余杰先 車俊杰

摘要：基于空間幾何，提出一種仿 Cassie的雙足機器人腿部構型的逆運動學的顯式解析解，然后利用旋量理論求解正運動學，計算出其顯式解析解。為了驗證解的正確性，在三維建模軟件 SolidWorks中對機器人進行建模，并在專業(yè)多體動力學軟件 Adams中對機器人模型進行基于倒立擺的步態(tài)仿真，仿真結果驗證了運動學求解的正確性。對仿 Cassie的雙足機器人腿部構型運動學分析，求解得出的正逆運動學顯式解析解特別適用于機器人的實時控制系統(tǒng)。該運動學算法對雙足機器人的運動學、動力學、軌跡規(guī)劃、步態(tài)規(guī)劃研究都有重要的參考意義。

關鍵詞：Cassie;雙足機器人;運動學;旋量理論;仿真

中圖分類號：TP391???????????? 文獻標志碼：A??????? 文章編號：1009-9492（2021）12-0135-04

Kinematics Analysis of Leg Configuration of a Cassie Bionic Biped Robot Yu Jiexian ，Che Junjie

（Department of Mechanical and Energy Engineering， Southern University of Science and Technology， Shenzhen， Guangdong 518000， China）

Abstract： Based on space geometry， an explicit analytical solution of the inverse kinematics of the leg configuration of a Cassie Bionic Biped Robot was proposed， and then the forward kinematics was solved by using the spinor theory to calculate its explicit analytical solution. In order to verify the correctness of the solution， the robot was modeled in the three-dimensional modeling software SolidWorks， and the gait simulation of the robot model based on inverted pendulum was carried out in the professional multi-body dynamics software Adams. The simulation results verify the correctness of the kinematics solution. For the kinematics analysis of the leg configuration of the Cassie Bionic Biped Robot， the explicit analytical solution of the forward and inverse kinematics were especially suitable for the real-time control system of the robot. The kinematics algorithm has important reference significance for the kinematics， dynamics， trajectory planning and gait planning of biped robot.? Key words： Cassie; Biped Robot; kinematics; screw theory; simulation

0 引言

Cassie是一種仿鴕鳥的雙足機器人[1-3]，其有14個自由度，其中有4個關節(jié)是由板簧組成的被動關節(jié)。幾乎全鉸接的腿式結構能讓腿部實現多用途的自主運動，而且當遇到較大沖擊時，膝蓋和后跟的板簧起到吸收沖擊的作用[4-6]，有利于表現出富有彈性和高動態(tài)的運動。該機器人的末端沒有直接與驅動器相連，使得機器人末端的慣性較小，從而提高機器人的敏捷性。查閱有關 Cassie的文獻發(fā)現，并沒有相關文獻有研究過 Cassie的運動學，而更多的集中在步態(tài)控制等方面的研究[7-9]。此外，目前仿生雙足機器人的運動學控制，大部分都是采用非實時系統(tǒng)，盡管對于絕大多數應用場景，移動機器人的控制實時性不是必須的。但是在學術研究領域以及個別極端情況下，對移動機器人也提出了控制實時性的要求，要滿足這個需求，則要求運動學算法是封閉解，最好是顯示解析解。本文將對一種仿 Cassie的雙足機器人腿部構型進行運動學分析，最后求解出其顯式解析解，為足式機器人實時控制打下堅實的算法基礎[9-12]。

為了方便對該類 Cassie仿生腿式機器人平臺的搭建和進一步研究，本文針對一種仿 Cassie機器人的腿部拓撲機構進行運動學分析，第一節(jié)描述該機器人的腿部機構和用于驗證的仿真模型的建立;第二節(jié)利用旋量理論求解該機構的正運動學;第三節(jié)先求解末端于腳踝關節(jié)時的逆運動學，再計算末端腳掌于不同指向時的逆運動學;第四節(jié)進行運動學的驗證和仿真;最有對本文做一個總結和展望[13-15]。

