董平 張玉峰

摘 要：概念整合課程是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要支撐.層層遞進(jìn)的課程目標(biāo)、針對性強(qiáng)的課程內(nèi)容、有所裨益的教學(xué)建議和能夠有效執(zhí)行的評價建議是整合課程的四個重要方面.以變化量與變化率的概念整合為例，討論了基于中學(xué)物理的概念教學(xué)內(nèi)容整合的課程設(shè)計.

關(guān)鍵詞：概念整合課程;變化量;變化率;學(xué)習(xí)診斷

中圖分類號：G633.7???? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）13-0013-04

作者簡介：董平（1982-），女，甘肅隴西人，博士，中學(xué)高級教師，研究方向：中學(xué)物理學(xué)科教學(xué);

張玉峰（1973-），男，山東泰安人，博士，北京市特級教師，研究方向：物理學(xué)習(xí)與評價.

概念是人類對客觀世界的一種本質(zhì)的認(rèn)識和科學(xué)的抽象，是人類認(rèn)識從感性向理性過渡的橋梁.中學(xué)生正處于建立理性概念的階段，概念的建立是學(xué)習(xí)過程中的一個重要環(huán)節(jié).中學(xué)階段物理學(xué)的概念數(shù)量多，涉及的具體知識內(nèi)容也比較龐大，學(xué)習(xí)了許多概念之后，學(xué)生還很難在頭腦中形成全面的概念體系，也就難以深層次理解概念及概念之間的關(guān)聯(lián).學(xué)習(xí)診斷的結(jié)果顯示：部分學(xué)生缺乏從概念建構(gòu)中萃取描述和解釋自然現(xiàn)象的方式，缺乏將新建構(gòu)的概念與原有知識建立實質(zhì)性聯(lián)系等問題.因此，基于中學(xué)物理課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容要求的概念整合類課程顯得尤為重要.本文以“變化量與變化率”為例，來說明概念整合課程的設(shè)計.

設(shè)計一個完整的課程，首先我們需要明確課程目標(biāo)，根據(jù)課程目標(biāo)設(shè)計課程內(nèi)容，再根據(jù)課程內(nèi)容和學(xué)生實際情況提出教學(xué)建議，最后給出合理的評價建議.

1 課程目標(biāo)

課程目標(biāo)應(yīng)根據(jù)教學(xué)的實際情況進(jìn)行設(shè)計，針對不同的學(xué)生有所不同，在此給出相對比較全面的、層層遞進(jìn)的目標(biāo)，在實際執(zhí)行時可酌情增減.

具體目標(biāo)為：

（1）能夠體會變化量與變化率的概念的建立過程;

（2）能夠系統(tǒng)地、深入地理解變化量與變化率的概念;

（3）能夠分析清楚變化量與變化率與其他物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，建立物理量之間的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò);

（4）能夠在實際情境中靈活運(yùn)用變化量、變化率及其相關(guān)的內(nèi)容;

（5）掌握策略性的路徑與方法來分析與變化量、變化率有關(guān)的問題，且處理其他問題時能夠?qū)⒁恍┎呗耘c方法進(jìn)行遷移.

2 課程內(nèi)容

在學(xué)習(xí)診斷中，有這樣一個情境：車輪和電風(fēng)扇的扇葉繞轉(zhuǎn)軸運(yùn)動時，可以用Δθ表示在一段時間Δt內(nèi)轉(zhuǎn)動的角度，用轉(zhuǎn)動的角度Δθ與其經(jīng)過的時間Δt之比定義角速度ω，即ω=ΔθΔt，用一段時間內(nèi)角速度的變化率ΔωΔt來描述角速度ω的變化快慢，這個變化率稱作角加速度β，即β=ΔωΔt.診斷中學(xué)生對于角速度和角加速度概念的理解、概念之間的關(guān)聯(lián)出現(xiàn)了一些問題.角速度ω、角加速度β包含著變化量與變化率的概念，在高中物理范圍內(nèi)，還有很多物理量涉及到變化量與變化率的問題，對這些問題進(jìn)行整合頗有價值.

