汪逸暉，高 亮

(華中科技大學 機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074)

0 引言

在工程領域，傳統(tǒng)優(yōu)化算法在解決實際問題中取得了可喜的成果。但優(yōu)化問題差異性較大，范圍從單目標到多目標、從連續(xù)到離散、從有約束到無約束，面對復雜的設計問題，傳統(tǒng)優(yōu)化算法存在僅能求出局部最優(yōu)解、求解結果依賴于初始值等不足[1]。元啟發(fā)式算法為此類問題提供了一種實用且有效的解決方案，能在可接受的運行時間內(nèi)求得NP-Hard問題的最優(yōu)解或近優(yōu)解[2-3]。

烏鴉搜索算法(Crow Search Algorithm, CSA)是由ASKARZADEH[4]于2016年提出的一種基于烏鴉智能行為的新興群智能元啟發(fā)式算法。該算法在每次迭代中產(chǎn)生多個并行計算的個體，通過模擬烏鴉種群間搜尋食物的行為解決優(yōu)化問題。由于CSA具有結構簡單、參數(shù)少、操作靈活等特點，目前已成功應用于函數(shù)優(yōu)化、特征選擇等領域。ABDELAZIZ等[5]使用CSA對輻射狀配電網(wǎng)中的導體選擇問題進行了優(yōu)化求解，實驗結果表明CSA較傳統(tǒng)優(yōu)化算法表現(xiàn)更加優(yōu)秀;ALEEM等[6]將CSA應用于濾波器優(yōu)化設計，優(yōu)化測試結果表明該算法具有快速收斂的能力，能成功解決配電網(wǎng)絡中無共振三階高通濾波器優(yōu)化設計問題;LIU等[7]將CSA與極限學習機(Extreme Learning Machine, ELM)結合，建立了地下水水質(zhì)評價模型CSA-ELM，以解決水質(zhì)評價中水質(zhì)模糊、水質(zhì)參數(shù)不兼容等問題，測試結果表明CSA-ELM模型性能優(yōu)于ELM、內(nèi)梅羅指數(shù)法(Nemerow Index Method, NIM)和反向傳播(Back Propagation, BP)模型，具有較高的穩(wěn)定性與可靠性;MEDDEB等[8]將CSA應用于無功優(yōu)化調(diào)度問題，在基準測試系統(tǒng)(IEEE 14-bus, IEEE 30-bus &Tunisian 86-bus)的測試中CSA表現(xiàn)優(yōu)于對比算法，成功解決了無功優(yōu)化調(diào)度問題;SATPATHY等[9]將改進的CSA應用于虛擬機放置問題，通過排隊模型管理調(diào)度大量虛擬機，運用算法選擇服務器并進行部署以達到優(yōu)化資源和減少功耗的目的，測試結果表明改進的CSA的優(yōu)化性能較同類算法表現(xiàn)更加優(yōu)異。由于烏鴉搜索算法是基于烏鴉搜索食物的特性創(chuàng)建的一種群智能算法，該算法與大多數(shù)群體智能算法類似，存在搜索精度低、易陷入局部最優(yōu)值和算法早熟的缺點。

