賈韶琦，宋志江，李言欽，關雪豐，劉治港

(1．鄭州大學 機械與動力工程學院，鄭州 450001；2.東方電氣集團科學技術研究院有限公司，成都 611731)

鍋爐和壓力容器等往往具有高溫、湍流、多相等復雜工作條件，難以對運行過程中的介質流場和溫度場等參數(shù)進行有效監(jiān)控，因此尋求高效、準確、實時的測量方法尤為重要。聲波法測量在相關工業(yè)應用中具有獨特優(yōu)勢，在現(xiàn)有可行性基礎上提高測量精度是面臨的主要問題，其中聲波路徑分布的準確追蹤是獲得可靠重建算法的關鍵因素[1-5]。

目前，聲波路徑分布的確定主要根據(jù)幾何聲學原理，包括聲線追蹤及虛聲源法等。對于二維聲線追蹤，多采用三角形前向展開法、基于波前擴展的線性時不變算法(LTI)、基于費馬原理和數(shù)學變分原理求解特征值等方法[6-9]。Johnson等[10]描述了一種射線追蹤方法，將待測區(qū)域依據(jù)溫度變化分為有限層，用于計算溫度梯度對超聲波傳播路徑的影響，但該方法多用于聲波在固體內(nèi)的傳播，并不適用于氣體介質；姜根山等[11]利用光學Fermat原理和數(shù)學變分方法，建立了三維溫度梯度場中聲傳播路徑的數(shù)學模型，并研究了一維軸對稱溫度場和二維單峰對稱溫度場對聲傳播的影響。Jiang等[12]提出了一種正三棱錐前向展開法，對三維溫度梯度場內(nèi)聲波的傳播路徑進行了研究，但未對流速的影響進行系統(tǒng)研究。在追蹤聲線時聲線的本征角度是一個重要參數(shù)，顏華等[13]研究了一種確定追蹤聲線入射角的簡化方法。黃月琴等[14]通過波前傳播時間插值的方法確定聲線，使其更為光滑。Mo等[15]給出了一種非線性介質中局部介質參數(shù)梯度計算的方法，并利用曲線與平面的交叉點和行程距離的閉合解，構造自適應非結構網(wǎng)格，重建物體、地形的三維空間輪廓，但其對于物理參數(shù)的重建效果不夠理想。Rosa等[16]運用波陣面程函方程實現(xiàn)聲線的追蹤，數(shù)值預測與實驗數(shù)據(jù)對比表明，該方法與基于線性聲波方程方法同樣準確，但依賴于較少的經(jīng)驗系數(shù)并具有更簡單的數(shù)學推導。Rok等[17]引入基于格林函數(shù)的聲線追蹤半經(jīng)典(RTS)方法，RTS是一種頻域相控幾何聲學方法，是進行低頻聲場建模的有效方法。

文獻[6]～文獻[8]中將三角形前向展開法應用于溫度場重建，但文獻中沒有將該方法用于流場乃至溫度、流速耦合場中聲線追蹤的研究；沈炯等[18]則研究了流場中聲線追蹤的方法。筆者基于該聲線追蹤方法并引入Lagrangian法分別研究了溫度場、流場中聲波路徑的分布，然后進一步研究了溫度、速度耦合場中的聲波路徑分布，以期有效提升聲學法重建爐內(nèi)空氣動力場算法的可靠性和精度。

1 聲線追蹤原理

由幾何聲學[19]可知，聲波傳播過程中聲波路徑由式(1)確定：

(1)

式中：r={x,y,z}為笛卡爾坐標；n(r)為介質折射率；s為聲波路徑上的一段微元弧。

圖1 三角形前向展開法Fig.1 The triangle forward expansion method

采用基于Lagrangian法的粒子追蹤數(shù)值模擬方法[20]，如式(2)所示，對比驗證基于幾何聲學的三角形前向追蹤算法的可靠性，分別研究了溫度場、流場及兩者耦合場中聲波路徑的分布。

(2)

式中:q為粒子位置；p為粒子動量；t為時間；VH、FH分別為粒子速度及其受到的Hamiltonian力，通過設置聲速與Hamiltonian函數(shù)H(式(3))的耦合即可得到聲波路徑的分布。