第一層目標(biāo)是體會變化量與變化率的概念的建立過程.要讓學(xué)生體會這個大概念的建立過程，可以從為什么要引入變化量與變化率談起.

2.1 為什么要引入變化量與變化率

在客觀的物理世界中，伴隨著時間的推演，物體占據(jù)的空間位置可能不同，物體運(yùn)動的情況可能不同，物體具有的能量可能不同……這意味著描述物體方方面面的物理量可能發(fā)生變化.在物理量發(fā)生變化的過程中，我們想要描述物理量的變化，就需要引入變化量.若我們不僅關(guān)注物理量的變化，還想研究物理量變化的快慢，就需要引入變化率.

第二層目標(biāo)是能夠系統(tǒng)地、深入地理解變化量與變化率的概念.系統(tǒng)地理解概念，可以用一個個特例來總結(jié)歸納出概念的共性，也可以用一個統(tǒng)一的、普適的定義來概括這個概念，再用一些特例來幫助理解這個概念.深入地理解概念，就要求充分挖掘概念的內(nèi)涵和外延.為了這個目標(biāo)，我們設(shè)置了以下兩個模塊：（1）什么是變化量（或變化率），這個模塊主要是分析變化量（變化率）這個大概念，從普適的定義出發(fā)，再輔以具體的情境和具體物理量的應(yīng)用，來幫助學(xué)生系統(tǒng)地理解概念;（2）對變化量（或變化率）的再認(rèn)識，這個模塊主要是深入理解概念.

2.2 什么是變化量與變化率

2.2.1 什么是變化量

物理量發(fā)生變化必然對應(yīng)著一個物理過程，這個過程不論長短，都有初狀態(tài)和末狀態(tài).我們把某個物理量D的初狀態(tài)記為D1，末狀態(tài)記為D2，那么物理量D的變化量定義為ΔD=D2-D1.從定義可以看出，物理量的變化量，描述的是物理量狀態(tài)之間的差異.

若物理量D為標(biāo)量，計算ΔD時，直接用D2的數(shù)值減去D1的數(shù)值，變化量為正表示末狀態(tài)的物理量D2比初狀態(tài)的物理量D1大;變化量為負(fù)則表示末狀態(tài)的物理量D2比初狀態(tài)的物理量D1小.

若物理量D為矢量，計算ΔD時，應(yīng)采用矢量相減的法則.如圖1所示，采用由O點指向A點的有向線段來表示矢量D1，采用由O點指向B點的有向線段來表示矢量D2，則變化量ΔD即為由A點指向B點的有向線段，變化量ΔD既有大小也有方向，為一個矢量.

特殊地，當(dāng)矢量D1、D2的方向在一條直線上時，有以下兩種情況：

①若矢量D1、D2方向相同，我們可以直接用矢量D2的大小減去矢量D1的大小，變化量為正表示變化量的方向與D1、D2的方向相同，如圖2所示;變化量為負(fù)則表示變化量的方向與D1、D2的方向相反，如圖3所示.

②若矢量D1、D2方向相反，我們可以直接用矢量D2的大小加上矢量D1的大小進(jìn)行計算，變化量ΔD的大小等于D1、D2的大小直接相加，方向與D2的方向相同，如圖4所示.

2.2.2 對變化量的再認(rèn)識

變化量描述了在一個過程中，物理量的末狀態(tài)與初狀態(tài)之間的差異，矢量的變化量就包括大小的差異和方向的差異，因此，我們可以以圖1中矢量D1的起始點O點為圓心，以矢量D1的長度OA為半徑作一段圓弧，圓弧與線段OB交于C點，如圖5所示.矢量D1和矢量D2大小的差異為線段CB的長度，它們方向的差異體現(xiàn)在線段AC上.因此，變化量ΔD可以看作線段AC代表的矢量與線段CB代表的矢量之和.

標(biāo)量的變化量則只需考慮其大小的差異即可.