為克服上述缺陷，近年來研究者們根據(jù)基本烏鴉搜索算法提出了各種改進策略。MOHAMMADI等[10]針對CSA做了兩點改進：首先引入基于優(yōu)先級的方法，確定了烏鴉如何選擇跟蹤對象，將原算法中的隨機選擇改為在每次迭代中從最優(yōu)的烏鴉群中隨機選擇，從而增加烏鴉搜尋到最優(yōu)解的可能性；其次提出一種用于調(diào)節(jié)有效飛行長度的方法，可根據(jù)烏鴉的接近程度確定有效飛行長度，有助于烏鴉更好地搜索，測試結果表明改進算法的收斂特性優(yōu)于CSA;JAIN等[11]提出了改進的烏鴉搜索算法(Improved Crow Search Algorithm, ICSA),有效地解決了高維全局優(yōu)化問題，改進算法在烏鴉位置更新機制中加入經(jīng)驗系數(shù)，該系數(shù)的添加可通過隨機擾動在局部最優(yōu)解的附近生成新解，測試結果表明，在穩(wěn)定性、搜索能力和收斂速度方面ICSA優(yōu)于CSA;SHI等[13]提出改進的烏鴉搜索算法，在原始CSA位置更新機制中加入自適應慣性權重，在搜索初始階段，較大的慣性權重可以增強全局搜索能力，而在最后階段，慣性權重減小增強了局部探索，避免了過度搜索導致的位置反復跳躍，使烏鴉可迅速移至極值點，測試結果表明改進算法的優(yōu)化性能與收斂速度有明顯提高;KHALILPOURAZARI等[13]將正弦余弦算法(Sine Cosine Algorithm, SCA)與CSA結合提出正弦余弦烏鴉搜索算法(Sine Cosine Crow Search Algorithm, SCCSA)，該混合算法將正弦余弦局部優(yōu)化算子嵌入烏鴉位置更新機制，確保所有烏鴉在更新位置時遵循當前最優(yōu)解優(yōu)先且不會生成質(zhì)量低劣的隨機解，同時烏鴉在搜索時以設定的方式移動，提高了算法的探索能力，函數(shù)測試結果表明SCCSA的優(yōu)化性能優(yōu)于CSA，算法的收斂圖也證明SCCSA可快速收斂到最優(yōu)解;ELLA等[14]提出粗糙烏鴉搜索算法(Rough Crow Search Algorithm, RCSA)，將CSA與粗糙搜索機制(Rough Searching Scheme, RSS)結合，有效地解決了在搜索高維優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解時可用信息不精確和粗糙等問題，在實現(xiàn)優(yōu)化時，利用CSA搜索全局優(yōu)化問題的近似解，再引入RSS來提高精度，測試結果表明，RCSA在計算精度上的表現(xiàn)更加優(yōu)秀;QU等[15]提出一種基于非劣解集鄰域搜索的烏鴉搜索算法(Non-inferior Crow Search Algorithm, NICSA)，該算法通過非劣解的決定因子，使烏鴉個體在進化過程中自動選擇記憶搜索模式或鄰域搜索模式，通過這種策略，算法的局部搜索與全局搜索變得更加平衡，函數(shù)測試表明該算法在搜索準確性、收斂速度等方面均優(yōu)于CSA。

綜上所述，眾多改進算法的最終目的都是為了提高算法的搜索精度和全局尋優(yōu)能力，以及加快算法收斂速度。由此，本文基于烏鴉搜索算法提出了CSA的改進算法(Modified Crow Search Algorithm, MCSA)，主要對CSA的參數(shù)、尋優(yōu)策略和優(yōu)化算子作出以下3點改進：①將動態(tài)感知概率替換原算法中的感知概率，讓烏鴉在迭代初期趨向全局搜索，避免算法早熟；②引入萊維飛行策略，從而解決CSA搜索機制單一的缺點，有效地降低算法尋優(yōu)的盲目性，避免其陷入局部最優(yōu)；③在尋優(yōu)過程中引入變異更新機制，增加了解的多樣性，提高了CSA的搜索效率。將MCSA與近年提出的優(yōu)化算法在標準測試函數(shù)上進行函數(shù)尋優(yōu)測試，實驗結果對比表明MCSA作出的改進可以提高算法求解精度、穩(wěn)定性以及搜索效率。最后，為了解決面對約束優(yōu)化問題時求解困難以及可能存在優(yōu)化結果不符合約束的情況，將FAD(feasibility and dominance)準則與MCSA結合，構建了約束處理機制，并通過3個工程優(yōu)化問題測試驗證MCSA的可行性與優(yōu)越性。

