李 虎，高 路，白錦良，劉佳琪，孫 恒

（北京航天長征飛行器研究所，北京，100076）

0 引 言

當(dāng)前再入飛行技術(shù)日新月異，為了滿足對(duì)位置服務(wù)的需求，各種定位技術(shù)不斷發(fā)展。其中空間目標(biāo)定位作為最常見的定位應(yīng)用，一直受到業(yè)界的重視。由于空間目標(biāo)定位系統(tǒng)有著自身的特點(diǎn)，需要結(jié)合具體情況進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，并不能完全照搬一些定位技術(shù)。實(shí)用的空間目標(biāo)定位技術(shù)至少滿足以下條件：a）抗干擾能力強(qiáng)；b）生產(chǎn)成本低；c）系統(tǒng)功耗低；d）收發(fā)器體積小。目前，常見的目標(biāo)定位技術(shù)包括有GPS 輔助（A-GPS）技術(shù)、射頻識(shí)別技術(shù)（Radio Frequency Identification，RFID）、無線局域網(wǎng)（Wireless LAN，WLAN）和沖激無線電-超寬帶（Impulse Radio-Ultra Wideband，IR-UWB）技術(shù)等[1,2]。

其中，IR-UWB 技術(shù)具有以下優(yōu)點(diǎn)：a）IR-UWB信號(hào)無載波，不需要調(diào)制解調(diào)，所以收發(fā)系統(tǒng)簡單，生產(chǎn)成本低；b）IR-UWB 信號(hào)為納秒或亞納秒級(jí)別的窄脈沖，時(shí)間分辨率非常高，平均功率較低。所以，IR-UWB 技術(shù)結(jié)合基于到達(dá)時(shí)間的測(cè)距技術(shù)（例如時(shí)差定位）能夠充分利用時(shí)間分辨率高的特點(diǎn)[3]，特別適合定位系統(tǒng)，在近幾年得到了廣泛的研究[4,5]。

對(duì)于定位系統(tǒng)來說，其定位誤差分析都是系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵部分。時(shí)差定位（Time Difference of Arrival，TDOA）方法廣泛應(yīng)用于地面與空間等定位系統(tǒng)中，系統(tǒng)組成的探測(cè)網(wǎng)絡(luò)由若干接收器組成，系統(tǒng)通過處理多個(gè)測(cè)量站采集到的信號(hào)到達(dá)時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)IR-UWB 的發(fā)射器進(jìn)行定位。發(fā)射器發(fā)出的IR-UWB 信號(hào)到達(dá)任意2 個(gè)接收器的時(shí)間的差值確定了一對(duì)以2 個(gè)接收器為焦點(diǎn)的雙曲面，為了獲得發(fā)射器的三維坐標(biāo)，需要至少4 個(gè)接收器產(chǎn)生3 對(duì)雙曲面，交匯解出輻射源的位置。在發(fā)射器某一坐標(biāo)信息（如高度信息）可提前預(yù)知的情況下，采用3 個(gè)接收器或更少接收器測(cè)量也可以求得發(fā)射器的三維坐標(biāo)。對(duì)于TDOA 系統(tǒng)的誤差分析采用類似文獻(xiàn)[6]的技術(shù)手段，其噪聲建模為單一的高斯白噪聲（本文中稱為“總體時(shí)差噪聲”）。但是在實(shí)際系統(tǒng)中，在系統(tǒng)的不同部分存在不同類型的噪聲，用單一的高斯白噪聲直接建模過于粗略，對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)意義不夠明確。本文通過對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的分析，將在工程中對(duì)實(shí)際系統(tǒng)精度影響較大的3 種誤差（位置誤差、時(shí)差量測(cè)誤差、時(shí)間同步誤差）進(jìn)行建模并分析，得到他們與定位精度的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行仿真，以便指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

1 定位模型

基于IR-UWB 信號(hào)特征匹配的TDOA 系統(tǒng)分為發(fā)射器、接收器和位置解算器3 個(gè)部分，以坐標(biāo)軸建立笛卡爾坐標(biāo)后，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示[7]。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意Fig.1 System Configuration

