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        一道北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題模型本質(zhì)與多解探析

        2021-08-19 07:51:24余業(yè)兵蔣中海
        數(shù)理化解題研究 2021年22期
        關(guān)鍵詞:線段比例三角形

        余業(yè)兵 蔣中海

        (西南大學(xué)附屬中學(xué)校 400700)

        當(dāng)我們解決一道新題目時(shí),G·波利亞告訴我們較好的想法是這樣的: “你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎?”,“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎?”, “你能利用它嗎?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?”.有時(shí)候有些題目具有一定的代表性,我們可以發(fā)現(xiàn)一類本質(zhì)屬性與它相關(guān)、相似或者是相近的一類題目,我們把這樣的題目叫做這一類題目的模型,有的也把它稱作是這一類題目的母題,如果我們能夠深刻理解模型題(母題)的本質(zhì)屬性或者關(guān)鍵屬性,遇到的相關(guān)題目也就迎刃而解了.本文基于這樣的解題思路,就一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽壓軸題的母題模型、模型本質(zhì)、解題視角、各種解法做深入的探究與分析.

        一、題目呈現(xiàn)

        題目分析題目考查學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形、分析圖形,綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決圖形中線段比例、三角形面積等相關(guān)問(wèn)題的能力,考慮到是最后一個(gè)題,命題者故意做了一定的偽裝,穿了幾件衣服,顯得較為新穎,有一定的難度.幾何題的關(guān)鍵在于認(rèn)清典型圖形與圖形之間的關(guān)系,通過(guò)細(xì)致分析不難發(fā)現(xiàn)題目中圖形關(guān)系的關(guān)鍵在于“點(diǎn)O分BN成的比和點(diǎn)N分AC成的比是確定的”,找到這個(gè)關(guān)鍵后再思考我們見(jiàn)過(guò)與它相關(guān)、相似或者是相近的題目嗎?通過(guò)仔細(xì)分析,我們發(fā)現(xiàn)下面這個(gè)典型常見(jiàn)模擬題與本題的關(guān)鍵要素是相近的,圖形關(guān)系本質(zhì)上是一致的.

        模型分析該題是一道傳統(tǒng)的向量題,可以采用經(jīng)典解法“封閉圖形加基底表示”或者“三點(diǎn)共線的充要條件”,而它又是一道幾何題,故既可以利用平面幾何中處理線段比例的常見(jiàn)方法(平型切割或者梅勞定理),也可以采用解析幾何中用坐標(biāo)表示的方法(由于和目標(biāo)題目解法想通,就不具體分析了,留給讀者自己分析).而目標(biāo)試題顯然與模型試題圖形本質(zhì)上是一致的,再加上三角形中面積的不同處理方法,各種解法也就任性而自然地生成了.

        二、解法探析

        1.平面幾何視角

        解法三(面積公式)我們可以采用不同的方法計(jì)算面積,其它的同解法一、解法二.

        解法點(diǎn)評(píng)先從平面幾何的視角來(lái)看,對(duì)付線段比例問(wèn)題最常用的方法是“平行切割”,就像解法一那樣,只要作出適當(dāng)?shù)钠叫芯€,利用圖形中被平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例就可以了,解法常規(guī)、簡(jiǎn)潔優(yōu)美;除了這種方法,競(jìng)賽中也可以選擇“梅涅勞斯”定理這個(gè)對(duì)付線段成比例的通法,就像解法二那樣重復(fù)使用“梅涅勞斯”定理可以輕松解決,思路單一而簡(jiǎn)潔;解法四采用了面積法,更是別有一番風(fēng)味,讓人眼前一亮.再有就是可以采取不同的面積的處理方式,解法一中的處理顯得巧妙而簡(jiǎn)單,解法二、四中的處理都是常用面積處理方法.

        2.平面向量視角

        解法點(diǎn)評(píng)向量作為一個(gè)好用的工具,在處理幾何問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題上都有廣泛的應(yīng)用,解法五、解法六中向量常見(jiàn)的運(yùn)算意識(shí),基底意識(shí)、三點(diǎn)共線模型意識(shí)、封閉圖形意識(shí)、待定系數(shù)意識(shí)都得到了充分的應(yīng)用,具有一定的代表性.

        3.解析幾何視角

        解法七(坐標(biāo)法)如圖5,考慮到這是一道填空題,而 “點(diǎn)O分BN成的比和點(diǎn)N分AC成的比”不會(huì)因?yàn)槿切涡螤畹母淖兌淖?,也就保證了圖形中的三角形面積比例不會(huì)發(fā)生改變,只要保證“AC=a,OD=d”這個(gè)條件,就可以把三角形特殊化,不妨讓AB⊥AC,以AB、AC分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則C(a,0),設(shè)B(0,b),由易得由易得再結(jié)合可求得這就求出了于是直線令y=0可得:這就求出了至于求面積既可以回到解法二、解法三,也可以算弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離,只需要讓就行了.

        解法點(diǎn)評(píng)解析的精髓在于利用代數(shù)計(jì)算的方式解決幾何問(wèn)題,使用時(shí)恰當(dāng)坐標(biāo)系的選取尤其重要,解法七巧妙地利用了圖形特殊化后“線段比例”不會(huì)改變、面積比列也不改變這兩個(gè)事實(shí),實(shí)現(xiàn)了小題小解、小題巧解.

        三、解后反思

        頓悟絕非空隙來(lái)風(fēng),巧解也不會(huì)憑空產(chǎn)生,解題思維的產(chǎn)生往往是新的刺激信息與以往解題經(jīng)驗(yàn)在大腦中綜合作用的結(jié)果,要想解題得法、解得有法、解答多法,就需要我們?cè)谌粘5慕虒W(xué)與學(xué)習(xí)中注意總結(jié)、多多積累,吃透題目模型的本質(zhì)屬性,厘清各種數(shù)學(xué)要素的相互關(guān)系,把握解題的關(guān)鍵鑰匙,這樣,在遇到一道新的題目時(shí),由于“模型本質(zhì)心中藏”,也就自然而然“解法由我不由天”了.

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