1 烏鴉搜索算法

1.1 基本原理

烏鴉是人類以外具有一流智商的動物，它們可以使用工具進行復雜溝通，并能回憶長達幾個月的食物儲藏處。烏鴉會觀察同類儲藏食物的地點，并在主人離開后將食物偷走。同樣，烏鴉為了誤導競爭者，會制造一個假的藏物點，并根據(jù)競爭者是否看到自己埋藏食物的實際情況來判斷競爭者的行為。最后，它們綜合各種信息后決策應該采取何種方式藏匿或取回食物[16-17]。

假設迭代中烏鴉j想要去它的藏物點mj,iter，同時烏鴉i決定跟蹤烏鴉j并接近其藏物點。此時，可能會發(fā)生如下兩種狀態(tài)：狀態(tài)一，烏鴉j不知道烏鴉i跟蹤它，烏鴉i將接近烏鴉j的藏物點；狀態(tài)二，烏鴉j發(fā)現(xiàn)被烏鴉i跟蹤，為了保護自己的藏物點不被偷竊，烏鴉j飛到搜索空間內(nèi)的隨機位置以欺騙烏鴉i。

狀態(tài)一和狀態(tài)二總結如下：

xi,iter+1=

(1)

式中：rj為在(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)；fl為飛行長度；AP為感知概率。

1.2 優(yōu)化步驟

烏鴉搜索算法流程圖如圖1所示。

算法具體步驟如下：

步驟1初始化烏鴉群，包括定義優(yōu)化問題的參數(shù)和約束，然后設定種群數(shù)量(N)、最大迭代次數(shù)(itermax)、飛行長度(fl)與感知概率(AP)。

步驟2初始化烏鴉的位置和記憶，定義N只烏鴉隨機分布在搜索空間內(nèi)，每只烏鴉代表一個候選解，最初迭代中烏鴉將食物隱藏在初始位置。

步驟3評估適應度值，計算每個烏鴉個體的適應度函數(shù)，通過比較適應度值的大小來確定其位置質(zhì)量的好壞。

步驟4生成新的位置，烏鴉i隨機選擇跟蹤種群內(nèi)的一只烏鴉j并獲得其藏物點(mj)，烏鴉i的位置更新由式(1)得出，該過程適用全體烏鴉。

步驟5檢查新位置的可行性(如是否越界)，如新位置符合要求，烏鴉會更新它的位置，否則，烏鴉則停留在當前位置。

步驟6評估新位置的適應度函數(shù)，計算每個烏鴉新位置的適應度函數(shù)值。

步驟7更新記憶，烏鴉按如下公式更新記憶；

(2)

步驟8檢查終止條件，重復步驟4～步驟7，直至達到最大迭代次數(shù)。當滿足終止標準時，將目標函數(shù)的最佳藏物點位置作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

2 CSA與其他智能優(yōu)化算法的比較

在實現(xiàn)優(yōu)化時，飛行長度(fl)與感知概率(AP)設為固定值。飛行長度的取值可影響算法的搜索能力(如圖2)，烏鴉i可在虛線任意位置飛行。fl過小，算法易陷入局部最優(yōu)；fl過大會使算法趨向全局搜索，但算法收斂性變差。感知概率可控制算法的集中性與多樣性，其決定了烏鴉由狀態(tài)一或狀態(tài)二更新位置。AP越小，烏鴉更趨向于選擇局部搜索，收斂速度會提高但易陷入局部最優(yōu)；AP越大，烏鴉更趨向于隨機搜索，減少了烏鴉停滯在局部最優(yōu)點的可能性，但收斂速度會降低。參數(shù)設置是優(yōu)化算法的缺點之一，因為它是一項耗時的工作。元啟發(fā)式算法的性能優(yōu)化取決于對參數(shù)的適當調(diào)整，使得解的品質(zhì)依賴于參數(shù)的選取。除去種群數(shù)量與最大迭代次數(shù)，一些著名的智能優(yōu)化算法，如遺傳算法的設置參數(shù)為選擇方法、交叉方法、交叉概率、變異方法、變異概率和替換方法(6個)；粒子群算法的設定參數(shù)為權重慣量、最大速度、個體學習因子和社會學習因子(4個)；和聲搜索算法的設定參數(shù)為記憶庫取值概率、微調(diào)概率和音調(diào)微調(diào)帶寬(3個)。較多的參數(shù)在編程實現(xiàn)上較為復雜，參數(shù)的設定大部分依靠經(jīng)驗，想要得到較精確的解需要大量的訓練時間。烏鴉搜索算法結構簡單，參數(shù)設定為飛行長度與感知概率(2個)，相較而言更容易實現(xiàn)優(yōu)化。