2.2.3 什么是變化率

物理量發(fā)生變化時，其末狀態(tài)和初狀態(tài)之間的時間間隔記為Δt，定義時間變化率k=ΔDΔt，k越大，物理量D隨時間t的變化率就越大，物理量就變化得越快.很多物理過程還伴隨著空間位置的變化（即經(jīng)過一段位移，高中階段位置限定在一維坐標(biāo)上），對應(yīng)物理過程經(jīng)過的位移記為Δx，就可以定義空間變化率k′=ΔDΔx，k′越大，物理量D隨位置x的變化率就越大.

2.2.4 對變化率的再認(rèn)識

變化率除了可以用定義式來表示外，還可以用物理圖像來分析研究.如圖6所示，物理量D隨時間t變化的關(guān)系為圖中的曲線，t1時刻物理量為D1，對應(yīng)的狀態(tài)為A狀態(tài)，t2時刻物理量為D2，對應(yīng)的狀態(tài)為B狀態(tài)，從A狀態(tài)到B狀態(tài)的過程中，物理量的變化量ΔD=D2-D1，持續(xù)的時間Δt=t2-t1，物理量D隨時間的變化率k=ΔDΔt=D2-D1t2-t1為圖像上A、B兩點連線的斜率.這個斜率為曲線的割線的斜率，表示由狀態(tài)A到狀態(tài)B的過程中物理量隨時間的平均變化率.當(dāng)物理過程持續(xù)的時間Δt極短時，狀態(tài)B趨近于狀態(tài)A，A、B兩點連線的割線的斜率趨近于A點處曲線切線的斜率，平均變化率趨于A點處的瞬時變化率.類似地，可分析物理量隨位移的變化率在物理圖像上的意義.

第三層目標(biāo)是能夠分析清楚變化量與變化率與其他物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，建立物理量之間的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò).這個目標(biāo)要求對概念與其它概念之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系理解清晰，需要對實際概念之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行分析和研究.以下呈現(xiàn)這一部分的課程設(shè)計.

2.3 變化量或變化率與其它物理量的對應(yīng)關(guān)系

當(dāng)我們用變化量來描述物理量的變化、用變化率來描述物理量變化的快慢時，這種描述是表觀的，是對現(xiàn)象的物理概括.于是我們進(jìn)一步思考，在表觀之下，內(nèi)在的、深入的、機(jī)理性的本質(zhì)是什么？

位置的變化量Δx是狀態(tài)量速度v在時間Δt上的累積效果，速度的變化量Δv是狀態(tài)量加速度a在時間Δt上的累積效果，動量的變化量Δp是狀態(tài)量合外力F在時間Δt上的累積效果，動能的變化量ΔEk是狀態(tài)量合外力F在空間Δx上的累積效果.因此，我們可以從其它物理量入手，來分析物理量變化量的情況.比如要分析電勢能的變化量ΔEp，我們可以從電場力做功的角度入手，要研究機(jī)械能的變化量ΔE，可以從除了重力和彈簧彈力以外的其它力做功的角度入手.

一個自由下落的物體，其動能的增加量為ΔEk=Ek2-Ek1（Ek1、Ek2分別指初態(tài)和末態(tài)時的動能），重力勢能的減少量為-ΔEp=Ep1-Ep2（Ep1、Ep2分別指初態(tài)和末態(tài)時的重力勢能），根據(jù)動能定理和功能關(guān)系，可得等量關(guān)系ΔEk=-ΔEp，通過數(shù)學(xué)變形我們發(fā)現(xiàn)，存在等式Ek1+Ep1= Ek2+Ep2，這說明在某些物理量變化的過程中，存在著不變的量.這為我們探究客觀世界的規(guī)律提供了一個很好的策略與路徑.我們在追溯變化量時，可能發(fā)現(xiàn)在變化過程中的某些不變量;反之我們在分析一些不變的物理量時，也可能發(fā)現(xiàn)其中某些變化量的規(guī)律.這種由變化推演到不變，或由不變推演到變化的思辨過程，正是我們探索客觀世界規(guī)律的過程中所需要的兩種很好的思維路徑.

