余業(yè)兵 蔣中海

(西南大學(xué)附屬中學(xué)校 400700)

當(dāng)我們解決一道新題目時(shí)，G·波利亞告訴我們較好的想法是這樣的： “你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？”，“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”， “你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？”.有時(shí)候有些題目具有一定的代表性，我們可以發(fā)現(xiàn)一類本質(zhì)屬性與它相關(guān)、相似或者是相近的一類題目，我們把這樣的題目叫做這一類題目的模型，有的也把它稱作是這一類題目的母題，如果我們能夠深刻理解模型題(母題)的本質(zhì)屬性或者關(guān)鍵屬性，遇到的相關(guān)題目也就迎刃而解了.本文基于這樣的解題思路，就一道數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽壓軸題的母題模型、模型本質(zhì)、解題視角、各種解法做深入的探究與分析.

一、題目呈現(xiàn)

題目分析題目考查學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形、分析圖形，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決圖形中線段比例、三角形面積等相關(guān)問題的能力，考慮到是最后一個(gè)題，命題者故意做了一定的偽裝，穿了幾件衣服，顯得較為新穎，有一定的難度.幾何題的關(guān)鍵在于認(rèn)清典型圖形與圖形之間的關(guān)系，通過細(xì)致分析不難發(fā)現(xiàn)題目中圖形關(guān)系的關(guān)鍵在于“點(diǎn)O分BN成的比和點(diǎn)N分AC成的比是確定的”，找到這個(gè)關(guān)鍵后再思考我們見過與它相關(guān)、相似或者是相近的題目嗎？通過仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)下面這個(gè)典型常見模擬題與本題的關(guān)鍵要素是相近的，圖形關(guān)系本質(zhì)上是一致的.

模型分析該題是一道傳統(tǒng)的向量題，可以采用經(jīng)典解法“封閉圖形加基底表示”或者“三點(diǎn)共線的充要條件”，而它又是一道幾何題，故既可以利用平面幾何中處理線段比例的常見方法(平型切割或者梅勞定理)，也可以采用解析幾何中用坐標(biāo)表示的方法(由于和目標(biāo)題目解法想通，就不具體分析了，留給讀者自己分析).而目標(biāo)試題顯然與模型試題圖形本質(zhì)上是一致的，再加上三角形中面積的不同處理方法，各種解法也就任性而自然地生成了.

二、解法探析

1.平面幾何視角

解法三(面積公式)我們可以采用不同的方法計(jì)算面積，其它的同解法一、解法二.

解法點(diǎn)評(píng)先從平面幾何的視角來看，對(duì)付線段比例問題最常用的方法是“平行切割”，就像解法一那樣，只要作出適當(dāng)?shù)钠叫芯€，利用圖形中被平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例就可以了，解法常規(guī)、簡潔優(yōu)美；除了這種方法，競賽中也可以選擇“梅涅勞斯”定理這個(gè)對(duì)付線段成比例的通法，就像解法二那樣重復(fù)使用“梅涅勞斯”定理可以輕松解決，思路單一而簡潔；解法四采用了面積法，更是別有一番風(fēng)味，讓人眼前一亮.再有就是可以采取不同的面積的處理方式，解法一中的處理顯得巧妙而簡單，解法二、四中的處理都是常用面積處理方法.

2.平面向量視角

解法點(diǎn)評(píng)向量作為一個(gè)好用的工具，在處理幾何問題和代數(shù)問題上都有廣泛的應(yīng)用，解法五、解法六中向量常見的運(yùn)算意識(shí)，基底意識(shí)、三點(diǎn)共線模型意識(shí)、封閉圖形意識(shí)、待定系數(shù)意識(shí)都得到了充分的應(yīng)用，具有一定的代表性.

3.解析幾何視角

解法七(坐標(biāo)法)如圖5，考慮到這是一道填空題，而 “點(diǎn)O分BN成的比和點(diǎn)N分AC成的比”不會(huì)因?yàn)槿切涡螤畹母淖兌淖?，也就保證了圖形中的三角形面積比例不會(huì)發(fā)生改變，只要保證“AC=a，OD=d”這個(gè)條件，就可以把三角形特殊化，不妨讓AB⊥AC，以AB、AC分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C(a,0)，設(shè)B(0,b)，由易得由易得再結(jié)合可求得這就求出了于是直線令y=0可得：這就求出了至于求面積既可以回到解法二、解法三，也可以算弦長和點(diǎn)到直線的距離，只需要讓就行了.

解法點(diǎn)評(píng)解析的精髓在于利用代數(shù)計(jì)算的方式解決幾何問題，使用時(shí)恰當(dāng)坐標(biāo)系的選取尤其重要，解法七巧妙地利用了圖形特殊化后“線段比例”不會(huì)改變、面積比列也不改變這兩個(gè)事實(shí)，實(shí)現(xiàn)了小題小解、小題巧解.

三、解后反思

頓悟絕非空隙來風(fēng)，巧解也不會(huì)憑空產(chǎn)生，解題思維的產(chǎn)生往往是新的刺激信息與以往解題經(jīng)驗(yàn)在大腦中綜合作用的結(jié)果，要想解題得法、解得有法、解答多法，就需要我們在日常的教學(xué)與學(xué)習(xí)中注意總結(jié)、多多積累，吃透題目模型的本質(zhì)屬性，厘清各種數(shù)學(xué)要素的相互關(guān)系，把握解題的關(guān)鍵鑰匙，這樣，在遇到一道新的題目時(shí)，由于“模型本質(zhì)心中藏”，也就自然而然“解法由我不由天”了.