CSA為非貪婪算法，如果烏鴉生成的新位置不優(yōu)于其當前位置，它仍會移動到新位置(烏鴉更新位置點xi，藏物點mi保持不變)。與其他算法相比，非貪婪算法的優(yōu)點在于可增加種群的多樣性，同樣CSA包含可以存儲優(yōu)質(zhì)解的存儲器，每次迭代中每只烏鴉都會隨機選擇一只烏鴉(可能是烏鴉本身)并向其藏物點位置(該烏鴉目前找到的最優(yōu)解)移動，這意味著在CSA的每次迭代中，目前所找到的最優(yōu)解將直接用于尋找更優(yōu)解。

3 改進的烏鴉搜索算法(MCSA)

本節(jié)主要從3個方面對標準CSA算法進行改進：①采用動態(tài)感知概率替代原有的固定感知概率，使算法在搜索初期更趨向于全局搜索，避免算法早熟；②引入萊維飛行策略替代原算法中的隨機飛行，避免了烏鴉在無領導者的情況下盲目飛行；③由遺傳算法中變異思想啟發(fā)，在算法尋優(yōu)過程中引入變異機制，以增強烏鴉種群的多樣性以及搜索效率。

3.1 動態(tài)感知概率

在標準CSA中，烏鴉的位置更新策略由式(1)可知，感知概率AP的設定大小可影響烏鴉選擇何種搜索方式，較小的感知概率會使烏鴉的跟蹤行為更不易被其他烏鴉發(fā)現(xiàn)，推動其向最佳藏物點逼近，從而促使種群集約化和算法收斂，即烏鴉更趨向于局部搜索；反之，烏鴉將以較大概率在搜索空間中隨機飛行，以促使種群的多樣性，即全局搜索。可以看出，感知概率在優(yōu)化過程中保持不變并不利于算法在迭代初期保持較高的種群多樣性以及在后期保持較好的收斂能力。因此，引入動態(tài)感知概率，較大的感知概率在搜索初始階段可增強全局搜索能力，并且感知概率在迭代的最后階段減小，可增強算法局部搜索能力，算法可迅速收斂至極值點。動態(tài)感知概率滿足凸型遞減曲線(Convex Descending Form，CvDF)形狀，可使AP在迭代初期保持一個相對較大的初值，隨著迭代次數(shù)的增加而趨于減小，直至到達最大迭代次數(shù)，其表達式為：

(3)

式中：iter為當前迭代數(shù);itermax為最大迭代次數(shù);APmax為最大感知概率。

3.2 萊維飛行搜索策略

在標準CSA中，由式(1)可知，烏鴉在狀態(tài)二(r

xi,iter+1=

(4)

(5)

(6)

其中：ri，rj，ra均為(0,1)區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機數(shù)；γ,σ均服從標準的正態(tài)分布；n為優(yōu)化問題維度；Г(x)=(x-1)!；a為步長縮放因子，用于控制隨機搜索的范圍；β為常數(shù)，取值范圍在[1,2]之間，為便于計算，本文采用文獻[25]中參數(shù)計算萊維隨機數(shù)(a=0.01,β=1.5)。

