尚正陽，顧寄南，潘家保

(1.安徽工程大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.江蘇大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

0 引言

基于廣泛的服務(wù)對象與客戶需求，我國電子商務(wù)已于2019年突破30萬億元規(guī)模[1]，高效低耗的物流網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行是提升社會經(jīng)濟(jì)效益的重要手段?，F(xiàn)階段，信息技術(shù)、交通運(yùn)輸與包裝工程的快速發(fā)展，為精準(zhǔn)的配送過程管控提供了硬件支撐，也為實(shí)施系統(tǒng)的物流調(diào)度優(yōu)化創(chuàng)造了條件?？紤]裝載約束的路徑優(yōu)化問題模擬了現(xiàn)實(shí)配送行為，旨在同時滿足貨物裝載與車輛載重約束，實(shí)現(xiàn)整體路徑最短。根據(jù)不同貨物屬性，裝載狀態(tài)可分為二維與三維兩種類型，本文針對二維裝載約束下的車輛路徑問題(Two-Dimensional Loading Capacitated Vehicle Routing Problem, 2L-CVRP)展開研究。

2L-CVRP是在帶容量約束的車輛路徑問題(Capacitated Vehicle Routing Problem, CVRP)中增加了貨物裝載約束，需要不斷地調(diào)用二維裝箱問題(Two-Dimensional Bin Packing Problem, 2BPP)模塊，進(jìn)行相應(yīng)的填充可行性驗證，它是基于CVRP與2BPP組合的NP-hard調(diào)度問題[2]。2007年，IORI等[3]最先研究2L-CVRP，并從路徑尋優(yōu)與裝箱驗證兩個方面分別提出了分支切割(branch-and-cut)與分支定界(branch-and-bound)方法，完成了求解算法構(gòu)建。這種兩相式的算法構(gòu)造策略，明確了2L-CVRP研究內(nèi)容，得到了后續(xù)學(xué)者的廣泛使用。

由于車輛載重與容積的雙重約束，致使迭代過程易于陷入局部較優(yōu)解，需要更為精準(zhǔn)的尋優(yōu)操作方法。GENDREAU等[4]在禁忌搜索的尋優(yōu)框架下，設(shè)計了不同配送序列的鄰域變換方式;LEUNG等[5]與RUAN等[6]分別將模擬退火與蜜蜂交配算法引入其中;DOMINGUEZ等[7]結(jié)合經(jīng)典的路徑優(yōu)化Saving方法[8]，提出了具有導(dǎo)向性的隨機(jī)搜索操作;LEUNG等[9]在傳統(tǒng)禁忌搜索中加入了引導(dǎo)機(jī)制，能夠有效幫助算法跳出局部較優(yōu)解;WEI等[10]歸納了2L-CVRP的鄰域搜索結(jié)構(gòu)，將其分為序列內(nèi)與序列間的因子插入、交換與倒置操作，同時給出了“先評價，后裝載”的算法加速策略，以減少多約束條件下的裝箱效果驗證次數(shù)。著重于尋優(yōu)算法的求解性能提升，WEI等[11]改變了退火溫度迭代方式，發(fā)展了具有反復(fù)“升溫”功能的模擬退火算法?，F(xiàn)階段，針對2L-CVRP的尋優(yōu)過程改進(jìn)，主要集中于多約束條件下的全局搜索能力提升與多模塊耦合的算法運(yùn)行效率增加兩個方面。為此，需要更進(jìn)一步的元啟發(fā)式方法設(shè)計與整體算法構(gòu)造。

