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        尋找臨界點 巧破恒成立

        2021-08-19 08:27:16劉明遠(yuǎn)
        數(shù)理化解題研究 2021年22期
        關(guān)鍵詞:極限值綜上切點

        劉明遠(yuǎn)

        (河北省灤南縣第一中學(xué) 063500)

        “不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題”一直活躍在各級考試之中,尤其是高考題中尤為常見.因為這類題目綜合性強(qiáng),難度大,能力要求高,很多學(xué)生望而生畏,無從下手,但這種題目中,其本質(zhì)根源在于參數(shù)變化時,函數(shù)的圖像與x軸的關(guān)系出現(xiàn)交、切這兩種臨界情況,所以尋找臨界值點——區(qū)間端點和切點,此類問題便可輕松求解,下面舉例說明.

        一、只存在“切點”

        若函數(shù)在所給區(qū)間的端點沒有意義,則只考慮切點,便可求出參數(shù)的取值范圍.

        例1(2020年高考山東卷·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

        (1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

        (2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        分析(1)略.(2)因為定義域為(0,+∞),所以此類題目的臨界值沒有“區(qū)間端點”,因此只考慮“切點”,便可求出參數(shù)的取值范圍,即f(x) 與y=1相切.

        綜上,該題結(jié)果為a≥1.

        解析(1)略.

        (2)由f(1)≥1得a+lna≥1,解得a≥1.

        當(dāng)a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

        二、只存在“區(qū)間端點”

        若函數(shù)在所給區(qū)間不能與x軸相切,則只考慮區(qū)間端點,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間端點有意義,應(yīng)先代入端點值滿足題設(shè),若此時不能求出參數(shù)的范圍,則考慮變量分離,用端點的極限值便能求出參數(shù)的范圍.

        例2(2010年新課標(biāo)卷·21)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.若當(dāng)x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍.

        分析①考慮區(qū)間端點.f(0)=0顯然成立,即a∈R,所以此時應(yīng)考慮極限值.

        ②考慮相切.設(shè)f(x)與x軸相切于(t,0)(t>0),則f(t)=0;f′(t)=0,所以et-at2-t-1=0;et-2at-1=0,消去a得(t-2)et+t+2=0,解得t=0(舍).

        三、存在“區(qū)間端點”和“切點”

        若函數(shù)在所給區(qū)間端點處有意義且存在與x軸相切的情況,則參數(shù)的范圍為兩種臨界狀態(tài)的交集.

        例3(2013年高考全國Ⅰ卷·21題改編)已知f(x)=x2+4x+2,g(x)=ex(2x+2),若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

        分析①考慮區(qū)間端點.f(-2)≤kg(-2),所以-2≤-2ke-2,因此k≤e2.

        ②考慮相切.設(shè)h(x)=f(x)-kg(x)與x軸相切于(t,0),則h(t)=0;h′(t)=0,所以t2+4t+2-ket(2t+2)=0;2t+4-ket(2t+4)=0,解得t=0或-2,所以由f(0)≤kg(0)得2≤2k,解得k≥1.

        綜上,該題結(jié)果為1≤k≤e2.

        解析由f(-2)≤kg(-2)得k≤e2;由f(0)≤kg(0)得k≥1,所以1≤k≤e2.

        設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).

        令F′(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.

        (2)若k=e2,則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2),從而當(dāng)x>-2時,F(xiàn)′(x)>0,故F(x)在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而F(-2)=0,故當(dāng)x≥-2時,F(xiàn)(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

        綜合,k的取值范圍是[1,e2].

        例4(2020年高考全國Ⅰ卷理科·21)已知f(x)=ex+ax2-x.

        (1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

        分析(1)略.

        解析(1)略.

        從以上4例可以看出,參數(shù)的取值范圍主要與臨界值點——區(qū)間端點和切點有關(guān),從這兩種點出發(fā),求出各自對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍,最終的交集就是題目答案,這種方法尤其對于選擇填空題更為有效,讀者可以自行實驗,在此不再贅述.

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