系統(tǒng)中的M個(gè)發(fā)射器位于地面，間斷的循環(huán)發(fā)射IR-UWB 信號(hào)，不同發(fā)射器的IR-UWB 信號(hào)的特征不同。系統(tǒng)中的N個(gè)接收器（編號(hào)分別為 0,1,...,N-1）位于空間，用于接收發(fā)射器發(fā)出的無線信號(hào)，其位置已知且固定。接收器的真實(shí)位置記作si=[xi,yi,zi]T，由于誤差影響，得到的接收器的位置記作is～ 。其中1個(gè)接收器作為主站（位置為s0），其他N-1 個(gè)接收器用作副站。主站和副站的區(qū)別在于主站具有時(shí)間模塊，副站用有線方式通過主站獲得時(shí)間。只在主站中放置時(shí)鐘模塊的原因：一是為了減少模塊個(gè)數(shù)，可以節(jié)省成本；二是TDOA 系統(tǒng)是靠時(shí)間差來定位的，如果副站也放置時(shí)鐘模塊，對(duì)時(shí)鐘模塊的同步要求比較高，只采用1 個(gè)時(shí)鐘模塊無需同步，節(jié)省成本。

發(fā)射器和接收器之間通過無線進(jìn)行信號(hào)傳輸，接收器和位置解算器之間通過有線方式傳遞信息。主站和副站利用特征匹配的定位算法[8,9]，根據(jù)IR-UWB 信號(hào)的特征與發(fā)射器的特征進(jìn)行匹配，并將識(shí)別結(jié)果（包括發(fā)射源編號(hào)和到達(dá)時(shí)間（Time of Arrival，TOA））通過有線傳輸方式傳送給信號(hào)處理器。信號(hào)處理器綜合主站和N-1 個(gè)副站給出的識(shí)別結(jié)果，利用TDOA 算法解算出各發(fā)射器位置。信號(hào)處理流程如圖2 所示。

圖2 信號(hào)流程Fig.2 Signal Processing

2 誤差分析

本節(jié)分析在第1 節(jié)中設(shè)計(jì)的TDOA 系統(tǒng)的定位精度和誤差的關(guān)系。只考慮了視距（Line of Sight，LOS）環(huán)境下的結(jié)果，對(duì)于超視距環(huán)境（主要考慮陰影效應(yīng)和多徑效應(yīng)）下的精度只會(huì)更差。從這個(gè)角度看，給出的結(jié)論是定位精度的一個(gè)上界。第1 節(jié)中給出的系統(tǒng)在工程中常見的誤差包括站間時(shí)間同步誤差、到達(dá)時(shí)間量測(cè)誤差和位置誤差。定位誤差與總體時(shí)差誤差、觀測(cè)站和目標(biāo)相對(duì)位置有關(guān)，可以分為直接時(shí)差誤差和間接時(shí)差誤差。直接時(shí)差誤差包括時(shí)間同步誤差、時(shí)差量測(cè)誤差；間接時(shí)差誤差主要由觀測(cè)站的位置誤差引起。由前文可知影響精度的主要因素包括：站構(gòu)型（包括基線長度）、站間時(shí)鐘同步精度、自定位精度、對(duì)脈沖到達(dá)時(shí)間的測(cè)量精度，這些因素與精度之間定性的關(guān)系如表1 所示。在本節(jié)進(jìn)行定量分析，上述因素都可轉(zhuǎn)化為“總體時(shí)差誤差”進(jìn)行統(tǒng)一分析。

表1 系統(tǒng)誤差影響因素分析Tab.1 Analysis of System Error

續(xù)表1

站間時(shí)間同步誤差是指2 個(gè)接收器時(shí)間同步引起的誤差，用Δtsys表示，可假定為方差為的高斯白噪聲。到達(dá)時(shí)間量測(cè)誤差與時(shí)差測(cè)量方法有關(guān)，可假定為方差為的高斯白噪聲。位置噪聲由接收器自身位置誤差引起，包括接收器在x,y,z3 個(gè)方向上的誤差，用Δs表示。下面分析中假定位置測(cè)量誤差各向同性，建模為協(xié)方差陣為的白高斯隨機(jī)矩陣，I為3 × 3的單位陣，σs為接收器位置誤差半徑平方的均值。