裝載驗證貫穿于2L-CVRP的整個優(yōu)化過程，是影響算法性能與效率的關(guān)鍵。區(qū)別于定量的車輛數(shù)、載重與起始點(diǎn)約束，裝箱效果需要獨(dú)立的2BPP運(yùn)算。早期的效果驗證充分借鑒了裝箱理論方法，文獻(xiàn)[9]整合了6種經(jīng)典裝箱策略：放置空間最左、放置空間最下、最大接觸面積、不包括載具邊緣的最大接觸面積、最少占用矩形面積和最大適應(yīng)度方法，進(jìn)行逐次的空間放置選優(yōu)。為適應(yīng)3L-CVRP的高效求解，TAO等[12]通過引入最少空間浪費(fèi)和最多接觸面積的方法，設(shè)計了基于空間角點(diǎn)與相交邊的適應(yīng)度生成規(guī)則。然而，考慮到反復(fù)的裝箱模塊調(diào)用與“后進(jìn)入，先卸載”(Last In First Out，LIFO)約束，簡單的裝箱方法遷移并不適用于2L-CVRP的高效求解。文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了WEI等[13]所提出的空間格局評價方法，通過定量的位置參數(shù)計算，得出精準(zhǔn)的放置效果適應(yīng)度，其中skyline表示箱子的可能放置位置。基于容器剩余空間的格局判定[14]，文獻(xiàn)[11]以箱子放置后的可用矩形數(shù)量作為適應(yīng)度，建立了相應(yīng)的MOS(maximal open space)生成方法。作為新興載運(yùn)模型下的2L-CVRP研究，當(dāng)前仍缺少成熟的LIFO裝載方法設(shè)計。雖然簡單的2BPP策略遷移能夠達(dá)到不錯的求解效果，但是過于繁瑣的求解過程并不適合于整體算法的反復(fù)調(diào)用。同時，相關(guān)文獻(xiàn)并未給出裝箱方法的具體操作，難以進(jìn)行準(zhǔn)確的參考研究與算法復(fù)現(xiàn)。

目前，國內(nèi)關(guān)于CVRP與BPP聯(lián)合優(yōu)化的文獻(xiàn)報道相對較少。王超等[15]在PISINGER[16]的裝箱方法上加入了重力約束與層深度修正線，結(jié)合禁忌搜索提出了多階段/兩層的混合求解算法;顏瑞等[17]針對3L-CVRP，引用文獻(xiàn)[9]中的6種順序裝箱規(guī)則，發(fā)展了具有禁忌搜索功能(記憶庫)的改進(jìn)遺傳算法；針對2L-CVRP，顏瑞等[18]分別設(shè)計了基于最小浪費(fèi)原則的裝箱規(guī)則與量子粒子群算法搜索算法，其中裝箱規(guī)則不包含LIFO約束，是對skyline方法[19]的簡化。尚正陽等[20]通過CVRP及其衍生問題的求解特點(diǎn)分析，提出基于模擬退火操作的整體算法構(gòu)建框架，明確了相關(guān)問題優(yōu)化思路。總的來看，國內(nèi)研究多集中于尋優(yōu)算法改進(jìn)，缺少系統(tǒng)的裝箱方法及其執(zhí)行策略設(shè)計。實(shí)際上，基礎(chǔ)的裝箱理論與優(yōu)化方法開發(fā)仍是國內(nèi)相關(guān)問題研究的軟肋。

本文針對LIFO約束下的2L-CVRP展開研究，重點(diǎn)提出最少開放空間(Least Open Space, LOS)的二維裝箱驗證方法。LOS裝箱方法能夠以所構(gòu)造的skyline數(shù)量為適應(yīng)度，快速評價箱子的放置效果，運(yùn)行高效且結(jié)構(gòu)簡單。同時，給出了具體skyline的生成策略與步驟，結(jié)合文獻(xiàn)[20]中帶有回火操作的模擬退火(Improved Simulated Annealing, ISA)求解框架，完成相應(yīng)的加速策略設(shè)計與ISA-LOS算法構(gòu)建。通過國際經(jīng)典算例實(shí)驗，解析并驗證了所提算法的可行性與高效性，能夠為相關(guān)的載運(yùn)、裝箱問題研究提供參考。

1 問題描述

2L-CVRP的實(shí)質(zhì)是基于載重約束與裝載約束的路徑優(yōu)化問題，具體實(shí)例如圖1所示。已知不同客戶的貨物數(shù)量、重量和尺寸需求，以及其空間位置坐標(biāo)，旨在基于給定的中心倉庫位置與配送車輛屬性，規(guī)劃貨物的裝載方式與運(yùn)輸路徑，實(shí)現(xiàn)總體路徑最短。其中車輛屬性包括車輛數(shù)量、載重能力和面積容積。參考文獻(xiàn)[11]中的經(jīng)典問題描述方法，其可行解需要滿足以下條件：

