楊 光,丁玉發(fā)

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,沈陽 110034)

0 引 言

在現(xiàn)代化工業(yè)進程中,伺服系統(tǒng)作為核心部件被廣泛應(yīng)用。伺服系統(tǒng)主要由速度環(huán)、電流環(huán)以及二質(zhì)量系統(tǒng)構(gòu)成,二質(zhì)量系統(tǒng)又由電機、負載以及它們之間的傳動裝置連接而成。然而,這些傳動裝置并不都是理想剛性結(jié)構(gòu),大多采用機械負載與旋轉(zhuǎn)電機驅(qū)動之間的彈性耦合機械結(jié)構(gòu)。彈性耦合機械結(jié)構(gòu)包含固有的諧振頻率,在執(zhí)行高動態(tài)動作指令時可能會產(chǎn)生明顯的機械振動[1],長時間的振動會導(dǎo)致傳動部件轉(zhuǎn)矩過大而受損,降低設(shè)備的使用壽命,甚至?xí)苯邮乖O(shè)備報廢,因此有效抑制機械諧振是十分重要的。

針對諧振抑制問題,有許多解決辦法。這些解決方法主要有主動和被動2種方式。主動方式主要通過改變設(shè)計的控制器的參數(shù)或結(jié)構(gòu)抑制機械諧振;被動方式則是在保持系統(tǒng)的其他設(shè)計不變的前提下,通過在伺服系統(tǒng)中級聯(lián)陷波濾波器達到抑制諧振的目的。主動方式主要分為基于PI的反饋控制[2-3]、PI控制[4-5]以及其他許多高級算法[6-8]等。利用極點配置設(shè)計PI控制器,雖然可以利用改變閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)改善伺服系統(tǒng)的性能[9],但這種方法也存在一定的缺陷。利用模型預(yù)測控制器也可以抑制機械諧振,這一方法可以通過對電磁轉(zhuǎn)矩進行預(yù)測輸出達到目的,但是該方法也有一定的局限性,這種方法在軸系剛度等電機參數(shù)已知的條件下才能使用,而實際上這些參數(shù)是未知的,而且又不易辨識,因此在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用價值并不高[10]。

本文提出了一種在伺服系統(tǒng)中級聯(lián)陷波濾波器的方法進行諧振抑制。通過在系統(tǒng)中加入陷波濾波器,根據(jù)已知的諧振頻率,并考慮相角裕度和幅值與閾值的相對大小,直接確定陷波濾波器的參數(shù),并不需要手動調(diào)節(jié)參數(shù),從而使之既能抑制諧振又能保持系統(tǒng)穩(wěn)定,還可以提高抑制的效率。

1 模型建立

圖1是簡化的二質(zhì)量系統(tǒng)的模型。

圖1 二質(zhì)量系統(tǒng)模型Fig.1 Two mass system model

為了便于分析,設(shè)傳動部分無間隙,忽略電機的摩擦轉(zhuǎn)矩,可以得到如下的動力學(xué)方程:

(1)

其中:Jm和Jl分別表示等效電機慣量和等效負載慣量;ωm和ωl分別表示電機側(cè)和負載側(cè)旋轉(zhuǎn)的角速度;θm和θl分別表示電機側(cè)和負載側(cè)旋轉(zhuǎn)的角度位置;Te表示電機的輸出轉(zhuǎn)矩;Ts表示彈性阻尼矩;Tl表示電機的負載轉(zhuǎn)矩;Ks表示傳動剛度;KW表示粘滯阻尼系數(shù)。

二質(zhì)量系統(tǒng)傳動部分的傳遞函數(shù)為

(2)

圖2 諧振環(huán)節(jié)的Bode圖Fig.2 Bode diagram of resonance link

其中諧振和反諧振頻率分別為Bode圖中幅值最大點和最小點對應(yīng)的頻率。

通常,二質(zhì)量系統(tǒng)的電機與負載之間存在彈性傳動,這就使得傳動部分的傳遞函數(shù)產(chǎn)生2個復(fù)共軛極點,因而導(dǎo)致伺服系統(tǒng)機械諧振的發(fā)生。根據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件[11],本文主要采用在伺服系統(tǒng)中級聯(lián)陷波濾波器進行諧振抑制。其中,陷波濾波器的作用就是消除這一對共軛極點,或者將其調(diào)整到優(yōu)化位置[12],從而諧振抑制。本文在傳統(tǒng)的陷波濾波器參數(shù)確定方法上進行改進,結(jié)合考慮相角裕度和幅值與閾值的相對大小,直接確定出陷波濾波器的寬度和深度參數(shù),從而提高諧振抑制的效率。

2 陷波濾波器設(shè)計

陷波濾波器作為一種常用的帶阻濾波器,主要通過將某一頻率點的輸入信號迅速衰減到指定范圍,從而阻礙該頻率信號的通過。陷波濾波器的優(yōu)點在于可以將指定頻率點處的幅值衰減到特定值以下,對其他頻率點沒有任何影響,目前廣泛采用的是諧振抑制方法。

2.1 陷波濾波器的原理

典型的陷波濾波器的傳遞函數(shù)為

(3)

