馮世偉

(河南省新鄉(xiāng)市第二中學(xué) 453000)

在講排列組合復(fù)習(xí)課時(shí)，學(xué)生A拿著資料問我下面的一道題：

題目某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖1所示的6個(gè)點(diǎn)A，B，C，A1，B1，C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有____種(用數(shù)字作答).

此題是高考理科填空題第16題 (重慶卷)，這是一道“染色”問題與立體幾何結(jié)合的綜合試題，當(dāng)時(shí)就給學(xué)生如下分析：由條件知點(diǎn)A處有4種選擇，點(diǎn)B處有3種選擇，點(diǎn)C處有2種選擇，從而點(diǎn)A1處有3種選擇，點(diǎn)B1處與點(diǎn)A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點(diǎn)B1處也有3種選擇，點(diǎn)C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(種)方法.看數(shù)據(jù)與答案相符，當(dāng)時(shí)還有點(diǎn)沾沾自喜的“成就感”.在第二天上課時(shí)我就將此題在班里講了一下.

學(xué)生B說：“老師，您的解題思路有問題”.

我當(dāng)時(shí)持有懷疑的心理，為了鼓勵(lì)學(xué)生B，我還是說：“請(qǐng)你說說錯(cuò)誤之處”.

學(xué)生B說：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可導(dǎo)致最終只使用了三種顏色的情況出現(xiàn)”.

對(duì)呀!題目要求每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)，我向同學(xué)們說：我知道，我錯(cuò)了！究竟錯(cuò)在何處呢，為什么我的思路所得數(shù)據(jù)又和答案“如此完美的相符”呢？同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了老師的錯(cuò)誤，真是激情高漲，為了能盡快地糾正老師的錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)在班內(nèi)就熱火朝天地討論開了.

題意分析這是一道“染色”問題與立體幾何結(jié)合的綜合試題，解題時(shí)抓住題意，“同一條線段兩端的燈泡不同色”，同時(shí)要注意“每種顏色都要使用”的限制.

錯(cuò)解由條件知點(diǎn)A處有4種選擇，點(diǎn)B處有3種選擇，點(diǎn)C處有2種選擇，從而點(diǎn)A1有3種選擇，B1處與點(diǎn)A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點(diǎn)B1處也有3種選擇，點(diǎn)C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(種)方法.

錯(cuò)解分析錯(cuò)誤1：在指定了A，B，C的染色方法后，A1，B1的“任意性”可導(dǎo)致最終只使用了三種顏色的情況出現(xiàn).

錯(cuò)誤2：染A1固然有3種方法，但只有A1與B同色時(shí)，B1才有3種方法，否則就只有2種.

錯(cuò)誤3：對(duì)于A1，B1的不同染色,C1的染法不總是唯一確定的，如，A1與B1中有一個(gè)是第四種顏色，另一個(gè)與C同色時(shí)，C1有兩種染法(與A或B同色).

幾處錯(cuò)誤“交織”在一起，既有“增根”(不是重復(fù)，而是不符合題意)，又有“丟根”，而且何處“增”多少，何處“丟”多少，已難于用簡(jiǎn)短的語言交代清楚.“難能可貴的”是，其得數(shù)與正確答案相同！這正是該錯(cuò)誤的隱蔽之處.錯(cuò)解之錯(cuò)是思路之錯(cuò)，不可容忍，答案的“一致”僅僅是題設(shè)的數(shù)據(jù)造成的巧合，在數(shù)據(jù)改變之后，以這樣的錯(cuò)誤思路解題勢(shì)必鑄成大錯(cuò)，這也是危害所在，解這類問題，直接“分步”的過程中，不分類討論幾乎是不可能的.

下面看一道數(shù)學(xué)聯(lián)賽題(1995年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是多少？

方法1 以顏色為主分類討論

方法2以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)(可以以相鄰顏色最多的區(qū)域開始)

第一步先涂A，有5種，第二步再涂D(與A不同色)有4種，第三步涂E(與A，B不同色)有3種，此時(shí)只剩2種顏色染B，C，對(duì)角點(diǎn)可同色，C，A同色時(shí)，B與A(C)，E不同色有3種；C，A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種選擇的顏色，從而C，D染色有1×3+2×2，由乘法原理共有60×7=420種.

推廣1 用5種顏色將n棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是an=15[3n-1+(-1)n-2]；

推廣2用m(m≥4)種顏色將n(n≥3)棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色.如果只有m種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是an=m(m-2)[(m-2)n-1+(-1)n].

解題反思錯(cuò)解給了我們反思的機(jī)會(huì)，讓我們更加深刻地認(rèn)識(shí)到排列組合的本質(zhì)內(nèi)涵，分類計(jì)數(shù)原理(加法計(jì)數(shù)原理)和分步計(jì)數(shù)原理(乘法計(jì)數(shù)原理)是解決排列組合問題的最根本的方法.