呂仲艷，溫秀蘭，崔偉祥，喬貴方

(南京工程學(xué)院自動化學(xué)院，江蘇南京 211167)

0 引言

自2017年，國家正式啟動并實施“智能機(jī)器人”重點專項研發(fā)計劃，推進(jìn)我國工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展[1]。目前，工業(yè)機(jī)器人已大規(guī)模應(yīng)用于焊接、檢測、分揀等領(lǐng)域[2-3]。為使工業(yè)機(jī)器人更多的應(yīng)用于高端制造領(lǐng)域，要求機(jī)器人具有更高的精度，工業(yè)機(jī)器人的精度主要分為重復(fù)定位精度和絕對定位精度。目前，工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)定位精度可達(dá)到0.02～0.1 mm，而絕對定位精度僅為mm級，無法滿足高端制造領(lǐng)域的精度要求。工業(yè)機(jī)器人參數(shù)誤差主要分為關(guān)節(jié)誤差、運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差和非運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差[4]。其中，運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差占總誤差的80%以上[5]，通過機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定能夠有效地提高工業(yè)機(jī)器人的絕對定位精度[6]。

運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識準(zhǔn)確性與測量位姿點的選擇有關(guān)[7]。M. R. Driels和U. S. Pathre[8]研究了影響機(jī)器人標(biāo)定的因素，證實了合理選擇測量位姿可以有效提高機(jī)器人標(biāo)定的魯棒性。如果所選位姿集的位置誤差對運(yùn)動學(xué)參數(shù)不敏感，那么傳感器噪聲等非運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差就會對末端位姿誤差起主要作用，從而降低了運(yùn)動學(xué)參數(shù)的標(biāo)定精度。因此，在測量前選取最優(yōu)的位姿點集，可以提高末端位置誤差對運(yùn)動學(xué)參數(shù)的敏感程度，提高絕對位置精度和標(biāo)定結(jié)果的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]根據(jù)誤差模型的擴(kuò)展雅克比矩陣的奇異值提出可觀測指數(shù)O1～O5，可以用來衡量運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差在總誤差中的敏感度。文獻(xiàn)[10]研究表示5個可觀測指數(shù)的作用不同，其選擇方式主要與實驗?zāi)康挠嘘P(guān)，當(dāng)以參數(shù)方差最小化為目標(biāo)時，O1是最優(yōu)準(zhǔn)則，且O1是一個在任何非奇異線性變換下都不變的指標(biāo)；當(dāng)以最小化末端執(zhí)行器位置的不確定性為目標(biāo)時，O3是最優(yōu)準(zhǔn)則?？筛鶕?jù)不同的實驗?zāi)康?，選擇合適的可觀測指數(shù)。

為優(yōu)化工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性，提高標(biāo)定結(jié)果的穩(wěn)定性，需要尋找可觀測指數(shù)最大的一組位姿集。D. Daney[11]等提出了迭代位姿搜索算法(iterative one-by-one pose search，IOOPS)，該算法可用于在無限但有界或有限位姿集中搜索給定數(shù)目的最優(yōu)位姿，其主要局限性在于存在局部收斂問題。G. Xiong[12]基于隨機(jī)搜索技術(shù)提出了改進(jìn)的序列向前浮動搜索算法，使其能夠在狹窄的空間內(nèi)搜索最優(yōu)位姿。在實際測量工作中，測量設(shè)備的精度、測量設(shè)備與機(jī)器人之間的距離、機(jī)器人本身的精度，都有可能影響位姿點集優(yōu)化的實驗效果。A. Horne和L. Notash的實驗分別采用最優(yōu)位姿集與隨機(jī)位姿集標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人，其標(biāo)定結(jié)果差別很小[13]。J. Zhou等的實驗表明，選用最優(yōu)位姿標(biāo)定的效果更好[14]。由此可見，設(shè)計合理的實驗條件對位姿點集優(yōu)化研究尤為重要。

