廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，求通項公式和前n項和是數(shù)列的兩個基本問題，解答一般數(shù)列求和問題的基本思想是根據(jù)數(shù)列通項的特征，運用適當(dāng)?shù)姆椒?，把它轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列、或其它可求和數(shù)列的求和問題，常用的方法有：公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法、并項求和法、倒序相加法和錯位相減法等.下面以近年高考題為例，闡述如下：

一、公式法

如果數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么它的前n項和可直接用求和公式求得.公式法是數(shù)列求和最基本、最重要的方法.

例1(2020·海南)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{an}的通項公式；

(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1．

分析(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>1)，先用基本量法求出a1和q，再求出數(shù)列{an}的通項公式；

(2)依題意，數(shù)列{(-1)n-1anan+1}是以a1a2為首項，-q2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，即可求出答案．

解析(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>1)，

所以an=2·2n-1=2n．

點評本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬于基礎(chǔ)題．

二、分組轉(zhuǎn)化法

如果數(shù)列的各項是由若干個可求和數(shù)列的對應(yīng)項之和構(gòu)成，那么這個數(shù)列的前n項和可用分組轉(zhuǎn)化法求得，這個數(shù)列的前n項和等于這些數(shù)列前n項和的和.分組轉(zhuǎn)化法是數(shù)列求和常用的方法之一.

解題步驟：(1)把已知數(shù)列拆分成若干個可求和的數(shù)列；(2)求出各個數(shù)列的前n項和；(3)把所得的結(jié)果相加.例如，數(shù)列{an+b+cqn-1}可拆分成數(shù)列{an+b}和{cqn-1}等.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)bn=2an+(-1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．

所以數(shù)列{bn}的前2n項和為22n+1+n-2．

點評本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的方法，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題．

三、裂項相消法

如果數(shù)列的通項可以拆分成兩項之差，并且在求和時大部分中間項可以相互抵消，只剩下首尾有限項，那么這個數(shù)列的前n項和可用裂項相消法求得.裂項相消法是數(shù)列求和重要的方法之一.

解題步驟：(1)把通項拆分成兩項之差；(2)寫出和式；(3)化簡.

(1)求{an}的通項公式;

分析(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法可以求出{an}的通項公式；

因為an>0，所以an+1-an=2.

所以{an}是首項為3，公差d=2的等差數(shù)列.

所以{an}的通項公式an=3+2(n-1)=2n+1.

點評本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

分組轉(zhuǎn)化法與裂項相消法本質(zhì)上都是拆：前者是把數(shù)列拆分成若干個可以分別求和的數(shù)列；后者是把數(shù)列拆分成兩個大部分項可以相互抵消的數(shù)列.

四、并項求和法

如果依次把數(shù)列相鄰的若干項合并，可以構(gòu)成一個新的可以求和的數(shù)列，那么這個數(shù)列的前n項和可用并項求和法求得.并項求和法是數(shù)列求和常用的方法之一.

解題步驟：(1)依次把數(shù)列相鄰的若干項合并；(2)構(gòu)造新數(shù)列；(3)求新數(shù)列各項之和.形如{(-1)n(an+b)}的數(shù)列、周期數(shù)列等求和問題都可用此法.

分析易知，數(shù)列{an}是周期數(shù)列，且周期為4.算出ai(i=1,2,3,4)的值，即可算出所求的結(jié)果．

點評本題主要考查數(shù)列的求和方法，正確找出數(shù)列{an}的周期性是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.

例5(2012·新課標(biāo))數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為____．

分析這是一個遞推公式中含有(-1)n的數(shù)列求和問題，可按奇數(shù)項、偶數(shù)項分別找出各項之間的規(guī)律，進而求出結(jié)果.

解析因為an+1+(-1)nan=2n-1，

所以an+2+(-1)n+1an+1=2n+1.

兩式相減，得an+2+an=2.

所以S奇=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.

兩式相加，得an+2+an=4n.

故{an}的前60項和S=S奇+S偶=30+1800=1830.

點評本題考查數(shù)列的遞推公式，考查用分組轉(zhuǎn)化法和并項求和法求數(shù)列的前n項和，運用分類討論思想分別找出奇數(shù)項、偶數(shù)項之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．

五、倒序相加法

推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法就是倒序相加法.一般地，如果數(shù)列中與首尾等距離的兩項之和相等，那么這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法求得.倒序相加法也是數(shù)列求和常用的方法之一.

設(shè)S=f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6)，

則S=f(6)+f(5)+…+f(-4)+f(-5).

并項求和法與倒序相加法本質(zhì)上都是合：前者是依次把數(shù)列相鄰的若干項合并，構(gòu)成一個新的可以求和的數(shù)列；后者是把兩個數(shù)列(原數(shù)列和倒序數(shù)列)中的對應(yīng)項依次合并，構(gòu)成一個新的可以求和的數(shù)列.

六、錯位相減法

推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法就是錯位相減法.一般地，如果數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成，那么這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求得.即形如{(an+b)qn-1}的數(shù)列求和都可以用錯位相減法.錯位相減法也是數(shù)列求和的重要方法之一.

例7(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根．

(1)求{an}的通項公式；

分析(1)解出方程的根，根據(jù)遞增數(shù)列求出a2，a4的值，從而求出通項；

(2)將(1)中求得的通項代入，用錯位相減法求和．

①

②

點評本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

綜上，盡管數(shù)列求和的考查形式千變?nèi)f化，但是其解法的本質(zhì)卻一成不變，歸根結(jié)底就是根據(jù)通項公式的特征，把一般數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的求和問題.只有靈活掌握所學(xué)知識，深刻領(lǐng)會求和方法的思想精髓，才能運用自如，得心應(yīng)手，真正提升自己的解題能力.