(1)每個矩形貨物必須與容器正交放置；

(2)貨物之間不能干涉；

(3)車輛的載重與長寬不能超出使用，即載運(yùn)貨物不能超重和超出車輛容積；

(4)每個客戶的貨物需求都必須被一次滿足，不能分批多次運(yùn)輸；

(5)在給定數(shù)量的運(yùn)輸車輛下，所有客戶都必須被服務(wù)到；

(6)每一條路徑的起始點(diǎn)與結(jié)束點(diǎn)都必須是中心倉庫。

考慮不同類型的貨物放置方式，引入旋轉(zhuǎn)約束與LIFO約束。旋轉(zhuǎn)約束表示貨物可以旋轉(zhuǎn)90°放置，而LIFO約束則表示所需貨物能夠在不移動其他貨物的情況下直接卸載，減少額外配送操作，提高貨物載運(yùn)效率。如圖1所示，貨物不可旋轉(zhuǎn)放置，且先配送客戶1的貨物在容器最外端，后配送客戶4的貨物在容器最內(nèi)端，每次卸載互不干涉。本文即針對不可旋轉(zhuǎn)與LIFO約束(Sequential and Orientated Loading, 2|SO|L)下的2L-CVRP展開研究。

2 ISA-LOS算法開發(fā)

2.1 基于最少開放剩余空間的LOS方法設(shè)計

求解2L-CVRP的關(guān)鍵是裝箱方法，而LIFO約束是指每個貨物在不移動其他貨物的情況下可以直接卸載。針對LIFO約束的裝箱問題，本文提出了基于LOS的矩形放置方法。首先定義開放矩形空間(Open Space, OS)，OS指與容器開放邊緣相交的矩形區(qū)域。如圖2所示，M1、M2、M3、M4、M5的上邊緣與容器開口相交，放入其中的貨物能夠直接卸載，即為OS,M6中的貨物不能直接卸載，故不是OS。與M6原理類似，W1是放入R1后所產(chǎn)生的浪費(fèi)空間。

對于貨物位置選擇，LOS裝箱方法遵循以下步驟與原則：①選擇當(dāng)前矩形的所有可放置位置；②計算每個位置放置后所產(chǎn)生的OS數(shù)量；③基于OS數(shù)與其空間格局，構(gòu)造適應(yīng)度；④選取適應(yīng)度最小的放置狀態(tài)為其當(dāng)前位置。其中，具有┌形狀的空間格局，需要向左延伸生成一個額外的OS，如圖2中的M1所示；具有┐形狀的空間格局，需要向右延伸生成一個較大的OS，如圖2中的M4所示。對于放置后所產(chǎn)生的每個浪費(fèi)空間，都給予k倍的適應(yīng)度因子懲罰。

表1 不同懲罰因子下的圖例適應(yīng)度取值

裝箱方法設(shè)計通常止于評價規(guī)則提出，鮮有高效的OS生成策略報道。實(shí)際上，剩余空間生成是裝箱方法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，對其運(yùn)行效率提升具有重要作用。為實(shí)現(xiàn)高效的LOS方法執(zhí)行，本文給出了基于skyline的OS生成策略，如圖4所示。具體操作流程與簡要代碼如下：

(1)根據(jù)容器格局，產(chǎn)生已放入矩形的不相交上邊緣線，如圖4b中的加黑線段所示。其中，每條上邊緣線用其左角點(diǎn)x1坐標(biāo)、右角點(diǎn)x2坐標(biāo)與其y坐標(biāo)表示。將所有線段按其y坐標(biāo)由大到小排序，形成向量集合S*如式(1)所示:

(1)

(2)去除非開放空間的上邊緣線，即去除如圖4b中的線段S5。通過對集合S*第n行向量與第n行以下向量的左右角點(diǎn)x坐標(biāo)比較，刪除完全位于第n行線段以下的上邊緣線。其操作策略如偽代碼1所示。

偽代碼1

將S*序列按y坐標(biāo)由大到小排序

For i=1:n-1

Ind=find(S*((i+1):end,1)≥S*(i,1))&S*((i+1):end,2)≤S*(i,2))

If～isempty(ind)

S*(ind,:)=[];

End

End

(3)改變包含浪費(fèi)區(qū)域的上邊緣線，即改變?nèi)鐖D4c中的線段S4。同樣是基于S*中的行向量x坐標(biāo)比較，其操作如偽代碼2所示。

偽代碼2

將S*序列按y坐標(biāo)由大到小排序

For i=1:n-1

Ind2=find(S*((i+1):end,1)≥S*(i,1))&S*((i+1):end,1)≤S*(i,2))

