霍明霞

基于數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版），將數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)這一內(nèi)容逐步融入實(shí)際教學(xué)中，同時(shí)也通過實(shí)踐論的方式展示了數(shù)學(xué)的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生對初中數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)中的七個(gè)課題進(jìn)行了學(xué)習(xí)與研究，啟發(fā)其思考，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在這里，筆者對人教版八年級上冊《數(shù)學(xué)》課題學(xué)習(xí)中的造橋選址問題進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐探索，挖掘其數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得具有綜合性、階段性、持久性的數(shù)學(xué)能力，使得課題學(xué)習(xí)在現(xiàn)代教育中真正發(fā)揮其價(jià)值.

一、挖掘教材數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

人教版八年級上冊《數(shù)學(xué)》中提出的造橋選址問題：

如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

如圖1，把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動點(diǎn)，MN垂直于直線b，交直線a于點(diǎn)M.這樣，上面的問題就可以轉(zhuǎn)化為下面的問題：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最??？由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.這樣，問題就進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最??？

教材上解決這個(gè)問題的方法：如圖2，通過平移AM，將求AM，MN，NB三條線段和最短轉(zhuǎn)化為求兩條線段AM，NB的和最短.如圖3，其實(shí)就是將點(diǎn)A移動到點(diǎn)A′，將河的兩岸的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一條直線b兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短，連接A′，B兩點(diǎn)，從而找到造橋點(diǎn)N的位置.

通過對教材的研究，筆者幫助學(xué)生將造橋選址從實(shí)際背景中抽象出結(jié)構(gòu)，提煉其數(shù)學(xué)本質(zhì)，在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下，找到解決問題的數(shù)學(xué)方法，根據(jù)基本原理得到作圖的方法，從而解決最短路徑問題.但是，如何更好地運(yùn)用平移的方法找到造橋的位置，教材給我們留下了廣闊的研究空間.

二、精心設(shè)計(jì)教學(xué)方案，啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)

經(jīng)過教學(xué)反思，筆者發(fā)現(xiàn)教材上的方法很好，但是學(xué)生卻很難想到，在轉(zhuǎn)化上較為復(fù)雜，不易形成思維通路.因此，結(jié)合學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)，筆者設(shè)計(jì)問題串，啟發(fā)學(xué)生思考，努力找到解決問題更好的方法.

問題一：如果河寬忽略不計(jì)，假設(shè)河為一條直線，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間如何作圖才能找到造橋的選址點(diǎn)？

學(xué)生1回答：連接點(diǎn)A與點(diǎn)B，線段AB與代表河的直線的交點(diǎn)就是造橋的選址點(diǎn).

問題二：請將圖1畫在一張白紙上，如何動手操作可以消除河的寬度？

學(xué)生2回答：如圖4，將這張紙沿直線a與直線b的中軸線對折.如圖5，使兩條平行河岸重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B位于直線a（b）兩側(cè).

問題三：此時(shí)，你能否作圖找到選址點(diǎn)？還原這張紙，你能找到線段MN嗎？

學(xué)生3回答：如圖6，連接點(diǎn)A與點(diǎn)B，線段AB與直線a（b）的交點(diǎn)就是造橋的選址點(diǎn).如圖7，標(biāo)注交點(diǎn)還原圖形后，連接直線a，b上標(biāo)注的點(diǎn)M與點(diǎn)N，線段MN即為所求.

問題四：你找到最短路徑了嗎？請說出你找到的最短路徑，并說明理由.

學(xué)生4回答：找到了，如圖7，AM+MN+NB就是最短路徑.因?yàn)榇藭r(shí)AM+NB=AB，兩點(diǎn)之間線段最短，MN是固定河寬，路徑AMNB就是最短路徑.

問題五：不能折紙時(shí)又如何作圖呢？

學(xué)生5回答：不能折紙消除河寬時(shí)，如圖8，可以通過將點(diǎn)A沿垂直于河岸方向向下平移河寬個(gè)單位到點(diǎn)A′，連接A′B，交直線b于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作線段MN⊥a于點(diǎn)M，連接AM，MN，NB，所求即為最短路徑.

學(xué)生6回答：如圖9，還可以通過將點(diǎn)B沿垂直于河岸方向向上平移河寬個(gè)單位到點(diǎn)B′，連接B′A，交直線a于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作線段MN⊥b于點(diǎn)N，連接AM，MN，NB，所求即為最短路徑.

學(xué)生7回答：如圖10，用兩種方法作圖得到的線段MN是一致的，我發(fā)現(xiàn)平移點(diǎn)A或是點(diǎn)B都可以找到造橋的選址點(diǎn).

學(xué)生8回答：如圖11，過點(diǎn)B作BH⊥直線b于點(diǎn)H，將線段BH沿垂直于河岸的方向向上平移，得到線段B′H′⊥直線a于點(diǎn)H′.如圖12，連接AB′，交直線a于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作線段MN⊥直線b于點(diǎn)N.由此作圖得到造橋選址問題中的最短路徑AMNB.

教材上的方法，學(xué)生不容易想到，教師也不易設(shè)計(jì)教學(xué)，學(xué)生達(dá)不到這樣的認(rèn)知水平，教學(xué)比較困難.教師可以創(chuàng)新教學(xué)方案，由問題串引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決造橋選址問題的不同方法，探索這些方法的原理，通過作圖解決問題.教師再通過這些問題啟發(fā)學(xué)生思考.學(xué)生的思維能夠巧妙轉(zhuǎn)化，結(jié)合直觀想象，他們?nèi)菀渍f出路徑最短的原理，通過思考再得出最佳作圖方法.

從教材解決造橋選址的方法，到折紙忽略河岸，平移點(diǎn)A或點(diǎn)B，再到直接平移垂線段BH到河對岸的線段B′H′，教師指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)生承擔(dān)思考解法從繁到簡的任務(wù)，從而找到了最后一種易于操作的方法.可見，教學(xué)就是由教師引起、維持和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的所有行為.

初中課題學(xué)習(xí)共七個(gè)內(nèi)容，這七個(gè)內(nèi)容密切聯(lián)系實(shí)際，綜合應(yīng)用知識，以探索為主線，學(xué)習(xí)活動形式多種多樣.在上述以造橋選址問題為例，創(chuàng)設(shè)教學(xué)方案，啟發(fā)學(xué)生思維的教學(xué)實(shí)例中，教師由問題串引導(dǎo)學(xué)生找到忽略河寬的方法，教會學(xué)生思考問題的方法，挖掘數(shù)學(xué)的基本原理，找到作圖的最佳方法.在師生之間、生生之間持續(xù)互動的過程中，學(xué)生在思維上層層遞進(jìn)，不僅積累了數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗(yàn)，而且學(xué)會思考，進(jìn)而敢于思考，最后善于思考，最終提升了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