為提高標(biāo)定結(jié)果穩(wěn)定性和絕對位置精度，本文提出采用隨機(jī)搜索算法和改進(jìn)最優(yōu)位姿點集選擇算法確定最優(yōu)位姿集，并通過位姿點集標(biāo)定實驗，分析比較最優(yōu)位姿集與隨機(jī)位姿集在標(biāo)定前后、測試前后的絕對位置精度以及辨識出的運(yùn)動學(xué)參數(shù)的泛化能力，旨在優(yōu)化標(biāo)定位姿點集，提高標(biāo)定精度和標(biāo)定結(jié)果穩(wěn)定性。

1 機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)搭建

以EFORT ER10L-C10工業(yè)機(jī)器人為研究對象，搭建如圖1所示的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)。該系統(tǒng)主要包括：EFORT ER10L-C10機(jī)器人、激光跟蹤儀Leica AT960、Leica T-Mac、Spatial Analyzer(SA)測量軟件及計算機(jī)，其中Leica AT960激光跟蹤儀的測量精度為±(15 μm+6 μm/m)。在SA軟件中將機(jī)器人的基坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，以坐標(biāo)值(1 300，0，900)mm為中心點，設(shè)定操作空間為2 000 mm×1 800 mm×1 700 mm的正方體。在操作空間內(nèi)隨機(jī)生成150個標(biāo)定點，記為γc，組成可選位姿集U，另外生成50個測試點，記為γt，盡可能使位姿點均勻分布在操作空間內(nèi)。其空間分布情況如圖2所示，其中深色點為γc，淺色點為γt。

圖1 工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)

2 可觀測指數(shù)

2.1 位姿誤差模型建立

采用MDH正運(yùn)動學(xué)模型[15]，其相鄰連桿間的運(yùn)動學(xué)表達(dá)式為

Ai=R(xi,αi)D(xi,ai)R(zi,θi)D(zi,di)R(yi,βi)

(1)

式中：αi為連桿轉(zhuǎn)角，rad；ai為連桿長度,mm；θi為關(guān)節(jié)角,rad；di為連桿偏距,mm；βi為連桿扭角(相鄰兩平行關(guān)節(jié)間繞yi軸旋轉(zhuǎn)的角度)，rad。

EFORT ER10L-C10機(jī)器人共有6個關(guān)節(jié)，在實驗過程中，將基坐標(biāo)系建立在機(jī)器人1軸與2軸的軸線交點上，可以通過式(1)得到機(jī)器人的末端位姿矩陣：

T6=A1A2A3…A6

(2)

在正運(yùn)動學(xué)誤差模型中，機(jī)器人末端名義位姿矩陣為Tname，當(dāng)MDH參數(shù)存在誤差時，機(jī)器人末端實際位姿矩陣為Treal，末端位姿誤差為：

(3)

式中：ΔR為機(jī)器人末端的姿態(tài)誤差，ΔR=[ΔnΔoΔa]；Δp為機(jī)器人末端的位置誤差。

建立位姿誤差模型[16]：

E=HΔη

(4)

2.2 可觀測指數(shù)選擇

運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定精度和穩(wěn)定性受測量點的選擇和空間分布的影響，可采用可觀測指數(shù)作為優(yōu)化位姿點集的參考指標(biāo)。常用的可觀測指數(shù)有O1，O2，O3，O4，O5，均由擴(kuò)展雅克比矩陣H的奇異值計算得到，其計算公式如下[9]：

(5)

(6)

O3=σL

(7)

(8)

(9)

式中：n為位姿點個數(shù)；L為待辨識運(yùn)動學(xué)參數(shù)個數(shù)；σi(i=1,…,L)為擴(kuò)展雅可比矩陣的奇異值，且σ1>σ2>…>σL。