If～isempty(ind2)

S*(ind2,1)=S*(i,2);

End

End

(4)通過前3步可生成當(dāng)前空間的skyline集合S，即S=S*。針對空間中的┌角點(diǎn)，將引入新的skyline構(gòu)造OS。在此，將S中的行向量按照x1坐標(biāo)由小到大排列，如果存在yn>yn-1，則搜索第n行之前y坐標(biāo)大于yn的行位置，例如[…;xp1,xp2,yp;…;xq1,xq2,yq;…;xn1,xn2,yn;…]中的p行和q行，取其中行數(shù)最大的向量[xq1,xq2,yq]為基準(zhǔn)，生成skyline為[xq2,xn2,yn]。如此，通過┌角點(diǎn)搜索，將其向左延伸至已放置矩形，即可生成參考線。如圖4d所示，由S1左角點(diǎn)向左延伸的新skyline為S5。其操作如偽代碼3所示。

偽代碼3

將S序列按x1坐標(biāo)由小到大排序

For i=2:n

If S(i,3)>S(i-1,3)

Ind3=find(S(i,3)

Ifisempty(ind3)

Sadd=[0,S(i,2),S(i,3)];

Else

Sadd=[S(max(ind3),1),S(i,2),S(i,3)];

End

S=[S;Sadd];

End

End

(5)由每條skyline的左角點(diǎn)位置向右上方延伸即生成OS，而相應(yīng)的適應(yīng)度(OS數(shù))則可由集合S的行向量數(shù)表示。同時，所構(gòu)建的skyline集合能夠表示剩余空間格局，參與矩形放置迭代，支撐裝箱方法執(zhí)行。這是一種基于矩陣變換的簡便適應(yīng)度求解與裝箱操作策略。

本文通過對容器格局的開放剩余空間構(gòu)建，以O(shè)S數(shù)為基礎(chǔ)生成適應(yīng)度，適應(yīng)度越小則表明該位置的放置效果越好，以此迭代選優(yōu)完成裝箱驗證。LOS裝箱方法繼承了文獻(xiàn)[11]中的剩余空間評價思想，不同的是，MOS方法[11]以當(dāng)前矩形與其所在、與其干涉的OS空間為基礎(chǔ)，進(jìn)行新的OS生成與判定，該過程需要不斷地對已有OS空間進(jìn)行搜索和重組，不易于執(zhí)行操作。LOS裝箱方法則通過Skyline提取與處理，引入特定情況的新skyline生成和浪費(fèi)空間懲罰參數(shù)，精簡了適應(yīng)度運(yùn)算過程。同時，本文給出了基于矩陣變換的高效LOS裝箱方法執(zhí)行策略，彌補(bǔ)了具體的裝箱操作缺失，提高算法運(yùn)行效率。

2.2 帶有回火操作的模擬退火算法構(gòu)建

由于載重約束與裝載約束的雙重制約，致使2L-CVRP難于跳出局部較優(yōu)解，優(yōu)化性能受限。為此，本文參照文獻(xiàn)[20]的模擬退火框架與操作，將LOS裝箱方法與帶有回火過程的模擬退火算法相結(jié)合，完成路徑優(yōu)化。具體流程如圖5所示，灰色區(qū)域(1)即為回火操作，當(dāng)退火溫度T到達(dá)終止溫度Tb時，升高退火溫度T至T0。其中，每次回火溫度T0逐漸下降，直至到達(dá)回火終止溫度Tt為止，算法結(jié)束?；鼗鸩僮魍ㄟ^周期性的退火溫度上升，保持最優(yōu)解繼承與較優(yōu)解躍遷的能力平衡，增加算法全局搜索能力。

圖5中的灰色區(qū)域(2)為基于LOS方法的裝箱模塊，其目的是驗證客戶配送序列的可行性。首先，在給定序列中，分別對不同客戶的貨物面積、長度和寬度進(jìn)行排序，構(gòu)建三組初始解。之后，通過客戶序列下的貨物2-opt本地搜索尋優(yōu)，形成裝載序列，并進(jìn)行逐個車輛的LOS裝箱方法驗證。當(dāng)全部車輛的裝載狀態(tài)滿足要求時，驗證通過，否則重新鄰域變換產(chǎn)生新解，依此循環(huán)。

