吳學慶

(貴州師范大學物理與電子科學學院，貴州 貴陽 550001)

1 引言

關(guān)于2017 天津高考物理卷第10 題第2 問的解析，已有武漢外國語學校的王翔老師作者進行了質(zhì)疑[1]。認為參考答案的分析過程使用動量守恒定律的錯誤。王翔老師從質(zhì)點系外力遠大于內(nèi)力的角度出發(fā)，證實了由A、B 組成的系統(tǒng)動量不守恒，并提出了使用動量定理解決問題的方法，筆者認為其觀點正確的。那么，為什么不能使用動量守恒定律，而能使用動量定理解決此類問題？挖掘解動量定理和動量守恒定律的內(nèi)在聯(lián)系，并使用大學力學的專業(yè)知識進行探討，弄起其物理本質(zhì)，也是有一定意義的。

2 2017 天津高考物理卷第10 題及第一二問解析過程[1]

如圖1 所示，物塊A 和物塊B 通過不可伸長的細繩連接，跨放在質(zhì)量不計的光滑定滑輪兩側(cè)，質(zhì)量分別為mA=2 kg、mB=1 kg。初始時A 靜止于水平地面上。B 懸于空中，先將B 豎直向上再舉高h=1.8 m（未觸及滑輪）然后由靜止釋放。一段時間后細繩繃直，A、B 以大小相等的速度一起運動，之后B 恰好可以和地面接觸。取g=10 m/s2。

圖1 物理情景示意

（1）B 從釋放到細繩繃直時的運動時間t；

（2）A 的最大速度v 的大??；

（3）初始時B 離地面的高度H

2.1 高考參考答案中的解析過程

（1）B 從釋放到細繩剛繃直前做自由落體運動，有

代入數(shù)據(jù)得：

(2) 設(shè)細繩繃直前B 的速度大小為vB,有

細繩繃直瞬間，細繩張力遠大于A、B 的重力，A、B 相互作用，由動量守恒得

之后A 做勻減速運動，所有細繩繃直后的瞬間的速度v即為A 的最大速度，聯(lián)立(2)、(3)、(4)式，代入數(shù)據(jù)解得

2.2 對解析過程的分析與討論

解析過程的第（1）、（2、）（3）步，語言表述和公式表達都正確，解析過程的第（4）步卻有較大的問題?！凹毨K繃直瞬間，細繩張力遠大于A、B 的重力，A、B 相互作用，由動量守恒得”。對系統(tǒng)的受力的分析不完整，A 除了受繩子的張力和其自身重力外，還受到地面的支持力，盡管這個支持力是隨著時間逐漸減小的。物理學常識告訴我們，兩個物體之間相互作用，則他們的作用力分為接觸力和非接觸力（場力）。A 和B 之間沒有相互接觸，因為他們之間連著繩子，而萬有引力（場力）又不在該題的考慮范圍。因此“A、B 相互作用”的表述錯誤。物理學是一門嚴謹?shù)目茖W，作為高考題答案，語言表述也應(yīng)準確無誤。對于適用物理規(guī)律的錯誤，前人已經(jīng)做過證明，這里不再贅述。

3 動量不守恒原因分析

要深刻分析動量不守恒的原因，得追根溯源，找到動量守恒定律的理論來源。

3.1 動量守恒定律的理論推導

物理學中的“定律”，大多是實驗規(guī)律（少數(shù)定律如牛頓第一定律除外），由實驗分析得出。使用過程中，只要滿足定律成立的條件，就可以應(yīng)用它們來解決實際問題，不需要也無法答出為什么來（如萬有引力定律）。但動量守恒定律也可通過理論證推導出來。

如圖2所示，物體A和B在水平面上運動，碰撞前瞬間的速度分別為vA、vB，且vA﹥vB，碰撞后分離瞬間的速度分別為、，設(shè)水平向右為正方向，對A物體，在碰撞前后，由動量定理得