有些情況下，考慮變化率與其它物理量的對應(yīng)關(guān)系時，可以將變化量作為結(jié)果，來追溯產(chǎn)生變化量的原因.例如動能隨空間位置的變化率ΔEkΔx等于合外力F的大小，動量隨時間的變化率ΔpΔt也等于合外力F，合外力F既決定著動能的空間變化率，又決定著動量的時間變化率，是一個重要的物理量.我們還可以將變化量或變化率作為原因，來考慮變化量或變化率導(dǎo)致的結(jié)果.例如，磁通量的變化ΔΦ是產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的原因，那么磁通量的變化率ΔΦΔt是否對應(yīng)著感應(yīng)電動勢ε的大小呢？首先將磁通量的變化分為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化或線圈面積S的變化，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，S一定時，ΔBΔt越大，ΔΦΔt就越大，感應(yīng)電動勢ε就越大;B一定時，ΔSΔt越大，ΔΦΔt就越大，感應(yīng)電動勢ε就越大.這就是電磁感應(yīng)的兩種情況.在這個例子中，磁通量的變化導(dǎo)致了感應(yīng)電動勢的產(chǎn)生，磁通量的變化率決定了感應(yīng)電動勢的大小.在具體情境中，將變化率作為結(jié)果來分析產(chǎn)生變化率的原因，或?qū)⒆兓首鳛樵騺硌芯孔兓蕦?dǎo)致的結(jié)果，對于理解變化率的大小很有幫助，而追本溯源這一思維過程，也正是物理學(xué)邏輯性的體現(xiàn).

第四層目標(biāo)為能夠在實際情境中靈活運(yùn)用變化量、變化率及其相關(guān)的內(nèi)容，因此設(shè)計了下面的環(huán)節(jié).

2.4 變化量及變化率的應(yīng)用

如圖7所示，一試探電荷+q在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運(yùn)動.取該直線為x軸，起始點O為坐標(biāo)原點，某條電場線沿+x方向.在試探電荷q由O點運(yùn)動至A點的過程中，其動能Ek、電勢能EP、總能量E與位移x的關(guān)系可用圖像表示.取A點為零勢能參考點.若圖7中的電場為點電荷+Q產(chǎn)生的電場，圖8中合理的是

首先應(yīng)判斷場源電荷的位置.由于場源電荷、試探電荷均為正電荷，試探電荷由靜止釋放后，由O點運(yùn)動至A點，因此場源電荷位于O點的左側(cè)，那么試探電荷O點運(yùn)動至A點的過程中，受到的靜電力逐漸減小.考慮到圖像上某一點處切線的斜率可以反映物理量的變化率的情況，可知Ek-x圖像應(yīng)為一條斜率逐漸減小但Ek逐漸增大的圖線，A、B選項均不對.Ep-x圖像應(yīng)為一條斜率的絕對值逐漸減小且Ep逐漸減小的圖線，故C選項正確.總能量守恒，故D選項錯誤.因此正確選項為C.

第五層目標(biāo)為掌握策略性的路徑與方法來分析與變化量、變化率有關(guān)的問題，且處理其他問題時能夠?qū)⒁恍┎呗耘c方法進(jìn)行遷移.這是最高的目標(biāo)，是對上述內(nèi)容的反思與提升.

2.5 反思與提升

有了以上對于變化量和變化率的認(rèn)識和理解，我們再來看學(xué)習(xí)診斷中一個典型的問題.

問題：若硬桿從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸O勻加速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角加速度為β，經(jīng)過時間t，求硬桿轉(zhuǎn)過的角度θ.

分析：該問題指向同學(xué)們對于概念與規(guī)律的綜合分析與遷移應(yīng)用.角加速度并沒有直接與轉(zhuǎn)過的角度相聯(lián)系，而是通過角速度相聯(lián)系.Δω=βΔt，而Δθ=ωΔt，這就存在一個困難，在這個問題中角速度ω是一個變量，怎樣處理它的累積效果呢？我們回憶一下，在勻變速直線運(yùn)動中，由于Δv=aΔt，加速度a一定時，我們可以畫出物體的v-t圖像是一條直線，由于Δx=vΔt，v-t圖像下包圍的面積就是這段時間內(nèi)物體的位移了.我們完全可以遷移這個策略，由于Δω=βΔt，角加速度β一定時，我們可以畫出物體的ω-t圖像是一條直線，由于Δθ=ωΔt，ω-t圖像下包圍的面積就是這段時間內(nèi)物體轉(zhuǎn)過的角度了.實際上這個角度也叫“角位移”.

