邱廷建
小朋友,我們知道解答求和問題時,只要直接把各部分數(shù)加起來,就可以得到答案。但是,計算部分有重復(fù)的時候,問題就不那么簡單了,我們把這類問題稱為重疊問題。在解答重疊問題時,我們可以借助直觀圖形,化抽象為直觀,運用“包含與排除”原理,理清數(shù)量關(guān)系:當兩個部分有重復(fù)包含時,應(yīng)去掉重復(fù)部分,不重復(fù)計數(shù),也就是要從它們的和中減去重復(fù)的數(shù)。
現(xiàn)在,我們一起來學(xué)習(xí)解決人教版教材三年級上冊第九單元的有關(guān)重疊問題。
例1 新亭小學(xué)三(1)班共有學(xué)生38人,每人至少參加踢毽子和跳繩兩項比賽中的其中一項。已知參加踢毽子的有25人,參加跳繩的有19人。求兩項比賽都參加的學(xué)生有多少人?
[分析與解]根據(jù)題意,我們可以畫出如圖1所示的直觀圖。
從圖1中我們可以看出,求兩項比賽都參加的學(xué)生有多少人,就是求中間的重疊部分。把參加踢毽子比賽的25人加上參加跳繩比賽的19人,和是25+19=44(人),44人比全班總?cè)藬?shù)38人多,是因為重疊部分多算了一次,所以重疊部分,也就是兩個項目比賽都參加的學(xué)生人數(shù)是44-38=6(人)。綜合算式是25+19-38=6(人)。
從圖1中我們還可以看出,用全班總?cè)藬?shù)38人減去參加踢毽子比賽的人數(shù)是38-25=13(人),這13人是只參加跳繩比賽而沒有參加踢毽子比賽的學(xué)生人數(shù)。而參加跳繩比賽的有19人,說明這19人中有一部分既參加了跳繩比賽也參加了踢毽子比賽,從參加跳繩比賽的人數(shù)中減去只參加跳繩比賽的人數(shù),剩下的就是兩個項目比賽都參加的人數(shù),算式是19-13=6(人)。綜合算式是19-(38-25)=6(人)。同樣的道理,我們還可以這樣列綜合算式解答25-(38-19)=6(人)。
例2 紅星小學(xué)三(2)班做完語文作業(yè)的有32人,做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有27人,兩種作業(yè)都完成的有14人,每人至少完成一種作業(yè)。三(2)班共有學(xué)生多少人?
[分析與解]根據(jù)題意,我們可以畫出如圖2所示的直觀圖。
從圖2中我們可以看出,中間的重疊部分表示兩種作業(yè)都完成的有14人。這14人既包含在做完語文作業(yè)的32人中,又包含在做完數(shù)學(xué)作業(yè)的27人中,而做完兩種作業(yè)的一共有32+27=59(人),這59人中就重復(fù)計算了14人。因此要從做完兩種作業(yè)的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)計算的14人,就是三(2)班的學(xué)生人數(shù),算式是59-14=45(人)。綜合算式是32+27-14=45(人)。
例3 育才小學(xué)三(3)班舉辦“元旦”聯(lián)歡會,參加唱歌表演的有26人,參加舞蹈表演的有15人。兩項都參加的有5人,兩項都沒有參加的有7人。三(3)班共有學(xué)生多少人?
[分析與解]根據(jù)題意,我們可以畫出如圖3所示的直觀圖。
從圖3中我們可以看出,中間的重疊部分表示兩項表演都參加的有5人。用參加舞蹈表演的人數(shù)減去重疊部分的人數(shù)就是只參加舞蹈表演的人數(shù),算式是15-5=10(人)。用參加唱歌表演的人數(shù)加上只參加舞蹈表演的人數(shù),再加上兩項都沒有參加的人數(shù),就是全班的總?cè)藬?shù),算式是26+10+7=43(人)。綜合算式是26+(15-5)+7=43(人)。
結(jié)合圖3,我們也可以這樣思考,用參加唱歌表演的人數(shù)減去重疊部分的人數(shù)就是只參加唱歌表演的人數(shù),算式是26-5=21(人)。用只參加唱歌表演的人數(shù)加上參加舞蹈表演的人數(shù),再加上兩項都沒有參加的人數(shù),就是全班的總?cè)藬?shù),算式是21+15+7=43(人)。綜合算式是26-5+15+7=43(人)。
例4 高新小學(xué)三(4)班有學(xué)生40人,做對第一道思考題的有24人,兩道思考題都做對的有9人,兩道思考題都做錯的有8人。做對第二道思考題的有多少人?
[分析與解]根據(jù)題意,我們可以畫出如圖4所示的直觀圖。
從圖4中我們可以看出,中間的重疊部分表示兩道思考題都做對的有9人。全班有40人,兩道思考題都做錯的有8人,可以求出做對第一道思考題和第二道思考題的一共有40-8=32(人)。做對第一道思考題的有24人,兩道思考題都做對的有9人,可以求出只做對第一道思考題的有24-9=15(人)。用做對第一道思考題和第二道思考題的總?cè)藬?shù)減去只做對第一道思考題的人數(shù),就是做對第二道思考題的人數(shù),算式是32-15=17(人)。綜合算式是40-8-(24-9)=17(人)。
結(jié)合圖4,我們還可以這樣思考,全班有40人,兩道思考題都做錯的有8人,可以求出做對第一道思考題和第二道思考題的一共有40-8=32(人)。根據(jù)做對第一道思考題的有24人,先求出只做對第二道思考題的人數(shù),算式是32-24=8(人)。根據(jù)兩道思考題都做對的有9人,再求出做對第二道思考題的人數(shù)是8+9=17(人)。綜合算式是40-8-24+9=17(人)。
(本文作者為福建省上杭縣教師進修學(xué)校特級教師)
小靈通上學(xué)
小靈通的新家離學(xué)校有點遠,他上學(xué)時坐車,回家時步行,在路上一共花了90分鐘;往返都坐車,只需要40分鐘;如果小靈通往返都步行,需要多少分鐘?
(參考答案見第40頁)