3.3 變異更新機制

標準CSA算法隨機產(chǎn)生初始種群，初始解的產(chǎn)生具有很大的隨機性，若想要獲得質(zhì)量較高的初始種群須增加種群規(guī)模，但計算量也會隨之增加，不利于算法尋優(yōu)。因此，MCSA在算法迭代過程中引入變異更新機制可增加種群的多樣性，提高個體質(zhì)量，同時可使陷入局部最優(yōu)的個體通過變異跳出局部最優(yōu)以增加算法的搜索效率。在每次迭代中，選擇當前質(zhì)量最優(yōu)的個體在更新記憶前進行變異操作，且步長隨迭代次數(shù)增加而逐步減小，在迭代初期保證了陷入局部最優(yōu)的個體得到較大幅度的變異，從而重新獲得搜索能力，變異幅度在迭代后期也相對減小，避免了過多的變異行為干擾其搜索行為，從而保持搜索的連貫性。同時，為保證變異機制朝著有利方向進行，在變異之后，比較變異前后個體的適應度函數(shù)值，將保留較優(yōu)的個體作為當前最優(yōu)解，以此實現(xiàn)有效變異操作。變異更新機制的加入，既能保證算法在迭代初期種群的多樣性，避免陷入局部最優(yōu)，同時確保算法在迭代后期時擁有較強的收斂能力。變異更新機制如下：

(7)

(8)

3.4 MCSA算法流程

MCSA算法的偽代碼如下：

輸入：目標函數(shù)，種群數(shù)量N，最大迭代次數(shù)

輸出：當前全局最優(yōu)解

1: 初始化烏鴉位置；

2: 初始化烏鴉記憶

3: 計算烏鴉的適應度值

4: while終止條件不滿足

5: for i=1:N

6: 隨機跟蹤一只烏鴉

7: 計算感知概率

8: if r≥AP

9: xi,iter+1=xi,iter+ri×fl×(mj,iter-xi,iter)

10: else

11: xi,iter+1=xi,iter×(1+Levy(n))

12: end if

13: end for

14: 檢查新位置的可行性

15: 根據(jù)公式(7)(8)產(chǎn)生變異新位置

16: 評估新位置的適應度函數(shù)

17: 更新記憶

18: end while

4 算法測試

4.1 參數(shù)設置

本文選取近年發(fā)表的優(yōu)化算法作為對比算法：SPO(stochastic paint optimizer)[19]，HGSA(hyperbolic gravitational search algorithm)[20]，F(xiàn)DO(fitness dependent optimizer)[21]，LPB(learner performance based behavior algorithm)[22]，ROA(root based optimization algorithm)[23]，DA(dragonfly algorithm)[24]，CSA(crow search algorithm)。所有算法的測試環(huán)境為：Windows 10，Intel(R)Core(TM)i7-6700 HQ CPU，主頻3.0 GHZ和內(nèi)部存儲器16 GB，編程工具為MATLAB 2018b。所有算法均獨立運行30次，種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)設置為1 000，其他主要參數(shù)設置如表1所示。

表1 算法主要參數(shù)的設置

4.2 算法測試說明

本文對多個不同特點的標準測試函數(shù)進行函數(shù)尋優(yōu)測試，標準測試函數(shù)及其具體信息如表2所示。同時選取包含10個CEC Benchmark函數(shù)作為額外的測試評估，其基本信息如表3所示。為了驗證MCSA算法的高效性，將算法的終止條件設定為CPU計算時間(5 s，10 s和20 s)，并使用相對百分比增加(Relative Percentage Increase, RPI)來評價算法性能。其中使用了對比算法獨立運行30次的平均目標函數(shù)值來計算RPI，即：

(9)

式中：fC為對比算法C獨立運行30次的平均目標函數(shù)值;C為SPO、FDO、HGSA、CSA和MCSA;fbest為對比算法中的最優(yōu)值。

表2 標準測試函數(shù)

表3 CEC-C06 2019測試函數(shù)

