周建東

摘要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要“瞻前顧后”，讓學(xué)生經(jīng)歷更充分的概念學(xué)習(xí)過(guò)程。具體應(yīng)該包括以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：舊知鋪墊，引入概念;本質(zhì)把握，形成概念;變式辨析，理解概念;應(yīng)用練習(xí)，鞏固概念;體系構(gòu)建，升華概念。以《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》一課為例來(lái)說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;學(xué)習(xí)過(guò)程;《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》

當(dāng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，依然存在“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意，反復(fù)練習(xí)”的“重結(jié)果、輕過(guò)程”“重講解、輕探究”現(xiàn)象。究其原因，除了受到功利思想和應(yīng)試教育的影響之外，一些教師可能不太清楚數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷怎樣的（哪些）學(xué)習(xí)過(guò)程——也就是所謂的“非不愿也，實(shí)不能也”。筆者認(rèn)為，一般地，數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要“瞻前顧后”，從舊知入手，抓住內(nèi)涵，拓展外延，建構(gòu)體系，讓學(xué)生經(jīng)歷更充分的概念學(xué)習(xí)過(guò)程。下面，以《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》一課為例來(lái)說(shuō)明。

一、舊知鋪墊，引入概念

數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系、不斷生長(zhǎng)的。很多新學(xué)的概念與學(xué)生已有的知識(shí)密切相關(guān)。因此，教師可以以已有知識(shí)為鋪墊，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，自然引發(fā)學(xué)生對(duì)新學(xué)概念的探究。這樣，一方面可以激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生初步感知新學(xué)概念的價(jià)值;另一方面可以激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生更易發(fā)現(xiàn)新學(xué)概念的本質(zhì)。

【教學(xué)片段1】

師（出示“12”）這是我們上學(xué)期學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)，誰(shuí)來(lái)舉例說(shuō)一說(shuō)12表示的意思。

生把一個(gè)物體平均分成2份，每份就是它的12。

師如果把一盤(pán)桃平均分成2份呢？把一盒巧克力平均分成2份呢？

生每份都是它的12。

師為什么平均分的物體不同，卻都能用12表示呢？誰(shuí)能指著12說(shuō)一說(shuō)，不管把什么平均分，這里的2和1分別表示什么？

生2是分母，表示平均分的份數(shù);1是分子，表示所取的份數(shù)。

師如果是13呢？14呢？

（學(xué)生回答。）

師看來(lái)分?jǐn)?shù)和份數(shù)有關(guān)。只要把一個(gè)物體平均分成幾份，每份就是這個(gè)物體的幾分之一。（課件出示一盤(pán)6個(gè)桃）現(xiàn)在把這一盤(pán)桃平均分給2個(gè)人，每人分得多少呢？你會(huì)用一個(gè)數(shù)來(lái)表示嗎？

本節(jié)課，學(xué)生主要學(xué)習(xí)“把一些物體看成一個(gè)整體，平均分成幾份，其中的一份用幾分之一表示”，這一內(nèi)容是分?jǐn)?shù)概念的拓展。學(xué)生在《認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一》一課中，已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的概念。因此，教師舉例引導(dǎo)學(xué)生回憶已有的分?jǐn)?shù)概念，強(qiáng)化“只要把一個(gè)物體平均分成幾份，每份就是這個(gè)物體的幾分之一”的概念本質(zhì)，然后自然變化問(wèn)題情境，過(guò)渡到一些物體的平均分，讓學(xué)生用一個(gè)數(shù)來(lái)表示每份是多少，引發(fā)學(xué)生對(duì)本課新學(xué)概念的探究。

二、本質(zhì)把握，形成概念

概念是事物本質(zhì)特征的反映。在基于問(wèn)題情境的探究中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)把握事物的本質(zhì)特征，從而形成概念。一般地，本質(zhì)特征可以從具體事物中歸納提煉，也可以從有關(guān)概念中類(lèi)比遷移。

【教學(xué)片段2】

師請(qǐng)同學(xué)們注意，現(xiàn)在還是把一個(gè)物體平均分嗎？

生不是。這里是把一盤(pán)桃中的6個(gè)桃平均分。

師也就是把一些相同的物體平均分，對(duì)吧？那么，結(jié)果是多少呢？

生6÷2=3，把6個(gè)桃平均分成2份（分給2個(gè)人），每份有（每人分得）3個(gè)桃。

師沒(méi)錯(cuò)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的除法問(wèn)題。這樣，我們就用整數(shù)表示了每份有（每人分得）的桃。那么，你還會(huì)用分?jǐn)?shù)來(lái)表示嗎？