圖2 物體A 和B 在水平面上運動

圖2 水平方向上A、B 碰撞示意圖

(6)式中，為碰撞過程中B 對A 的平均作用力大小，Δt為碰撞過程經(jīng)歷的時間，fA為地面給A 的動摩擦力大小。

同理，對B 物體，在碰撞前后，由動量定理得

(7)式中，為碰撞過程中A 對B 的平均作用力大小，fB為地面給B 的動摩擦力大小。由牛頓第三定律，有

聯(lián)立(6)、(7)和(8)式可得：

碰撞時間極短，則Δt→0，fA和fB均為有限值，則(7)式左邊等于0，可化簡為

即以A 和B 組成的系統(tǒng)在碰撞前后總動量守恒。

要使得(9)式成立，要求(6)、(7)式左邊的和為零。嚴格來說，系統(tǒng)不受外力，只有內(nèi)力作用，則系統(tǒng)的動量一定守恒。另外，在碰撞，爆炸等系統(tǒng)相互作用時間非常短的過程中，系統(tǒng)的動量近似守恒。在中學階段可以直接使用動量守恒定律解題。

現(xiàn)行中學教材甚至大學《力學》教材中，在處理涉及碰撞、爆炸類物理問題時，只是強調(diào)因為外力遠大于內(nèi)力，系統(tǒng)動量守恒[2,3]。筆者認為，在這類物理情景中，系統(tǒng)動量守恒的原因是因為內(nèi)力作用時間非常短暫。因為即使內(nèi)力不遠大于外力，這一項依然等于零。要使得動量守恒定律成立，必須使得（11）式左邊為零，也就是Δt→0，且外力均為有限值。由此可以得到動量定理和動量守恒定律內(nèi)在邏輯關(guān)系，即動量守恒定律可以從動量定理推導出來，動量守恒定律是動量定理的一個特例。只有滿足這個特例的條件（系統(tǒng)不受外力或所受合外力為零，或外力作用的時間極短），系統(tǒng)動量守恒定律才能成立。

3.2 2017 天津高考物理卷第10 題中A、B 不滿足系統(tǒng)動量定律的條件

關(guān)于內(nèi)力，無論是中學物理，還是大學力學中都有明確的定義[3]。內(nèi)力指的是系統(tǒng)里面物體之間的相互作用力，內(nèi)力成對出現(xiàn)。如果系統(tǒng)內(nèi)只有兩個物體，則內(nèi)力一定滿足牛頓第三定律，即大小相等方向相反且作用在同一直線上。系統(tǒng)中的內(nèi)力的矢量和必須為零。在本例中，A、B 之間連著繩子，繩子對A 和對B 的拉力方向都向上，不滿足一對內(nèi)力方向相反的條件。因此，繩子對A 和對B，不能看做內(nèi)力，只能是分別作用于A 和B 的外力。因此在繩子繃直前后的瞬間，由A、B 組成的系統(tǒng)動量不守恒。相應(yīng)正確的解法已由前人提出，這里不再贅述[1]。

4 2017 天津高考物理卷第10 題中第2 問

使用《理論力學》中角動量定理的相關(guān)知識[4]，可以更簡單地求解這個問題。如圖3 所示，設(shè)滑輪的半徑為r，質(zhì)量不計，取滑輪軸心為坐標原點，以過滑輪軸心的水平軸oz為轉(zhuǎn)軸，oz水平向外，對A、B 分別進行受力分析，使用質(zhì)點系對固定轉(zhuǎn)軸的角動量定理得，

圖3 A、B 受力示

將(11)式子積分得：

A 物體上的作用力對軸oz的力矩為：

B 物體上的作用力對軸oz的力矩為：

合力矩：

角動量的變化量：

由(11)～(15)聯(lián)立可得：

繩子繃直過程的時間Δt=t-t0，由于Δt→0，且(17)式左邊被積函數(shù)

o為有限值，因此(16)式左邊為零，將(17)化簡，可得：

此式與(10)式相同，因此，在繩子繃直的瞬間，由A、B 組成的系統(tǒng)角動量守恒而動量不守恒。