分析誤差分量與總體時(shí)差噪聲的關(guān)系。由圖1 可知，以主站和副站1 為例，研究接收器位置誤差、站間時(shí)間同步誤差和到達(dá)時(shí)間量測(cè)誤差對(duì)時(shí)差測(cè)量精度的影響。假定發(fā)射器位于u=[x,y]T處，于t0時(shí)刻發(fā)射了1 個(gè)脈沖，主站和副站1 在s0和s1處接收到信號(hào)的時(shí)間分別為tr0，tr1：

式中c為光速；主站測(cè)得的到達(dá)時(shí)間tr0的實(shí)際測(cè)量值為trm0：

式中 Δt0為主站的時(shí)間量測(cè)誤差，假定它是服從均值為0、方差為的高斯分布的隨機(jī)變量。副站1 測(cè)得的到達(dá)時(shí)間tr1的實(shí)際測(cè)量值為trm1：

式中 Δtsys1為副站1 與主站的時(shí)間同步誤差，假定服從均值為0、方差為的高斯分布；Δt1為副站1 的時(shí)間量測(cè)誤差，假定它是服從均值為0、方差為的高斯分布的隨機(jī)變量。

由于接收器的真實(shí)位置不能確定，只能得到含有誤差的主站和副站1 的坐標(biāo)矢量和：

即：

式中 Δs0和Δs1分別為主站和副站1 的位置測(cè)量誤差。

就單個(gè)時(shí)差量測(cè)值τm1=trm1-trm0而言，有：

上式只含有未知的位置參數(shù)，其余參數(shù)是已知的。式（8）中 Δτ1為總的時(shí)差測(cè)量誤差，表達(dá)式為式（9）。

假定接收器位置測(cè)量誤差、時(shí)間同步誤差、時(shí)間量測(cè)誤差之間相互獨(dú)立，則Δβ的協(xié)方差矩陣可表示為式（14）。將式（14）代入式（13），可得式（15）：

由式（16）可知，總體時(shí)差誤差的方差D[ Δτ1]與接收器位置誤差、站間時(shí)間同步誤差以及到達(dá)時(shí)間量測(cè)誤差有關(guān)，而與接收器的位置和發(fā)射器的位置無關(guān)。

總體時(shí)差誤差的均方根誤差 1τσ為

式（17）的直觀意義為：時(shí)差量測(cè)誤差對(duì)于時(shí)差的影響是雙重的，所以其方差的因子為2；位置誤差對(duì)于時(shí)差的影響需要乘以光速的倒數(shù)轉(zhuǎn)換為時(shí)間，并且也是雙重影響，所以其方差的因子為22；時(shí)間同步誤差是各個(gè)副站對(duì)于主站的誤差，其方差的因子為1。

結(jié)合文獻(xiàn)[3]的結(jié)論，協(xié)方差矩陣Pu為

由式（18）可知，除了上述3 種誤差對(duì)于CEP 有影響之外，布站也會(huì)通過影響矩陣H來影響精度。

根據(jù)協(xié)方差矩陣Pu也可以確定定位誤差橢圓關(guān)于x,y的方程為

式中ρ為協(xié)方差矩陣中系數(shù)；D2=-2 ln(1 -P)；通常將P=0.5所對(duì)應(yīng)的橢圓稱為橢圓概率誤差，此時(shí)D= 1.1774；為目標(biāo)位置估計(jì)值。定位誤差橢圓的參數(shù)包括半長軸a、半短軸b和長軸方向θ。當(dāng)ρ=0時(shí)，式（19）變?yōu)?/p>