1 機構簡化

本文研究的 Cassie單腿部機構是一種仿鴕鳥串聯腿式結構。圖 1所示為腿在平面 XOY 的顯示圖，Z 軸垂直于圖片向外。由圖可知，這種結構具有5個自由度{q1， q2，q3，q4，q5}，其中5個主動關節(jié)，8個被動關節(jié)。臀部的三自由度轉動由 q1、q2和 q3實現，而主動關節(jié) q4的轉動，帶動末端提起和放下。主動關節(jié) q5則控制腳掌的運動。值得注意的是關節(jié) N 和關節(jié) O 在連接部分加了彈性零件，使得腿部末端收到較大沖擊時，關節(jié) N 和關節(jié) B 處會彎曲并吸收來自沖擊的大量能量，從而通過降低沖擊速度，來減少傷害。于此同時，由于彈性元件的形變會加大運動學模型計算的難度，所以在逆運動學計算中，為了方便計算，會對其進行簡化，即圖1中關節(jié)O、關節(jié) N及其相關桿件會近似看作為虛線表示的剛性桿件。

2 正運動學

盡管腿部構型是屬于串聯機構，但是它也有并聯機構的特征，所以為了求解其正運動學，需要分離并聯部件。當關節(jié)4轉動而其它主動關節(jié)不動時，四邊形ABCD 就會發(fā)生變形，使得末端腳掌提起和放下。此時，桿 CE 繞著關節(jié) C 轉動，關節(jié) C 的位置也隨著四邊形的變化而移動。顯然，不能簡單計算得到該機構此部分的姿態(tài)矩陣。但如果忽略桿 AB 和桿 BC ，把關節(jié) C 看作是一個主動關節(jié)，整條腿就變成串聯連接。關節(jié) C 轉動的角度也能夠由 q4計算出來，整個求解計算過程就會變得簡單可行。通過旋量理論，僅僅需要各個主動關節(jié)的位置以及軸線方向，即可得到各個關節(jié)的位姿矩陣。最后，運動學正解，可以將各個位置矩陣進行連乘得到。

式中：? P 為末端位姿; P0 為末端初始位姿;1（0）T、2（1）T、3（2）T、4（3）T、C（4）T、E（C）T 分別為各個主動關節(jié)的位姿矩陣;關節(jié) E 的位姿矩陣中的轉動角度可以由 q5計算得到。

3 逆運動學

逆運動學主要是為了算出機器人運動時，其末端每一點對應的關節(jié)轉動角度，從而使得機器人能夠按照預設好的末端路徑移動。本文研究的鴕鳥腿式結構有一特點，在運動時，胯部以下的所有關節(jié)都在同一平面。因此，本文計算運動學反解的思路主要時求出末端位置對應在該腿部平面的坐標，從而求出其他關節(jié)的轉動角度。但是難點在于腿部平面會隨著臀部運動而改變，正因為這樣，判別腿部平面的位置尤為關鍵。求反解主要分為兩個步驟，首先根據末端坐標、腳尖的指向和末端于腳的位置求解關節(jié) E 的坐標，然后通過關節(jié) E 求主動關節(jié)轉動量。

目前，已知各桿桿長，末端坐標 M（x0， y0， z0），末端位于腳掌的位置 IM （距離腳后跟位置）以及腳尖指向（a， b， c）。主要思路是，首先在平面 YOZ 上，根據腳尖指向和末端坐標求出腿部平面與平面 YOZ 的交線，根據交線的斜率，可求出 q1。在平面 YOZ 上，判斷末端在交線的左右邊，進而求得 q2。將末端坐標和腳尖方向轉換為腿部平面的坐標和向量，可求出關節(jié) E 的坐標，利用關節(jié) E 的坐標和各桿長度可求出 q3和 q4。最后根據腳尖指向和末端坐標，求出 q5。

3.1 求解q1

首先通過末端坐標和腳尖指向求出腿部平面方程：

求腿部平面與平面 YOZ 的交線， xa=0代入方程（6），可求得交線方程：

此時，可以求 q1、q1存在4種情況，分別為 k>0，k=0，k<0，k →∞。令θ1為上述交線與z 軸的夾角。

3.2 求解q2

求 q2前，需要在平面 YOZ 上判斷末端在交線的左邊還是右邊。

當θ1= or - 時，

當θ1? ∈ è（?）- ， 0?（?）時

然后通過判斷左右，以不同的計算方式計算出 q2，θ2 為 MO 在平面 YOZ 上的投影 NO與Z 軸的夾角。當末端在右邊時，根據θ1取值的不同，有多種情況：

根據x 的取值，q2有以下的幾種值

當末端在左邊時，計算方式稍有變化，但道理基本相同。q2取值如下：

3.3 坐標轉換

為了降低計算逆解的復雜度，將末端轉化為在腿平面坐標系的對應坐標。設腿上由轉動 ABCD形成的腿平面為平面 X0 OY0，點 O 與原坐標一致，X0軸與 X 軸一致。 q1=0時，y0軸與 y 軸一致，q1≠0時，y0軸為 y 軸轉動 q1后的新軸。