反思：變化率不是定值時，怎樣計算其在時間上或空間上的累積效果？

提升：上題給出了具體的示范，可以利用圖像來處理這類問題，圖像下包圍的面積就是累積效果.這樣處理時，其實是將圖像下包圍的面積切分成一個個非常非常窄的小矩形條，每個小矩形條的面積都等于它的長乘以寬，寬就是我們劃分出的非常小的時間范圍，長就是在這個非常小的時間范圍內(nèi)，被當(dāng)作常量的物理量.然后將這些小矩形條的面積相加，得到總的累積效果.這個策略提示我們，在處理變化率為變量的問題時，可以在一段非常小的時間內(nèi)，或一段非常短的位移內(nèi)，將變量當(dāng)作常量來處理，然后將很多很多這樣的小段相累加，得到最終累加的效果.這蘊(yùn)含著“化變?yōu)楹恪钡乃枷耄窃谶@樣的思想的指引下，偉大的科學(xué)巨匠牛頓創(chuàng)立了微積分的初步算法，在科學(xué)史上留下了濃墨重彩的一筆.

3 教學(xué)建議

根據(jù)以上課程內(nèi)容和學(xué)生的實際情況，提出以下教學(xué)建議：

（1）對于程度較好的學(xué)生，建議采用“總—分—總”的模式進(jìn)行教學(xué).先引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)變化量與變化率的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考變化量與變化率與其它物理量的關(guān)系，再讓學(xué)生舉例說明高中物理涉及到的變化量與變化率是怎樣體現(xiàn)概念性與規(guī)律性的，最后引導(dǎo)學(xué)生思考與總結(jié)，提升學(xué)生的整體理解和邏輯把握.

（2）對于程度中等的學(xué)生，建議采用“分—總”的模式進(jìn)行教學(xué).先引導(dǎo)學(xué)生說出一些具體的變化量與變化率，逐層深入地分析這些變化量與變化率本身的特點，再進(jìn)行歸納總結(jié)它們的共性，最后進(jìn)行拓展延伸，用本文的邏輯鏈條將學(xué)生零散的知識點串聯(lián)起來.

（3）對于程度較差的學(xué)生，建議采用“分—分—總”的模式進(jìn)行教學(xué).先給出一些具體的變化量與變化率的示范，逐個分析具體的變化量與變化率的概念，再引導(dǎo)學(xué)生說出一些具體的變化量與變化率，逐層深入地分析這些變化量與變化率本身的特點，最后進(jìn)行歸納總結(jié)它們的共性，理清學(xué)生的思路，引領(lǐng)學(xué)生掌握部分策略與路徑.

4 評價建議

評價學(xué)生關(guān)于整合課程的接受程度和學(xué)習(xí)效果，可以采用多種方法.本文從落實課程目標(biāo)的角度，給出以下建議：

（1）通過讓學(xué)生口述概念、辨析概念的正誤或舉例說明概念的建立過程等方式，評價學(xué)生第一層學(xué)習(xí)目標(biāo)是否達(dá)到，即對于概念的建立過程是否清晰.

（2）設(shè)計概念辨析類問題，或者讓學(xué)生分類列舉具體概念，來確定學(xué)生第二層學(xué)習(xí)目標(biāo)是否達(dá)到，即是否系統(tǒng)地、深入地理解概念.

（3）設(shè)置一系列相關(guān)的問題串，來檢驗學(xué)生是否能夠分析清楚概念之間的對應(yīng)關(guān)系，是否建立物理量之間的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò).

（4）創(chuàng)設(shè)問題情境，通過組織學(xué)生分析、討論、拓展研究等方法，判斷學(xué)生能否在實際情境中靈活運(yùn)用概念及其相關(guān)的內(nèi)容.

（5）讓學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，或讓學(xué)生進(jìn)行問題遷移，來引導(dǎo)學(xué)生分析問題時掌握策略性的路徑與方法并將一些策略與方法進(jìn)行遷移.

（收稿日期：2021-05-07）