杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 610100)

一、試題呈現(xiàn)

子題2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練(數(shù)學(xué)17題)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

母題在人教A版新課標(biāo)教材必修《數(shù)學(xué)5》中第二章《數(shù)列》復(fù)習(xí)參考題B組第69頁(yè)第6題：

(1)已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

筆者通過(guò)對(duì)母題進(jìn)行分析、思考、探索，得到下面8種解答，目的是對(duì)這類由數(shù)列的二階線性遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法進(jìn)行歸納，以達(dá)到拋磚引玉的作用，也希望讀者仿照解法對(duì)模擬演練試題(子題)進(jìn)行多角度求解!

二、母題解法

解法1 (教參提供解法)(建立方程組)由an=2an-1+3an-2(n≥3)得：an+an-1=3(an-1+an-2)以及an-3an-1=-(an-1-3an-2)，所以數(shù)列{an+an-1}是以a2+a1=7為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an+an-1=7·3n-2,

解法5 (構(gòu)造輔助數(shù)列)

解法6(分類討論)用逐項(xiàng)相消，再用奇偶討論

由an+an-1=7·3n-2，得n-1個(gè)等式a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33…an+an-1=7×3n-2.

三、解法點(diǎn)評(píng)

解法1利用遞推數(shù)列中的項(xiàng)的系數(shù)合理分解組合，構(gòu)造出兩等比數(shù)列，再利用方程組求解，這也是解法3待定系數(shù)法的特例，考查了學(xué)生多想少算的解題策略，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化劃歸思想；解法2、4、5靈活運(yùn)用常數(shù)的“功效”進(jìn)一步將遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尤其采用解法2針對(duì)相鄰兩項(xiàng)和的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式可以避免“二次”待定系數(shù)法，且學(xué)生容易接受；解法6體現(xiàn)了分類討論思想在數(shù)列中的高頻運(yùn)用，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探究興趣；解法7是本例常見的一種通法，但要留意特征方程根的個(gè)數(shù)，限于篇幅，請(qǐng)讀者查閱相關(guān)資料進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)特征方程.利用遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式是高考的命題熱點(diǎn)之一，解決這類問題的方法很多，但不同策略目標(biāo)是進(jìn)一步將遞推數(shù)列劃歸轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，即所謂解決數(shù)列問題的“大格局”.

縱觀2021年新高考八省模擬演練數(shù)學(xué)試題，筆者發(fā)現(xiàn)，試題體現(xiàn)了新高考的特點(diǎn)即：在秉承素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的原則下，突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力，彰顯了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展“四能”的意識(shí).尤其是大量的試題創(chuàng)新設(shè)置豐富了試題的內(nèi)容和形式、優(yōu)化了試卷的結(jié)構(gòu).大量試題的背景來(lái)源依然是學(xué)生“熟悉”的面孔，只是呈現(xiàn)的形式換了“包裝”，細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)實(shí)際模擬17題明顯在教材的難度上降下了臺(tái)階，只要平時(shí)教學(xué)留意，學(xué)生順利完成不難.

波利亞曾說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但不太負(fù)載的題目，幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”教材許多例題、習(xí)題看似平常，實(shí)際上卻有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間.縱觀近幾年全國(guó)各地高考題，模擬題均能找到課本習(xí)題、例題的影子，真正體現(xiàn)源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識(shí)和思想方法，變化的無(wú)非是情景的呈現(xiàn)形式、問題的結(jié)構(gòu)方式.這就要求平時(shí)在教學(xué)中，尤其典型例題和習(xí)題不但要講,還要講深講透,同時(shí)還要進(jìn)行一題多解多變, 既可以開拓學(xué)生的視野，又可以最大限度的發(fā)揮習(xí)題的最大功效，使之知一題懂一類.