生已經(jīng)分完了，已經(jīng)用整數(shù)表示了，怎么再用分?jǐn)?shù)表示呢？

師想一想：我們是在什么情況下用分?jǐn)?shù)表示的？

（學(xué)生思考。）

師把一個(gè)物體平均分成幾份，夠分嗎？

生不夠分。

師因?yàn)椴粔蚍郑簿褪浅槐M，我們不能用整數(shù)表示了，所以引入了新的數(shù)，即分?jǐn)?shù)。這里把6個(gè)桃平均分成2份是夠分的，怎么辦？

（學(xué)生思考。）

生這里的6個(gè)桃也是一盤(pán)桃。把一盤(pán)桃平均分成2份不夠分，所以可以用分?jǐn)?shù)表示：每份是這一盤(pán)桃的12。

師很好！也就是說(shuō)，如果把6個(gè)桃看成一盤(pán)桃，根據(jù)分?jǐn)?shù)的概念，平均分后的每份也可以用分?jǐn)?shù)表示。這就啟發(fā)我們拓展分?jǐn)?shù)的概念：把一些相同的物體看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是這些物體（這個(gè)整體）的幾分之一。

這里，教師首先引導(dǎo)學(xué)生注意問(wèn)題情境的變化：由一個(gè)物體變成一些物體。在學(xué)生順利運(yùn)用已有除法知識(shí)得到整數(shù)結(jié)果后，教師提出用分?jǐn)?shù)來(lái)表示的要求，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦已有分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征，遷移運(yùn)用到新的問(wèn)題情境中，形成拓展的分?jǐn)?shù)概念。

三、變式辨析，理解概念

數(shù)學(xué)概念通常十分抽象，學(xué)生對(duì)其的理解也就很難一蹴而就。因此，在學(xué)生把握（內(nèi)涵）本質(zhì)，形成概念后，教師需要提供豐富的（外延）變式讓學(xué)生辨析，促使學(xué)生獲得對(duì)概念的多角度、深層次理解。

【教學(xué)片段3】

師（課件出示一盤(pán)4個(gè)桃）現(xiàn)在把這一盤(pán)桃平均分給2個(gè)人，每人分得它的幾分之幾呢？

生12。

師（課件出示一盤(pán)8個(gè)桃）現(xiàn)在把這一盤(pán)桃平均分給2個(gè)人，每人分得它的幾分之幾呢？

生12。

師這里三盤(pán)桃的個(gè)數(shù)不同，為什么每人分得的桃都是一盤(pán)桃的12呢？

生因?yàn)槎际前岩槐P(pán)桃平均分成2份，每人分得一份。

師如果每份桃是一盤(pán)桃的12，那么盤(pán)中的桃還可以是多少個(gè)？

生可以是10個(gè)、12個(gè)……

師可以是5個(gè)、7個(gè)……嗎？

生都可以。不管盤(pán)中有多少個(gè)桃，都可把這些桃看成一個(gè)整體，只要平均分成2份，每份就是它的12。

師如果盤(pán)中換成蘋(píng)果、月餅等其他物體，平均分成2份，每份還是它的12嗎？

生都是12。無(wú)論是什么物體，都可以把這些物體看成一個(gè)整體，只要平均分成2份，每份就是這些物體（這個(gè)整體）的12。

師（課件將盤(pán)中的桃用陰影遮住，如圖1）就像這樣，盤(pán)中可以是任何物體。

師現(xiàn)在盤(pán)中還是6個(gè)桃，但要平均分給3人，那么每人分得它的幾分之幾？

生13。

師如果平均分給6個(gè)人呢？

生16。

師同樣是6個(gè)桃，為什么每人分得的桃用分?jǐn)?shù)表示不一樣呢？

生前一題是把6個(gè)桃看成一個(gè)整體，平均分成3份，每份就是它的13。后一題是把6個(gè)桃看成一個(gè)整體，平均分成6份，每份就是它的16。它們平均分的份數(shù)不同，所以每份用分?jǐn)?shù)表示也就不一樣。

師每份是一些物體組成的一個(gè)整體的幾分之幾，只與平均分的份數(shù)有關(guān)，而與整體及每份包含的物體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。換句話(huà)說(shuō)，把一些物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。這就是我們今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)概念。

