chǎng)景1下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

首先考慮探測(cè)概率為0.7的情況，將ICDCKF算法應(yīng)用于如圖3所示的跟蹤網(wǎng)絡(luò)中，并與CKFI算法、基于Metropolis權(quán)重的信息一致容積卡爾曼(KCF_Me)算法[17]和基于協(xié)方差交叉方法的容積卡爾曼融合(CKF_CI)算法[19]對(duì)比，可得如圖5和圖6所示部分探測(cè)單元融合結(jié)果的位置RMSE曲線和速度RMSE曲線。

圖5 仿真場(chǎng)景1下探測(cè)概率為0.7時(shí)估計(jì)算法的位置RMSE對(duì)比

圖6 仿真場(chǎng)景1下探測(cè)概率為0.7時(shí)估計(jì)算法的速度RMSE對(duì)比

由圖5和圖6可知，與CKFI算法和CKF_CI算法相比，本文所提ICDCKF算法和KCF_Me算法均有較高的估計(jì)精度和較好的一致性性能。在估計(jì)誤差的收斂速度方面，ICDCKF算法可在t=6 s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，而KCF_Me算法在t=10 s時(shí)才能穩(wěn)定。因此，本文所提ICDCKF算法的收斂性更好，也使得該算法在實(shí)際應(yīng)用中較其他算法更具實(shí)用性。

另一方面，該場(chǎng)景下不同算法的系統(tǒng)非一致估計(jì)值如圖7所示。由圖7可知，在估計(jì)結(jié)果穩(wěn)定后，本文所提ICDCKF算法和KCF_Me算法在系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)一致性方面性能相似，但本文算法能夠更快地達(dá)到狀態(tài)估計(jì)的一致。

圖7 仿真場(chǎng)景1下探測(cè)概率為0.7時(shí)估計(jì)算法的非一致估計(jì)值對(duì)比

針對(duì)估計(jì)算法在跟蹤網(wǎng)絡(luò)中的整體估計(jì)精度，這4種估計(jì)算法在不同探測(cè)概率條件下的AARMSE數(shù)據(jù)如表1所示。由表1可以看出：當(dāng)探測(cè)概率為0.7時(shí)，ICDCKF算法的位置精度較CKFI算法、CKF_CI算法和KCF_Me算法分別提高了58.8%、30.8%和28.4%，速度精度分別提高了26.4%、17.2%和17.7%；當(dāng)探測(cè)概率降低到0.3時(shí)，本文所提算法的位置精度較其他3種算法更是提高了63.0%、34.9%和45.0%，速度精度分別提高了27.9%、18.6%和23.1%.因此，本文所提算法較其他算法在估計(jì)精度上均有大幅提高，且在低探測(cè)概率條件下，本文所提算法的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

表1 仿真場(chǎng)景1下不同探測(cè)概率的估計(jì)算法AARMSE對(duì)比

仿真場(chǎng)景2再入段彈道目標(biāo)運(yùn)動(dòng)(RBT)模型[25]，目標(biāo)初始航速為200 m/s，初始航高為5 000 m，目標(biāo)彈道系數(shù)β=4 000 kg/(m·s2)。目標(biāo)初始狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為

x0=[2 300 m -200 m/s 2 000 m

0 m/s 5 000 m 0 m/s]T,

G[0 0 -g]T,

圖8 仿真場(chǎng)景2下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

類似地，對(duì)彈道目標(biāo)再入段飛行軌跡進(jìn)行跟蹤，可以分別得到探測(cè)概率為0.7時(shí)不同估計(jì)算法的位置RMSE和速度RMSE變化趨勢(shì)分別如圖9和圖10所示，系統(tǒng)非一致估計(jì)值對(duì)比如圖11所示，以及不同探測(cè)概率時(shí)不同估計(jì)算法的AARMSE如表2所示。

表2 仿真場(chǎng)景2下不同探測(cè)概率的估計(jì)算法AARMSE對(duì)比

圖9 仿真場(chǎng)景2下探測(cè)概率為0.7時(shí)估計(jì)算法的位置RMSE對(duì)比

圖11 仿真場(chǎng)景2下探測(cè)概率為0.7時(shí)估計(jì)算法的非一致估計(jì)值對(duì)比

與CT模型相似，針對(duì)RBT模型的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，本文所提ICDCKF算法分別在t=10 s和t=6 s時(shí)分別實(shí)現(xiàn)位置RMSE和速度RMSE的收斂，均早于其他算法。就系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)一致性而言，本文算法達(dá)到系統(tǒng)估計(jì)狀態(tài)一致的速度也略快于KCF_Me算法。在整體估計(jì)精度方面，當(dāng)探測(cè)概率為0.7時(shí)，本文算法的位置精度較CKFI算法、CKF_CI算法和KCF_Me算法分別提高了60.3%、35.4%和32.2%，而速度精度也分別提高了17.7%、12.6%和13.3%.當(dāng)探測(cè)概率由0.7下降到0.3時(shí)，本文算法的整體估計(jì)精度較其他算法也有大幅提高，且該算法的位置精度和速度精度較λi=0.7時(shí)分別損失46.7%和10.1%，與其他3種算法相比，精度損失也為最小。

綜上所述，根據(jù)兩種典型運(yùn)動(dòng)模型下的目標(biāo)跟蹤仿真，結(jié)果表明：在不完全量測(cè)條件下，無論目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線性時(shí)變模型(CT)還是非線性模型(RBT)，本文所提ICDCKF算法均可以得到一致性的估計(jì)結(jié)果，且與其他算法相比，本文算法的估計(jì)精度更高、收斂速度更快，在實(shí)際應(yīng)用中具備可行性，是一種有效的非線性分布式一致性狀態(tài)估計(jì)算法。

5 結(jié)論

在考慮實(shí)際應(yīng)用中存在的不完全量測(cè)情形下，本文圍繞分布式火控系統(tǒng)中的非線性目標(biāo)跟蹤問題展開了研究。得出如下主要結(jié)論：

1)提出了一種不完全量測(cè)下的ICDCKF算法。

2)從理論上證明了在不完全量測(cè)條件下，若系統(tǒng)探測(cè)概率大于一給定閾值，則所提ICDCKF算法的估計(jì)誤差方差有界。

3)在一類光電跟蹤網(wǎng)絡(luò)中，通過兩種典型運(yùn)動(dòng)模型下的目標(biāo)跟蹤實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提算法的有效性和在實(shí)際應(yīng)用中的可行性。

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