當 q2=0時，

然后求關節(jié)E的坐標（x1， y1） ，如圖2所示，沿關節(jié)I 做水平線，關節(jié)E和末端M到水平線的交點為點 K 和 L。通過判斷末端端點的在坐標 X0OY0的上方還是下方，以及∠EIL 的大小來判斷腳的指向，根據幾何關系，算出關節(jié)E的坐標，如下：

3.4 求解q3、q4

求 q3要注意的是，關節(jié) E 在 y0軸上或者左右兩端時，求解的方式略微不同，需要進行簡單分類。設關節(jié) E 在腿部平面的 y0軸的投影為點 F，初始狀態(tài)時∠DAO 為q30。根據關節(jié)E在腿部平面的坐標和各桿件，運用三角函數求出各角的值，對末端的位置進行判斷：

3.5 求解q5

設CE與水平線相交于點E，與水平線形成兩角，偏 x0軸負方向的角為 θ3 ，同理EI與水平線形成的角，偏x0 軸負方向的角為 θ4 。通過 θ3 和 θ4 ，求出∠GEI ，再通過三角函數求出∠EGH ，進而求出q5。求 θ3 和 θ4 需要進行情況判斷，

由于腳掌的控制機構是一個四桿機構，所以∠GEI 存在最大值和最小值。當桿 GH 和桿 HI 在同一直線時，∠GEI 此時最大，當桿HI和桿EI在同一直線時，∠GEI 此時最小。當∠GEI 的值大于最大值，則取最大值，同理，小于最小值，取最小值。兩極值可通過三角函數求出。q50為初始狀態(tài)時，∠EGH 的值。通過幾何關系可求得q5：

4 仿真結果和分析

本文利用專業(yè)多體動力學軟件Adams對上述運動學算法進行可視化仿真，但是因為三維建模并不是Adams 軟件的長項，所以需要借助專業(yè)三維建模軟件對機器人進行三維建模。首先在三維建模軟件SolidWorks中對該雙足機器人進行建模，對每一個部件都附上真實的材料或質量屬性，測量各個部件的質量、重心、慣量等信息。將SolidWorks里的三維模型保存為中間格式，并導入 Adams 中，在 Adams 中對各個部件設置上述在 Solid? Works里測量得到的質量、重心、慣量等信息，并添加相關運動副及驅動，設置驅動函數即可進行仿真，并在后處理截面讀取相關仿真信息。

如圖3所示，該踏步運動仿真驗證了以上運動學算法的正確性，同時為該機器人的動力學、控制建立了堅實的基礎。仿真時的要點是要保證機器人的重心始終處于支撐多邊形范圍內，以防止機器人傾倒。圖中為運動仿真過程中的一些快照。仿真結果顯示機器人利用上述求解的運動學算法，可以走出準確的步態(tài)，驗證上述的運動學算法是正確的。

5 結束語

本文分析了類Cassie構型的雙足機器人的腿部構型運動學，利用旋量理論求解出正運動學的顯式解析解，利用空間幾何求解出逆運動學的顯式解析解。顯式解對于機器人的控制大有益處，特別是適用于要求實時控制的場合，為足式機器人實時控制打下堅實的算法基礎。本文的運動學分析方法對于相似構型的足式機器人都具有重要的參考意義，理論上可以推廣至四足機器人、六足機器人等移動機器人上。最后通過專業(yè)多體動力學軟件Adams對該機器人做了運動仿真驗證了本文運動學解法的正確性。該運動學算法對雙足機器人的運動學、動力學、軌跡規(guī)劃、步態(tài)規(guī)劃都有重要的參考意義。

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第一作者簡介：余杰先（1988-），男，廣西玉林人，碩士研究生，工程師，研究領域為工業(yè)機器人、足式機器人運動學，已發(fā)表論文3篇。

（編輯：刁少華）