為加速算法運(yùn)行，將采取以下措施：

(1)采用“先評價，后裝載”(evaluating first-packing second)策略[21]，即通過定量的預(yù)約束參數(shù)比較，減少裝箱模塊調(diào)用次數(shù)。只有當(dāng)全部車輛的載重與填充面積不超過上限時，才調(diào)用裝箱方法進(jìn)行驗證。

(2)記錄已驗證的成功與不成功配送客戶序列，形成禁忌表Tbs與Tbf。為確保每次迭代產(chǎn)生可行新解Sn，降低禁忌表擴(kuò)充對搜索效果影響，將中間解Sn*的生成次數(shù)設(shè)置為Min(n∧2,10 000)+size(Tbs,1)+size(Tbf,1)，n為總的配送客戶數(shù)量。貨物裝載序列的隨機(jī)變換次數(shù)為round((m∧4)×10×fr)，m為待裝載貨物數(shù)，fr為指待裝載貨物與容器的面積比，面積比越高則需要變換驗證的上限次數(shù)越多。

(3)在中間解、預(yù)評價與裝箱過程中，逐個檢驗車輛，一旦不符合要求直接跳出。在配送客戶序列與貨物裝載序列生成中，一旦滿足要求即退出搜索。

3 實(shí)驗與分析

為驗證ISA-LOS算法針對2|SO|約束下的2L-CVRP求解性能，將其運(yùn)算參數(shù)分別設(shè)置為：初始溫度T0=20、終止溫度Tf=0.1、退火溫度衰減系數(shù)a=0.85、馬爾科夫鏈長度為n∧1.5(n為客戶數(shù))、回火溫度衰減系數(shù)b=0.6、回火終止溫度Tt=5、最大運(yùn)算時間為3 600 s。使用MATLAB軟件進(jìn)行算法編程，并測試于CPU主頻為2.8 GHz的電腦主機(jī)，取10次運(yùn)算的最優(yōu)值為計算結(jié)果?；谖墨I(xiàn)[4]所構(gòu)建的國際經(jīng)典數(shù)據(jù)集(其中包含36組算例)，本文提取數(shù)據(jù)集的前5組算例進(jìn)行對比實(shí)驗。由于每組的第一個算例為pure-CVRP問題，不予考慮，其運(yùn)算結(jié)果如表2所示。

表2 2|SO|L約束下的部分2l-cvrp算例求解結(jié)果

表2中BKS為已知文獻(xiàn)的算例最優(yōu)解[11]，Imp=100×(BKS-cost)/BKS表示歷史最優(yōu)解與當(dāng)前解的差距。如表2所示，ISA-LOS算法于20個算例中找到了6個算例的最優(yōu)解，與BKS的平均差距為2.69%。實(shí)際上，在退火搜索中的初始解生成、鄰域結(jié)構(gòu)變換、更優(yōu)解接受以及裝載序列的2-opt變換中，均存在概率性的隨機(jī)因素，因而影響算法結(jié)果。鑒于實(shí)驗算例的10次計算結(jié)果選優(yōu)，雖然沒有找到全部歷史最優(yōu)解，但是2.69%的平均優(yōu)化差距仍能表明ISA-LOS算法的可行性與有效性。

為進(jìn)一步驗證算法性能，將算例通過車輛數(shù)n=n+1或者n=n-1的方式進(jìn)行最優(yōu)路徑求解。表3給出了相應(yīng)的車輛數(shù)與運(yùn)輸距離，其中加黑數(shù)據(jù)為不大于BKS的計算結(jié)果，加*數(shù)據(jù)為優(yōu)于BKS結(jié)果。如表3所示，ISA-LOS取得了6個算例的更優(yōu)解，7個算例的BKS解，與歷史最優(yōu)結(jié)果的平均差距為0.59?；谲囕v載運(yùn)條件更改，ISA-LOS能夠?qū)崿F(xiàn)更為優(yōu)異的計算結(jié)果獲得，驗證了所提出方法的求解性能。