在幾何意義上，擴(kuò)展雅克比矩陣H表示球體到超橢球體的映射，奇異值為超橢球體的各半軸長度?？捎^測指數(shù)中，O1、O3、O5是通過增大橢球體的體積，使得末端位姿誤差對運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差越敏感，更有利于辨識。O2和O4是通過減小橢球體的偏心率，使橢球體接近于球體，那么總誤差對運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差的敏感程度越強(qiáng)，有利于提高運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識穩(wěn)定性。

可觀測指標(biāo)的選擇方式很大程度上取決于機(jī)器人的模型。在機(jī)器人誤差模型中，不同的運(yùn)動學(xué)參數(shù)，其量綱可能不同，可以對這些參數(shù)進(jìn)行歸一化處理?？捎^測指數(shù)O1是一個在任何非奇異線性變換下都不變的可觀測指標(biāo)[10]，因此，本文選擇O1作為優(yōu)化位姿點集的評價指標(biāo)。

3 位姿點集優(yōu)化

3.1 基于隨機(jī)搜索算法的最優(yōu)位姿點數(shù)確定

在位姿誤差模型中，每個測量位姿點的雅克比矩陣有12個分量(nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az，px，py，pz)，可以提供12個方程。根據(jù)Khalil[17]對雅克比矩陣進(jìn)行QR分解的方法，去除冗余參數(shù)后，EFORT ER10L-C10機(jī)器人共有24個運(yùn)動學(xué)參數(shù)，標(biāo)定位姿點數(shù)應(yīng)滿足n≥24/12。在運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識過程中，位姿點數(shù)越多，參數(shù)辨識精度就越高，然而，若位姿點數(shù)過多，則會造成模型過度擬合，同時增加計算量。那么，確定最優(yōu)位姿點的數(shù)量是位姿點集優(yōu)化過程中首先需要解決的問題。

采用隨機(jī)搜索算法從標(biāo)定位姿集中隨機(jī)選取n個位姿點，計算其可觀測指數(shù)O1，逐漸增加位姿點數(shù)(2≤n≤150)，觀察O1的數(shù)值變化情況，當(dāng)O1變化趨于穩(wěn)定時，對應(yīng)的位姿點數(shù)即為最優(yōu)位姿集的位姿點數(shù)目，記為m。

3.2 改進(jìn)最優(yōu)點集選擇算法

為優(yōu)化最優(yōu)點集選擇算法，提高算法的運(yùn)行效率，對IOOPS算法做出改進(jìn)，其流程如圖3所示，參數(shù)說明見表1。

表1 改進(jìn)最優(yōu)點集選擇算法參數(shù)說明

圖3 改進(jìn)最優(yōu)點集選擇算法流程圖

其中，Add算法步驟如下：從UR中依次取出位姿點ζi(i=1,2,…,X)，計算max{O1(γm+ζi)}，滿足條件的ζi則記為ζ+，已選位姿集γm+1=γm+ζ+；Remove算法步驟如下：從γm+1中依次移除位姿點ζi(i=1,2,…,m+1)，計算max{O1(γm+1-ζi)}，滿足條件的ζi記為ζ-，已選位姿集γm=γm+1-ζ-。

IOOPS算法中的初始位姿集γo是隨機(jī)選取的[13]，那么γo的O1值也是不確定的，這將會影響最優(yōu)點集選擇算法的運(yùn)行效率。

實驗過程中，以U中單點的O1值為依據(jù)降序排列，選取前m個點作為上述算法的初始位姿集γo，比較隨機(jī)初始位姿集與優(yōu)化初始位姿集下最優(yōu)點集選擇算法的迭代次數(shù)和運(yùn)行時間。

4 位姿點集優(yōu)化實驗

4.1 算法實現(xiàn)

4.1.1 隨機(jī)搜索算法實現(xiàn)

采用隨機(jī)搜索算法在150個標(biāo)定點中隨機(jī)選取2個位姿點，計算該位姿集的可觀測指數(shù)O1。為減小選點的隨機(jī)性，該步驟重復(fù)50次，取平均值作為該位姿點數(shù)下的O1值。逐漸增大位姿點數(shù)n(2≤n≤150)，觀察O1值在不同位姿點數(shù)下的變化情況，如圖4所示。當(dāng)位姿點數(shù)達(dá)到55時，O1值趨于穩(wěn)定。因此，確定最優(yōu)位姿點數(shù)m為55。