(3)

式中：px、py為粒子動量在x、y方向的分量；e為機器精度。

筆者將該三角形前向展開法運用于典型仿真切圓爐內(nèi)溫度場的聲線追蹤，同時對相應溫度場采用Lagrangian法進行模擬，以對比研究。

2 溫度對聲波傳播的影響

模擬對象為一10 m×10 m二維爐膛斷面，如圖2所示，聲源設置于點o(0，-5)。通過在場內(nèi)設置不同典型溫度分布，研究其聲波傳播路徑特征。其中討論了從聲源出發(fā)的不同入射角確定的一組聲波傳播路徑，分別采用上述三角形前向展開聲線追蹤算法和數(shù)值模擬方法研究不同溫度變化特征下的聲波傳播規(guī)律。

首先,建立單峰對稱溫度場模型，如式(4)所示。其溫度分布及聲線路徑見圖2，當不同聲線發(fā)射角度關于溫度場中心線對稱時，聲波路徑相應也對稱分布?？梢钥闯觯蔷鶆驕囟葓鰧β暡窂骄哂蓄愃啤巴哥R”的效應。

(4)

圖2 單峰對稱溫度場模型及聲波傳播路徑Fig.2 Unimodal temperature model and sound paths

分別以單峰偏斜溫度場、雙峰對稱溫度場和火山口溫度場為對象追蹤相應聲波路徑分布，其溫度分布表達式見式(5)～式(7)。為了進一步揭示聲波在溫度場中的傳播規(guī)律，圖3給出了3種工況下通過三角形前向展開法追蹤得到的聲波路徑分布，其中各聲線發(fā)射點均為o(0，-5)，聲波路徑分別記為o→P1,o→P2,…,o→P11，其中聲波路徑o→P6的入射角為π/2，其余各路徑將壁面張角平分為11等分。

(5)

(6)

T(x,y)=

(7)

(a) 單峰偏斜溫度場及相應聲波路徑

(b) 雙峰對稱溫度場及聲波路徑

(c) 火山口溫度場及聲波路徑圖3 不同工況下的溫度場及相應聲波路徑Fig.3 Temperature field and sound paths at different conditions

根據(jù)Fermat原理可知，聲線總是沿著傳播最快的路徑進行傳播，即理論上聲波傳播的路徑為“最快”路徑而非“最捷”路徑。由圖2和圖3可知，溫度梯度導致相應的聲線彎曲，梯度越大聲線彎曲越明顯，且是朝著高溫區(qū)域彎曲，即盡可能經(jīng)過聲速較高的區(qū)域，以獲得最短的傳播時間，同時符合Snell定律關于折射率變化的幾何聲學原理。由圖3可知，若溫度梯度足夠小或者為零，聲線在溫度場中為直線傳播；而若聲線傳播方向與溫度場等溫線垂直，聲波路徑不會因為溫度梯度改變而發(fā)生彎曲現(xiàn)象，也呈直線傳播，結合明顯的路徑變化可知，在聲波法斷面溫度場測量重建中，若不考慮聲線的彎曲，必將引起相應的重建失真。

由于聲波傳播服從Snell定律和Fermat原理，聲線經(jīng)過溫度場時發(fā)生相應彎曲，溫度場變化復雜時聲線的彎曲特性亦更復雜。為進一步驗證所研究的三角形前向展開聲線追蹤算法的準確性和可靠性，采用Lagrangian法對相應溫度場中聲傳播規(guī)律進行模擬，基于同樣的溫度及聲傳播布置條件，得到的結果與圖2和圖3相一致，為簡化，只給出單峰對稱和火山口溫度分布2個工況的結果，如圖4和圖5所示。表1給出了2個溫度場模型中入射角分別為2π/11、4π/11和π/2時對應的聲線o→P2、o→P4、o→P6到達場邊界的位置和傳播時間，并給出了Lagrangian法與三角形前向展開法所得聲波傳播時間的絕對誤差,其值為2種方法所得傳播時間的差值。從表1可以看出，基于三角形前向展開聲線追蹤算法與Lagrangian法2種方法得到的聲線路徑有良好的一致性。一方面，從不同角度驗證了本文所用聲線追蹤模型準確可靠；另一方面，也說明了所采用的數(shù)值模型的可靠性。

