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        一道“極值點偏移”試題的解答之旅

        2021-08-19 08:28:34
        數(shù)理化解題研究 2021年22期
        關(guān)鍵詞:消元證法合肥市

        鄭 良

        (安徽省合肥市第四中學 230000)

        “極值點偏移”是高考數(shù)學的常見問題,但不少師生仍然覺得此類問題解法零碎、解題過程繁瑣,對此類問題感到困惑與迷茫.本文簡要呈現(xiàn)教學過程中師生對一道“極值點偏移”試題的思考與求解歷程,嘗試對各種解法進行梳理,以期拋磚引玉.

        題目已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+b(a,b∈R)有兩個不同的零點為x1,x2.

        綜上所述,a>0,函數(shù)f(x)的最大值為-lna-1+b,無最小值.

        (2)由(1)可知,函數(shù)f(x)有兩個不同的零點為x1,x2,則必有a>0(下同).

        證法1嘗試消去參數(shù)a,齊次化消元

        證法2利用對數(shù)平均值不等式

        證法3嘗試構(gòu)造對稱函數(shù)進行轉(zhuǎn)化

        多數(shù)學生嘗試如下:

        因為函數(shù)f(x)=lnx-aelnx+b有兩個不同的零點為x1,x2,所以s1=lnx1,s2=lnx2是方程s-aes+b=0的兩個根,只需證明s1+s2<-2lna.

        在同一坐標系中,畫出函數(shù)y=p(s)和y=q(s)的圖像,如圖2所示.A(s1,0),B(s2,0),C(-2lna-s2,0),D(-2lna-s1,0),E(-2lna-s1,p(-2lna-s1)).p(s2)=p(s1)=q(-2lna-s1)>p(-2lna-s1),而s2,-2lna-s1∈(-lna,+∞),而函數(shù)p(s)在(-lna,+∞)上單調(diào)遞減,得s2<-2lna-s1,所以s2+s1<-2lna.

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