另外，為探究參數(shù)設置對MCSA算法性能的影響，選取了兩個單峰函數(shù)與一個多峰函數(shù)(F1、F5、CEC05)作為測試函數(shù)，對MCSA的控制參數(shù)(fl和APmax)進行了研究，將fl設定為4個獨立的值(0.1,1,2,4)，APmax設定為3個獨立的值(0.1,0.5,0.8)，其他參數(shù)保持不變的情況下求解最優(yōu)值。

4.3 實驗結果與分析

如表4與表5所示為不同算法在測試函數(shù)上運行結果，其中Mean表示尋優(yōu)平均值，Std.表示標準差。由表4可以看出，對于F1和F2，MCSA與SPO表現(xiàn)最佳，可直接搜尋到最優(yōu)解；對于4個測試函數(shù)(F5,F7,F9,F10)，MCSA的優(yōu)化性能最強，明顯優(yōu)于其他算法；對于F3和F4，MCSA的尋優(yōu)結果僅次于HGSA。在CEC2019函數(shù)測試結果中，對CEC01、CEC2、CEC3和CEC10，MCSA的尋優(yōu)精度皆優(yōu)于其他算法；對CEC05，MCSA的尋優(yōu)結果僅次于HGSA；對CEC09，MCSA的尋優(yōu)結果僅次于FDO。

表4 標準測試函數(shù)實驗結果

表5 CEC-C06 2019測試函數(shù)實驗結果

續(xù)表5

如表6所示為在CPU時間為5 s的情況下，MCSA的平均RPI為2.09%，優(yōu)于SPO、FDO、HGSA、CSA，而SPO、FDO、HGSA、CSA的平均RPI分別為3.10%、3.36%、2.21%、10.14%。表7給出了CPU時間為10 s和20 s的情況下5種對比算法的平均RPI，由表7可以看出，MCSA的平均RPI為1.91%，而SPO、FDO、HGSA、CSA的平均RPI分別為2.26%、2.78%、2.05%、9.43%,MCSA仍為最優(yōu)。總的來說，算法測試結果表明MCSA在搜索精度、穩(wěn)定性和搜索效率方面表現(xiàn)優(yōu)秀。

表6 CPU=5 s下的算法RPI對比結果

續(xù)表6

表7 CPU=10 s和20 s下的算法RPI對比結果

如前所述，參數(shù)設置對于MCSA算法性能的影響顯著。表8展示了當fl取值分別為0.1、1、2、4，APmax取值分別為0.1、0.5、0.8時測試函數(shù)的尋優(yōu)結果。由表8可知，fl和APmax的取值會影響算法的穩(wěn)定性與搜索精度，當fl=2,APmax=0.5時，MCSA在3個測試函數(shù)中取得的結果最優(yōu)，較小的飛行長度和感知概率會使算法陷入局部最優(yōu)，降低算法的搜索精度與穩(wěn)定性。在面對不同優(yōu)化問題時，可對算法參數(shù)進行微調(diào)以達到最優(yōu)的結果。

表8 MCSA控制參數(shù)對算法性能的影響

續(xù)表8

5 MCSA在工程約束優(yōu)化問題中的應用

5.1 約束優(yōu)化問題

約束優(yōu)化問題在工程應用領域?qū)儆谝活惓Ｒ姷臄?shù)學規(guī)劃問題，由于比較難求解，同時在各領域中有著廣泛的應用，對此類問題進行研究具有重要的實際意義。約束優(yōu)化問題的統(tǒng)一數(shù)學模型如下：

minf(x)。

s.t.

gi(x)≤0，i=1,2,…,m;

hj(x)=0，j=1,2,…,q;

x∈X。

(10)

其中：f,gi,hj表示在Rn中定義的實值函數(shù);X為Rn的子集,通常包含變量上下界;gi(x)≤0為不等式約束;hj(x)=0為等式約束。

X是約束優(yōu)化問題的整個搜索空間，若所求解滿足約束條件，則稱該解為可行解，否則稱之為不可行解。約束優(yōu)化問題的難點在于：約束使搜索空間不可行域的分布增加[25]，而這些不可行域的分布使得在尋優(yōu)過程中必須平衡約束與優(yōu)化這兩個方面。