圖4 Lagrangian法模擬單峰對稱模型聲波路徑Fig.4 Unimodal temperature field and ray paths by Lagrangian simulation

圖5 Lagrangian法模擬火山口模型聲波路徑Fig.5 Crater temperature model and sound paths by Lagrangian simulation

表1 2種方法得到的聲波沿不同路徑的傳播時間對比Tab.1 Comparison of propagation time along different sound paths by two methods

3 流速對聲波傳播的影響

聲波為機械波，與介質流速為線性疊加關系，其所引起的聲線彎曲也基于此。為研究流速對于聲波路徑的影響，設定尺寸為10 m×10 m的二維區(qū)域，區(qū)域內(nèi)溫度恒定為T=1 000 K，取具有四角切圓鍋爐爐膛流場特性的溫度模型如式(7)所示,相應速度Vt的分布見式(8)[1]。聲源點坐標為A(-2,-5)，通過打靶插值的方法使聲線在不同工況下到達同樣的終點B(-5，-2)、C(-5，2)、D(-2，-5)、E(2，5)、F(5，2)和G(5，-2)。

(8)

式中：V為仿真速度場幅值，代表切圓速度；σ為構建切圓流場的高斯曲線對應方差，σ=1 m；R為切圓半徑，R=2.6 m。

圖6為三角形前向展開法得到的仿真速度場幅值的二維流場聲線分布情況，V分別取15 m/s、50 m/s和100 m/s，為了進行更好的對比，圖中同時給出了流速為0 m/s(即靜態(tài)場)時的聲線分布。從圖6可以看出，當仿真速度場為靜態(tài)時，聲波路徑呈直線分布，仿真速度場幅值逐漸增大時，聲線會逐漸偏離V=0 m/s時的直線，其中路徑A-C、A-D、A-E、A-G偏離較為明顯，原因是聲線在這些路徑區(qū)域內(nèi)受流速影響較大；當V取50 m/s及以上時，聲波路徑發(fā)生明顯彎曲，此時流場對重建鍋爐爐膛內(nèi)空氣動力場及燃燒溫度場產(chǎn)生明顯的影響。為了驗證三角形前向展開聲線追蹤算法用于流場中聲線追蹤的準確性，控制相同的入射點和入射方向，同時基于Lagrangian法模擬研究了V=15 m/s和V=50 m/s時聲線分布情況(見圖7)。經(jīng)比較,2種方法各聲線到達位置相對誤差均小于1%，聲波傳播時間相對誤差均小于0.001%，兩者具有良好的一致性。

圖6 三角形前向展開法所得流場聲線分布

(a) V=15 m/s

(b) V=50 m/s圖7 Lagrangian法模擬所得流場聲線分布Fig.7 Sound ray paths distribution in flow field with Lagrangian simulation

結果表明，相比于溫度場，流場中的聲波傳播同樣服從Fermat原理，盡量經(jīng)過傳播速度快的區(qū)域發(fā)生相應彎曲。

在上述2種方法對流場中聲線追蹤結果相吻合的情況下，為進一步驗證其正確性，建立了一個簡化的均一流場模型，其聲傳播參數(shù)可直接由理論計算得到，并與聲線追蹤算法所得結果進行對比，以實現(xiàn)理論的驗證。設置場內(nèi)為均一溫度T=1 000 K，相應聲速約為c=626.130 9 m/s，沿y軸正方向流動的均勻流場寬L，流速為V=20 m/s。則垂直出射壁面到達相對壁面的聲波傳播時間t=L/c=0.015 97 s，到達位置y=V·t≈0.319 4 m。三角形前向展開法的計算結果見圖8，聲線到達壁面位置約為0.319 4 m，與理論值相對誤差約為0.125%，這主要由數(shù)值精度引起。由此驗證了上述三角形前向展開法用于流場聲線分布計算的可靠性，同時間接證明了Lagrangian法數(shù)值模型的可行性與可靠性。