這里，教師設(shè)計(jì)“物體的個(gè)數(shù)不同，平均分的份數(shù)相同”“物體的個(gè)數(shù)相同，平均分的份數(shù)不同”兩類(lèi)多個(gè)變式，引導(dǎo)學(xué)生在比較辨析中充分理解拓展的分?jǐn)?shù)概念，把握其“只與平均分的份數(shù)有關(guān)，而與整體及每份包含的物體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)”的本質(zhì)特征。

四、應(yīng)用練習(xí)，鞏固概念

應(yīng)用練習(xí)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的常規(guī)環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生鞏固概念。在學(xué)生理解概念后，教師要設(shè)計(jì)富有趣味、不斷變化的練習(xí)情境，讓學(xué)生應(yīng)用概念，積累經(jīng)驗(yàn)，感悟思想。

《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》一課，可以設(shè)計(jì)如下四組練習(xí)：

1.填一填：圖2中，每粒巧克力是這盒巧克力的（）（）;圖3中，每個(gè)月餅是這盒月餅的（）（）;圖4中，每罐茶是這盒茶的（）（）;圖5中，每片花瓣是這朵窗花的（）（）。

追問(wèn)1：上面這些幾分之一是怎么得來(lái)的？

追問(wèn)2：“整體”還可以是什么？

2.分一分、圈一圈：在圖2中圈出這盒巧克力的12;在圖3中圈出這盒月餅的13;在圖4中圈出這盒茶的14。

追問(wèn)1：這些分?jǐn)?shù)中的“1”都表示什么？它跟每份包含的具體數(shù)量有關(guān)嗎？

追問(wèn)2：你還想到哪些分?jǐn)?shù)？你能再分一分、圈一圈嗎？

3.說(shuō)一說(shuō)：你能結(jié)合自己的觀察或經(jīng)驗(yàn)，舉例說(shuō)一說(shuō)幾分之一的意思嗎？

4.畫(huà)一畫(huà)：你能畫(huà)圖來(lái)表示一個(gè)你喜歡的分?jǐn)?shù)嗎？

這四組練習(xí)貼近生活，層次各異：第1組題讓學(xué)生根據(jù)平均分寫(xiě)分?jǐn)?shù);第2組題讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)做平均分;第3題開(kāi)放設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生用具體的生活事物表征分?jǐn)?shù);第4題繼續(xù)開(kāi)放設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生用半抽象的圖形符號(hào)表征分?jǐn)?shù)。

五、體系構(gòu)建，升華概念

概念教學(xué)的最后，應(yīng)該提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的整體性。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在回顧反思本課所學(xué)概念來(lái)龍去脈的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步聯(lián)系之前學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，孕伏之后要學(xué)的有關(guān)內(nèi)容，從而幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，使得概念學(xué)習(xí)獲得升華。

【教學(xué)片段4】

師今天的分?jǐn)?shù)是怎樣得來(lái)（定義）的？

生把一些相同的物體看成一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是這些物體（這個(gè)整體）的幾分之一。

師所得的分?jǐn)?shù)與什么有關(guān)？與什么無(wú)關(guān)？

生這個(gè)分?jǐn)?shù)與平均分及所取的份數(shù)有關(guān)，與整體及每份包含的物體個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。

師今天學(xué)習(xí)的幾分之一與上學(xué)期學(xué)過(guò)的幾分之一有什么不同？

生上學(xué)期學(xué)過(guò)的幾分之一是，把一個(gè)物體或圖形平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

師是的，它們的不同之處就是一個(gè)物體或圖形和一些物體組成的整體。（出示圖6左半部分）那么，它們又有什么相同的地方呢？

生平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

師是的，也即分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)不變。（出示圖6右半部分）這就是我們學(xué)習(xí)的幾分之一。（稍停）那么，一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)整體……又可以看作什么呢？這便是我們以后的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中要學(xué)的內(nèi)容。

這里，教師引導(dǎo)學(xué)生在回顧反思本課所學(xué)分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)上，聯(lián)系之前所學(xué)的分?jǐn)?shù)概念，比較它們的異同;又抓住不同之處，孕伏后續(xù)要學(xué)的分?jǐn)?shù)的意義，從而建立分?jǐn)?shù)概念的“小型”知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念認(rèn)識(shí)的升華。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王林，等.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[2] 林武.小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)：行與思[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.

[3] 王凌.從整數(shù)視角到分?jǐn)?shù)視角——“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”的學(xué)生錯(cuò)誤與教學(xué)對(duì)策[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2021（1）.