吳學慶
(貴州師范大學物理與電子科學學院,貴州 貴陽 550001)
關(guān)于2017 天津高考物理卷第10 題第2 問的解析,已有武漢外國語學校的王翔老師作者進行了質(zhì)疑[1]。認為參考答案的分析過程使用動量守恒定律的錯誤。王翔老師從質(zhì)點系外力遠大于內(nèi)力的角度出發(fā),證實了由A、B 組成的系統(tǒng)動量不守恒,并提出了使用動量定理解決問題的方法,筆者認為其觀點正確的。那么,為什么不能使用動量守恒定律,而能使用動量定理解決此類問題?挖掘解動量定理和動量守恒定律的內(nèi)在聯(lián)系,并使用大學力學的專業(yè)知識進行探討,弄起其物理本質(zhì),也是有一定意義的。
如圖1 所示,物塊A 和物塊B 通過不可伸長的細繩連接,跨放在質(zhì)量不計的光滑定滑輪兩側(cè),質(zhì)量分別為mA=2 kg、mB=1 kg。初始時A 靜止于水平地面上。B 懸于空中,先將B 豎直向上再舉高h=1.8 m(未觸及滑輪)然后由靜止釋放。一段時間后細繩繃直,A、B 以大小相等的速度一起運動,之后B 恰好可以和地面接觸。取g=10 m/s2。
圖1 物理情景示意
(1)B 從釋放到細繩繃直時的運動時間t;
(2)A 的最大速度v 的大??;
(3)初始時B 離地面的高度H
(1)B 從釋放到細繩剛繃直前做自由落體運動,有
代入數(shù)據(jù)得:
(2) 設(shè)細繩繃直前B 的速度大小為vB,有
細繩繃直瞬間,細繩張力遠大于A、B 的重力,A、B 相互作用,由動量守恒得
之后A 做勻減速運動,所有細繩繃直后的瞬間的速度v即為A 的最大速度,聯(lián)立(2)、(3)、(4)式,代入數(shù)據(jù)解得
解析過程的第(1)、(2、)(3)步,語言表述和公式表達都正確,解析過程的第(4)步卻有較大的問題?!凹毨K繃直瞬間,細繩張力遠大于A、B 的重力,A、B 相互作用,由動量守恒得”。對系統(tǒng)的受力的分析不完整,A 除了受繩子的張力和其自身重力外,還受到地面的支持力,盡管這個支持力是隨著時間逐漸減小的。物理學常識告訴我們,兩個物體之間相互作用,則他們的作用力分為接觸力和非接觸力(場力)。A 和B 之間沒有相互接觸,因為他們之間連著繩子,而萬有引力(場力)又不在該題的考慮范圍。因此“A、B 相互作用”的表述錯誤。物理學是一門嚴謹?shù)目茖W,作為高考題答案,語言表述也應(yīng)準確無誤。對于適用物理規(guī)律的錯誤,前人已經(jīng)做過證明,這里不再贅述。
要深刻分析動量不守恒的原因,得追根溯源,找到動量守恒定律的理論來源。
物理學中的“定律”,大多是實驗規(guī)律(少數(shù)定律如牛頓第一定律除外),由實驗分析得出。使用過程中,只要滿足定律成立的條件,就可以應(yīng)用它們來解決實際問題,不需要也無法答出為什么來(如萬有引力定律)。但動量守恒定律也可通過理論證推導出來。
如圖2所示,物體A和B在水平面上運動,碰撞前瞬間的速度分別為vA、vB,且vA﹥vB,碰撞后分離瞬間的速度分別為、,設(shè)水平向右為正方向,對A物體,在碰撞前后,由動量定理得
圖2 物體A 和B 在水平面上運動
圖2 水平方向上A、B 碰撞示意圖
(6)式中,為碰撞過程中B 對A 的平均作用力大小,Δt為碰撞過程經(jīng)歷的時間,fA為地面給A 的動摩擦力大小。
同理,對B 物體,在碰撞前后,由動量定理得
(7)式中,為碰撞過程中A 對B 的平均作用力大小,fB為地面給B 的動摩擦力大小。由牛頓第三定律,有
聯(lián)立(6)、(7)和(8)式可得:
碰撞時間極短,則Δt→0,fA和fB均為有限值,則(7)式左邊等于0,可化簡為
即以A 和B 組成的系統(tǒng)在碰撞前后總動量守恒。
要使得(9)式成立,要求(6)、(7)式左邊的和為零。嚴格來說,系統(tǒng)不受外力,只有內(nèi)力作用,則系統(tǒng)的動量一定守恒。另外,在碰撞,爆炸等系統(tǒng)相互作用時間非常短的過程中,系統(tǒng)的動量近似守恒。在中學階段可以直接使用動量守恒定律解題。
現(xiàn)行中學教材甚至大學《力學》教材中,在處理涉及碰撞、爆炸類物理問題時,只是強調(diào)因為外力遠大于內(nèi)力,系統(tǒng)動量守恒[2,3]。筆者認為,在這類物理情景中,系統(tǒng)動量守恒的原因是因為內(nèi)力作用時間非常短暫。因為即使內(nèi)力不遠大于外力,這一項依然等于零。要使得動量守恒定律成立,必須使得(11)式左邊為零,也就是Δt→0,且外力均為有限值。由此可以得到動量定理和動量守恒定律內(nèi)在邏輯關(guān)系,即動量守恒定律可以從動量定理推導出來,動量守恒定律是動量定理的一個特例。只有滿足這個特例的條件(系統(tǒng)不受外力或所受合外力為零,或外力作用的時間極短),系統(tǒng)動量守恒定律才能成立。
關(guān)于內(nèi)力,無論是中學物理,還是大學力學中都有明確的定義[3]。內(nèi)力指的是系統(tǒng)里面物體之間的相互作用力,內(nèi)力成對出現(xiàn)。如果系統(tǒng)內(nèi)只有兩個物體,則內(nèi)力一定滿足牛頓第三定律,即大小相等方向相反且作用在同一直線上。系統(tǒng)中的內(nèi)力的矢量和必須為零。在本例中,A、B 之間連著繩子,繩子對A 和對B 的拉力方向都向上,不滿足一對內(nèi)力方向相反的條件。因此,繩子對A 和對B,不能看做內(nèi)力,只能是分別作用于A 和B 的外力。因此在繩子繃直前后的瞬間,由A、B 組成的系統(tǒng)動量不守恒。相應(yīng)正確的解法已由前人提出,這里不再贅述[1]。
使用《理論力學》中角動量定理的相關(guān)知識[4],可以更簡單地求解這個問題。如圖3 所示,設(shè)滑輪的半徑為r,質(zhì)量不計,取滑輪軸心為坐標原點,以過滑輪軸心的水平軸oz為轉(zhuǎn)軸,oz水平向外,對A、B 分別進行受力分析,使用質(zhì)點系對固定轉(zhuǎn)軸的角動量定理得,
圖3 A、B 受力示
將(11)式子積分得:
A 物體上的作用力對軸oz的力矩為:
B 物體上的作用力對軸oz的力矩為:
合力矩:
角動量的變化量:
由(11)~(15)聯(lián)立可得:
繩子繃直過程的時間Δt=t-t0,由于Δt→0,且(17)式左邊被積函數(shù)
o為有限值,因此(16)式左邊為零,將(17)化簡,可得:
此式與(10)式相同,因此,在繩子繃直的瞬間,由A、B 組成的系統(tǒng)角動量守恒而動量不守恒。