圖4 可觀測指數(shù)O1值變化圖

4.1.2 改進(jìn)最優(yōu)點集選擇算法實現(xiàn)

表2 不同初始位姿集算法的運(yùn)行數(shù)據(jù)

4.2 實驗與結(jié)果

4.2.1 標(biāo)定結(jié)果

在圖1的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)中，將激光跟蹤儀AT960放置在EFORT ER10L-C10機(jī)器人的前方3 m左右處，保證激光跟蹤儀可以對機(jī)器人進(jìn)行精準(zhǔn)測量，在實驗過程中保持激光跟蹤儀的位置固定不變。在SA軟件中建立工業(yè)機(jī)器人的基坐標(biāo)系和末端坐標(biāo)系，測量150個標(biāo)定點和50個測試點的實際位姿。

表3 標(biāo)定點集的平均絕對位置誤差 mm

表4 測試點集的平均、最大絕對位置誤差 mm

圖5 標(biāo)定后、測試后的平均絕對位置誤差和O1值

圖6 各位姿集標(biāo)定后、測試后絕對位置誤差的絕對差值

4.2.2 結(jié)論驗證

為進(jìn)一步驗證最優(yōu)位姿集的標(biāo)定精度和辨識的運(yùn)動學(xué)參數(shù)的泛化能力，以Staubli TX60機(jī)器人為研究對象，在其操作空間內(nèi)生成150個標(biāo)定點和50個測試點。采用同樣的算法和實驗方案，確定最優(yōu)位姿集點數(shù)為52，不同初始位姿集下最優(yōu)位姿集優(yōu)化算法的運(yùn)行時間和迭代次數(shù)見表5。由表5可知：采用優(yōu)化初始位姿集可以將算法的運(yùn)行效率提高10%。

表5 Staubli不同初始位姿集算法運(yùn)行數(shù)據(jù)

表6 Staubli標(biāo)定點集的平均絕對位置誤差 mm

表7 測試點集的平均、最大絕對位置誤差 mm

圖7 Staubli標(biāo)定后、測試后的平均絕對位置誤差和O1值

5 結(jié)論

考慮到現(xiàn)有標(biāo)定方法是在機(jī)器人設(shè)定操作空間內(nèi)隨機(jī)選擇標(biāo)定點，這將導(dǎo)致辨識出的運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差不盡相同，標(biāo)定結(jié)果不穩(wěn)定。本文提出位姿點集優(yōu)化方法，通過在EFORT ER10L-C10和Staubli TX60機(jī)器人上進(jìn)行標(biāo)定實驗，結(jié)果表明：在不同型號的機(jī)器人上，采用優(yōu)化初始位姿集能夠?qū)⒏倪M(jìn)最優(yōu)點集選擇算法的運(yùn)行效率提高約12%；基于最優(yōu)位姿集測試后的平均絕對位置精度比隨機(jī)位姿集提高約9%；采用最優(yōu)位姿集標(biāo)定，可以辨識出全局參數(shù)，而選擇隨機(jī)位姿集標(biāo)定，只能辨識出局部參數(shù)；EFORT ER10L-C10和Staubli TX60機(jī)器人最優(yōu)位姿集辨識出的運(yùn)動學(xué)參數(shù)的泛化能力比隨機(jī)位姿集分別提高了91%、53%。位姿點集優(yōu)化研究有利于獲得泛化能力更強(qiáng)的運(yùn)動學(xué)參數(shù)，使標(biāo)定結(jié)果更加穩(wěn)定，進(jìn)一步提高機(jī)器人標(biāo)定精度，適于在大范圍、高精度機(jī)器人作業(yè)中推廣應(yīng)用。