表3 2|SO|L約束下的部分2l-cvrp算例最優(yōu)路徑距離

優(yōu)于BKS的2l-cvrp0102迭代過程與載運(yùn)效果如圖6所示，具體車輛的載重與填充率分配如表4所示；等同于BKS的2l-cvrp0505迭代過程與載運(yùn)效果如圖7所示，具體車輛的載重與填充率分配如表5所示。對于圖7a中的路徑尋優(yōu)過程，每次回火操作都擴(kuò)大算法對非更優(yōu)解的接受概率，平衡載重、裝載雙重約束下的優(yōu)解繼承與非更優(yōu)解接受，推動算法全局尋優(yōu)。對于車輛裝載約束，一旦滿足裝箱條件則自動終止算法運(yùn)行，因此圖7中的裝載效果并非最優(yōu)布局。實(shí)際上，為加速算法運(yùn)行，無需實(shí)現(xiàn)車輛裝載的完全優(yōu)化。

表4 配送距離為282.95的2l-cvrp0102算例載運(yùn)參數(shù)

圖7c中的空間裝載狀態(tài)表示如圖8所示，車輛1的客戶服務(wù)順序(路徑順序)為I13、I11、I4、I3、I8、I10，每個客戶所需貨物用相同顏色表示(具體貨物參數(shù)可查閱文獻(xiàn)[4])?？紤]LIFO約束，將貨物的填裝順序按照I10、I8、I3、I4、I11、I13排列，具體客戶內(nèi)的貨物順序由2-opt算法確定。由圖8可知，LOS裝箱方法在最左下角的放置規(guī)則下，通過最少剩余空間評價，使容器格局保持了盡可能的平滑與完整，有利于后續(xù)貨物放入。同時，貨物裝載沒有旋轉(zhuǎn)，且每個客戶的所需貨物卸載都不需要移動其他貨物，滿足2|SO|L約束。

表5 配送距離為375.28的2l-cvrp0505算例載運(yùn)參數(shù)

4 結(jié)束語

為求解2L-CVRP，通常需要從以下3方面展開研究：①開發(fā)具有強(qiáng)全局搜索能力的啟發(fā)式算法，用以解決載重、裝載雙重約束下的精準(zhǔn)路徑尋優(yōu)；②設(shè)計符合配送約束的裝箱方法與其執(zhí)行策略，滿足迭代操作的反復(fù)快速調(diào)用；③加速整體算法的優(yōu)化構(gòu)建與運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)多模塊嵌套的高效問題求解。本文針對LIFO約束下的2L-CVRP，首先提出了基于最少剩余空間的LOS裝箱方法。該方法通過剩余空間數(shù)量檢測，結(jié)合相應(yīng)的容器格局修正系數(shù)，完成了針對放置位置的適應(yīng)度構(gòu)造，從而指導(dǎo)給定序列的貨物裝載效果驗證。同時，詳細(xì)給出了基于skyline的簡便剩余空間生成策略，優(yōu)化裝箱模塊運(yùn)算。之后借鑒文獻(xiàn)[20]中帶有回火過程的模擬退火操作，融合LOS裝箱模塊，構(gòu)建了ISA-LOS算法。為提高算法的運(yùn)行效率，分別設(shè)計了不同模塊的算法加速結(jié)構(gòu)與參數(shù)設(shè)置方程。

本文針對國際標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行運(yùn)算，并將實(shí)驗數(shù)據(jù)與已知文獻(xiàn)的最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明，在有限的計算次數(shù)下，ISA-LOS算法能夠取得不錯的解?；诳勺冘囕v數(shù)的配送路徑規(guī)劃，算法獲得了20個算例中6個更優(yōu)解，7個等BKS解，且與已知文獻(xiàn)的最優(yōu)解差距很小?；谇蠼庑Ч治觯鼗疬^程能夠促使迭代跳出局部較優(yōu)解，增強(qiáng)算法尋優(yōu)性能。裝箱模塊實(shí)現(xiàn)了LIFO約束下的貨物合理填裝，證明了ISA與LOS方法的可行性與有效性。

受限于具體的算法編程與實(shí)現(xiàn)方法，本文僅對標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫中的前5組算例進(jìn)行了對比實(shí)驗。進(jìn)一步，一方面將提高算法運(yùn)行效率，實(shí)現(xiàn)更大規(guī)模的算例求解；另一方面，將擴(kuò)展ISA與LOS方法至其他2L-CVRP與3L-CVRP，完善相關(guān)問題優(yōu)化。