根據(jù)σ x,σy可直觀得到定位誤差橢圓的參數(shù)：

當(dāng)ρ≠ 0時(shí)，作坐標(biāo)變換：

式中u，v為新坐標(biāo)系中坐標(biāo)變量；定位誤差橢圓在新坐標(biāo)系下的表達(dá)式變?yōu)?/p>

3 數(shù)值仿真

對(duì)于圖1 中的系統(tǒng)，按照上述分析的結(jié)論進(jìn)行精度的仿真。

首先分析總體時(shí)差誤差各因素的影響關(guān)系。當(dāng)位置誤差和時(shí)間同步誤差固定時(shí)，時(shí)差量測(cè)誤差隨時(shí)間測(cè)量誤差的變化關(guān)系如圖3 所示。由圖3 可知，總體時(shí)差誤差隨著時(shí)間量測(cè)誤差的增大而增大，當(dāng)時(shí)間量測(cè)誤差較小時(shí)，觀測(cè)站位置誤差和時(shí)間同步誤差主要影響總體時(shí)差誤差，當(dāng)時(shí)間量測(cè)誤差較大時(shí)，時(shí)間量測(cè)誤差對(duì)總體時(shí)差誤差的影響較大。

圖3 總時(shí)差誤差隨與時(shí)間測(cè)量誤差的變化關(guān)系Fig.3 Total TDOA Error v.s.Time Measurement Error

當(dāng)位置誤差和時(shí)間量測(cè)誤差固定時(shí)，總體時(shí)差誤差隨時(shí)間同步誤差的變化關(guān)系如圖4 所示。由圖4 可知，總體時(shí)差誤差對(duì)時(shí)間同步誤差不敏感，即當(dāng)觀測(cè)站位置誤差和時(shí)間量測(cè)誤差確定后，提高時(shí)間同步精度對(duì)提高時(shí)差測(cè)量精度貢獻(xiàn)并不大。

圖4 時(shí)差測(cè)量誤差隨時(shí)間同步誤差的變化關(guān)系Fig.4 TDOA Error v.s.Time Synchronization Error

仿真假設(shè)接收器數(shù)量為5 個(gè)，其中主站坐標(biāo)為[0,0,3]，4 個(gè)副站的坐標(biāo)分別為：[2,0,2]、[2.5,0,2]、[0,2,2]、[0,2.5,2]（上述坐標(biāo)中數(shù)值單位均為km）。

當(dāng)接收器位置誤差為0.01 m，時(shí)間同步誤差為3 ns，時(shí)間量測(cè)誤差為2 ns 時(shí)，仿真結(jié)果如圖5a 所示；當(dāng)接收器位置誤差為0.1 m，時(shí)間同步誤差為4 ns，時(shí)間量測(cè)誤差為8 ns 時(shí)，仿真結(jié)果如圖5b 所示。

圖5 不同系統(tǒng)誤差下系統(tǒng)的精度CEP 分布Fig.5 CEP v.s.System Error

從圖5 可以看出，距離接收器越遠(yuǎn)的位置，定位精度越差。此外還可以看出，系統(tǒng)中的誤差指標(biāo)越差，會(huì)導(dǎo)致定位精度的惡化。需要結(jié)合具體系統(tǒng)指標(biāo)對(duì)站址布局等因素進(jìn)行合理優(yōu)化。

4 結(jié) 論

本文給出了基于IR-UWB 信號(hào)特征匹配的TDOA系統(tǒng)的原型和初步設(shè)計(jì)，并且對(duì)于LOS 環(huán)境下，針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中最常見也是對(duì)精度有直接而重要影響的3 類誤差：位置誤差、時(shí)差量測(cè)誤差、時(shí)間同步誤差，進(jìn)行了分析，得到了其與總時(shí)差誤差的數(shù)量關(guān)系。最后對(duì)1 個(gè)實(shí)例系統(tǒng)進(jìn)行了CEP 仿真，得到上述誤差對(duì)于系統(tǒng)精度影響的直觀概念。在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)系統(tǒng)的經(jīng)費(fèi)預(yù)算和各個(gè)分系統(tǒng)的性能指標(biāo)合理進(jìn)行參數(shù)分配。并應(yīng)針對(duì)房屋的不同結(jié)構(gòu)，選擇不同的接收站結(jié)構(gòu)布局設(shè)計(jì)，以便在允許的經(jīng)費(fèi)范圍之內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)重要區(qū)域達(dá)到比較高的精度。