其中:ω0是陷波中心頻率;ξ是深度參數(shù);k是寬度參數(shù)。

將陷波濾波器與二質(zhì)量系統(tǒng)級聯(lián)[13-14],并根據(jù)確定出的諧振頻率調(diào)節(jié)陷波濾波器的參數(shù)抑制諧振。于是根據(jù)上述分析,級聯(lián)陷波器的傳遞函數(shù)為

G0(s)=Gr(s)GN(s)

(4)

2.2 陷波濾波器的參數(shù)確定

由式(2)可知,當電機的參數(shù)已知時,伺服系統(tǒng)的諧振頻率便確定下來。利用陷波濾波器進行諧振抑制需要確定如下參數(shù):陷波的中心頻率ω0、陷波的寬度k以及深度ξ,其中中心頻率ω0就是諧振頻率ωn。因此,本節(jié)將重點分析陷波濾波器的寬度參數(shù)k和深度參數(shù)ξ對諧振的影響,以及這2個參數(shù)的確定方法[15]。

2.2.1 深度和寬度參數(shù)分析

對式(3)選用不同的深度和寬度參數(shù),由文獻[16]可知,當寬度參數(shù)固定時,逐漸增大深度參數(shù),陷波中心頻率處的幅值衰減也逐漸增大,而對應(yīng)的相角裕度逐漸減小;當深度參數(shù)固定時,逐漸增大寬度參數(shù),陷波中心頻率處的幅值衰減也逐漸增大,而對應(yīng)的相角裕度逐漸減小。因此,如果深度和寬度參數(shù)選取過大,會使相角裕度變小導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,所以利用陷波濾波器進行諧振抑制時應(yīng)選擇適當?shù)膶挾群蜕疃葏?shù),保證在抑制諧振的同時還能維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2.2 寬度參數(shù)和深度參數(shù)的確定方法

設(shè)定一個閾值Hth,當中心頻率ω0處的幅值在閾值以下時認為不發(fā)生諧振。如圖3所示,二質(zhì)量系統(tǒng)的幅頻特性曲線與閾值有2個交點,交點橫坐標記為ω1和ω2。利用陷波濾波器對二質(zhì)量系統(tǒng)進行諧振抑制,將其所有頻率點處的幅值衰減到閾值以下,即使得級聯(lián)陷波器在ω1,ω2以及中心頻率ω0處的幅值全都低于閾值Hth。

圖3 給定參考閾值下二質(zhì)量系統(tǒng)的Bode圖Fig.3 Bode diagram of two mass system with given reference threshold

由式(4),級聯(lián)陷波器的傳遞函數(shù)為

令s=jω,則可以確定級聯(lián)陷波器在任一頻率點處的幅值:

(5)

由式(5)可以計算出級聯(lián)陷波器在ω1,ω2和中心頻率ω0處的幅值H(ω1),H(ω2),Hmax,于是得到一個不等式組:

(6)

解不等式組(6),可以得到關(guān)于陷波的寬度k和深度ξ的不等式。

要想既能抑制諧振,又能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需保證相角裕度γ≥45°,其中相角裕度γ=180°+argG(jωc),ωc稱為剪切頻率。于是得到

γ=180°+argG(jωc)≥45°

(7)

解不等式(7),又可以得到關(guān)于陷波的寬度k和陷波的深度ξ的不等式。聯(lián)立式(6)和式(7),即可以得到陷波的寬度k和深度ξ的值。

3 仿真與討論

根據(jù)第2節(jié)中提出的陷波濾波器的參數(shù)確定方法,現(xiàn)對實驗結(jié)果進行仿真。

表1 伺服系統(tǒng)機械仿真的參數(shù)Table 1 Parameters of servo system mechanical simulation

根據(jù)式(2)可以算出,諧振頻率ωn=281.276 2,諧振阻尼系數(shù)ξr=0.110 5,諧振反諧振比系數(shù)p=0.177 0。由上述提出的參數(shù)確定方法,得到陷波濾波器的中心頻率ω0=281.276 2,陷波深度ξ=0.375 5,陷波寬度k=37.081 4。抑制前后的Bode圖如圖4所示。

圖4 抑制前后二質(zhì)量系統(tǒng)的Bode圖Fig.4 Bode diagram of two mass systems before and after suppression

從圖4可以看出,二質(zhì)量系統(tǒng)在ω1,ω2以及中心頻率ω0處的幅值均降到閾值以下,此時認為系統(tǒng)不發(fā)生諧振,這就說明了機械諧振得到了有效抑制。

4 結(jié) 論

在工業(yè)領(lǐng)域中,伺服系統(tǒng)作為核心部件應(yīng)用廣泛。在伺服系統(tǒng)中,機械諧振是降低機器壽命的主要原因,長時間發(fā)生機械諧振就會降低機器的壽命甚至?xí)乖O(shè)備報廢,因此抑制機械諧振是十分重要的。本文提出了在伺服系統(tǒng)中加入陷波濾波器的方法,在保證系統(tǒng)在等于閾值的頻率點處以及諧振頻率處的幅值都低于閾值的前提下,通過增大相角裕度保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,直接確定出陷波器的參數(shù),克服了以往手動調(diào)節(jié)陷波濾波器參數(shù)的缺陷,從而既能抑制諧振,又能使系統(tǒng)穩(wěn)定,還能提高諧振抑制的效率。由此帶來的經(jīng)濟及社會效益也將會是非?？捎^的。