圖8 三角形前向展開法得到的簡化流場聲波路徑

4 溫度、流速耦合場聲波路徑追蹤

基于上述討論，進一步研究溫度和流速耦合場對聲波傳播路徑分布的影響特性，這是爐膛或其他封閉空間空氣動力場及其他熱物理量場聲波法測量并可靠重建的本質要求。現(xiàn)有聲波法重建溫度場或速度場文獻中，一般將聲波路徑作直線處理，而由前文可知，溫度沿空間變化較大、流速較大或其空間變化較大均會形成明顯的聲波路徑彎曲，這將顯著影響場重建的可靠性。少數(shù)文獻在研究聲波法溫度場測量重建時對聲波路徑的彎曲進行了相應補償[11]，但并不是基于直接確定待測場中聲波路徑的分布，也相應影響了其重建的效率和結果的準確性。

圖9給出了所構建單峰對稱溫度與流速耦合聲援場時三角形前向展開法計算的聲線分布情況，其中介質流速由式(8)確定，溫度場則由式(4)確定，即圖2。聲源位置為A(-2，-5)，研究了同一溫度場背景下不同速度場的3個工況，即V取0 m/s、15 m/s和50 m/s所對應的流場。作為對比，圖10給出了后2種工況基于Lagrangian法的數(shù)值計算結果，表2進一步給出了相應工況下2種方法計算所得各路徑聲波傳播時間的對比。從表2可以看出，2種方法得到的結果相一致，V=15 m/s時的聲線分布與不含流場時的聲線分布差別并不明顯，即場內(nèi)流速不大時，溫度梯度是導致聲線發(fā)生彎曲的主要原因；而切圓速度增大至50 m/s時，其對聲線彎曲的影響是顯著的，相應地，要使聲線從同一聲源點出發(fā)仍然到達同樣的目標接收點，各聲線的入射角相應改變，其中聲線A-B、A-C和A-G的入射角增大，聲線A-D、A-E和A-F的入射角則減小。實際電站鍋爐切圓爐膛內(nèi)，燃燒器區(qū)域以上部分介質流速多在20 m/s以下，而燃燒器層切圓速度則可達50 m/s或更高。由此可知，聲波法測量用于四角切圓爐內(nèi)燃燒場時，僅在燃燒器層附近流場會對聲波路徑的彎曲有顯著的影響；而溫度場在爐內(nèi)大部分空間都會形成聲波路徑的較大彎曲。

圖9 三角形前向展開法所得溫度與流速耦合場聲線分布

(a) V=15 m/s

(b) V=50 m/s圖10 Lagrangian法模擬所得溫度與流速耦合場聲線分布

表2 不同工況下聲傳播時間對比

5 結 論

(1) 聲波在無介質流動的溫度場中傳播時，當不存在溫度梯度或者聲線的入射方向垂直于溫度場等溫線時，聲線將會呈直線傳播；而沿等溫線斜入射時，聲線則會發(fā)生相應彎曲；另外場內(nèi)存在介質流速時，同樣會引起聲波路徑的相應彎曲。采用三角形前向展開法聲線追蹤模型對溫度場和速度場的聲波路徑進行了計算，并與基于Lagrangian法的數(shù)值模擬結果進行對比，同時通過所建立的一維流場的對比計算，既驗證了基于文獻的三角形前向展開法聲線追蹤模型的正確性，也反過來驗證了Lagrangian法的有效性。進一步將該聲線追蹤法應用于溫度與流速耦合場中聲波路徑分布的有效計算，為高溫爐內(nèi)空氣動力場聲波法測量重建可靠算法的實現(xiàn)提供了支持。

(2) 由于爐膛內(nèi)一般離開壁面的中央?yún)^(qū)域溫度高，所以聲線相較于不彎曲時總有遠離壁面而鼓向高溫區(qū)域的趨勢。另外，流速較大或其空間變化較大時，流場引起的聲線彎曲效應才比較明顯，如當切圓速度達50 m/s以上時。本文克服實驗的局限性，通過理論研究有效揭示了聲傳播路徑在流動、溫度耦合場中傳播的規(guī)律。