5.2 約束處理機制

由于約束的存在導致約束優(yōu)化問題求解困難，本文引入FAD(feasibility and dominance)準則構建一種約束處理機制，該準則由DEB[26]提出，通常被用來選擇可行解，以及在不可行解中選擇相對較好的解。在比較烏鴉個體優(yōu)劣時，由原先的只比較適應度函數(shù)值f(X)改為同時考慮約束違反值CV(constraint violation)，該值用來定量描述一個解違反約束條件的程度。對于一個可行解，其CV值為0；對于不可行解，其CV值則大于0，計算公式如下：

(11)

式中：gi(X)為不等式約束；Zhj(X)為等式約束。

算法迭代過程中采用以下準則比較個體：

(1)兩個個體均為可行解，選擇適應度值小的個體；

(2)一個為可行解，另一個為不可行解，選可行解；

(3)兩個個體均是不可行解，選擇其中違反約束程度小的個體。

該準則公式概括為：

(f(X1),CV(X1))<(f(X2),CV(X2))

?

(12)

5.3 工程應用實例

針對約束優(yōu)化問題結合MCSA算法，構建了約束處理機制，以提高算法在約束優(yōu)化問題中的性能。以下通過3個工程約束優(yōu)化實例驗證MCSA的有效性和優(yōu)越性。

5.3.1 三桿桁架設計問題

三桿桁架設計問題的目的是通過調(diào)整橫截面積(x1和x2)來最小化三桿桁架的體積。該三桿式桁架在每個桁架構件上受到應力(σ)約束，如圖3所示。該優(yōu)化問題具有一個非線性適應度函數(shù)、3個非線性不等式約束和兩個連續(xù)決策變量，如下所示：

s.t.

0≤xi≤1,i=1,2;

l=100 cm,P=2 kN/cm2,σ=2 kN/cm2。

(13)

如表9所示為MCSA在30次獨立運行中針對三桿桁架設計問題獲得的最佳解決方案。獲得的統(tǒng)計結果與NCCO[27](neighborhood-based consensus for continuous optimization)、SCA[28](sine cosine algorithm)、SC[29](society and civilization algorithm)、PSO-DE[30](hybridizing PSO with differential evolution)、DSSMDE[31](dynamic stochastic selection with multimember differential evolution)、MBA[32](mine blast algorithm)、WCA[33](water cycle algorithm)和CSA進行比較，測試結果如表10所示。與其他算法相比，MCSA在求解三桿桁架設計問題上獲得了不錯的結果。就最優(yōu)解而言，MCSA的優(yōu)化效果要優(yōu)于SC、SCA、NCCO和MBA；MCSA的平均求解精度優(yōu)于CS、MBA、SCA、NCCO與WCA；標準差最小也證明了MCSA具有較好的穩(wěn)定性。

表9 MCSA在三桿桁架設計問題最優(yōu)解

參數(shù)參數(shù)值x10.788 675 130 760 503x20.408 248 301 308 930g1-6.661 338 147 750 939E-16g2-1.464 101 602 808 951g3-0.535 898 397 191 049f(x)263.895 843 376 468 3

表10 不同算法在三桿桁架設計問題測試結果比較

如圖4所示為MCSA求解三桿桁架設計問題的收斂曲線，可以看出MCSA具有不錯的收斂速度，可在50次左右迭代后開始收斂。

5.3.2 壓力容器設計問題

在該設計問題中，目標函數(shù)為壓力容器的總成本，包括材料、成形和焊接成本。如圖5所示，該優(yōu)化問題包括4個決策變量：容器壁的厚度(x1或Ts)、半球頭部的厚度(x2或Th)、內(nèi)半徑(x3或R)和圓柱截面的長度(x4或L)。在4個決策變量中，x1和x2為離散變量(0.062 5 in的整數(shù)倍)，x3和x4為連續(xù)變量。

其數(shù)學模型表示公式如下：

s.t.

g1(x)=-x1+0.019 3x3≤0;

g2(x)=-x2+0.009 54x3≤0;

g4(x)=x4-240≤0;

0≤xi≤100,i=1,2;

10≤xi≤200,i=3,4。

(14)

如表11所示為MCSA在30次獨立運行中針對該問題上求解最優(yōu)值，可以看出x1和x2是0.062 5的整數(shù)倍，且x3和x4在約束范圍內(nèi)。如表12所示為通過MCSA獲得的結果與下列算法的比較：STA[34](state tansition algorithm)、CGWO[35](chaotic grey wolf optimization algorithm)、DGA[36](GA through the use of dominance-based tournament selection)、CPSO[37](revolutionary PSO)、HPSO[38](hybrid PSO)、PSO、G-QPSO[39](QPSO combined with mutation operator)、CSA。

表11 MCSA在壓力容器設計問題最優(yōu)解

表12 不同算法在壓力容器設計問題測試結果比較

可以看出，就最優(yōu)值而言，MCSA的表現(xiàn)優(yōu)于DGA、CPSO、QPSO、CGWO、STA和PSO，與HPSO和CSA獲得的結果相同，但MCSA在平均值與標準差上均優(yōu)于CSA。如圖6所示，MCSA在迭代100次左右便開始收斂。

5.3.3 拉壓彈簧設計問題

如圖7所示，拉壓彈簧設計問題的目的是在滿足最小撓度、震動頻率和剪應力的約束下，最小化拉壓彈簧的重量。該問題由3個連續(xù)的決策變量組成，即彈簧線圈直徑(d或x1)、彈簧簧圈直徑(D或x2)和繞線圈數(shù)(P或x3)。數(shù)學模型表示公式如下：

s.t.

0.05≤x1≤2,0.25≤x2≤1.3,2≤x3≤15。

(14)

如表13所示為MCSA在30次獨立運行中針對此設計問題的最優(yōu)解和約束值。如表14所示為MCSA的計算結果與STA、CGWO、CPSO、HPSO、QPSO、MBA、PSO-DE、CSA算法的比較。MCSA在最優(yōu)值方面的表現(xiàn)僅次于CGWO；MCSA平均值優(yōu)于除PSO-DE、CGWO和CSA之外的所有其他算法；對于標準差而言，MCSA僅次于PSO-DE，也說明了其具有較好的魯棒性。如圖8所示為收斂曲線也證明了MCSA可以快速找到拉伸/壓縮彈簧設計問題的最佳解決方案。

表13 MCSA在壓力容器設計問題的最優(yōu)解

表14 不同算法在拉壓彈簧設計問題測試結果比較

6 結束語

本文基于烏鴉搜索算法提出了改進算法(MCSA)，該算法引入動態(tài)感知概率、萊維飛行策略以及變異更新機制，改進了標準CSA的參數(shù)與位置更新機制，以提高每個烏鴉個體的搜索效率，改善優(yōu)化性能，并使算法在迭代過程中避免陷入局部最優(yōu)。針對約束問題建立了約束處理機制，將改進算法成功運用于工程約束優(yōu)化問題。烏鴉搜索算法作為近年提出的新興算法，大部分研究成果只是基于實驗數(shù)據(jù)分析與仿真階段，對于算法的研究與應用尚有不足，未來可以從如下幾個方面展開工作：①從算法本身的收斂機理、參數(shù)設定和位置更新機制等方面出發(fā)，對算法進行改進以提高算法優(yōu)化性能；②利用CSA結構簡單的特性，將CSA與其他優(yōu)化方法混合，改善CSA存在的尋優(yōu)精度與收斂性等問題；③可結合優(yōu)化問題的特性對CSA進行改進與深化，以增加算法解決復雜函數(shù)的能力。