俞亞

[摘 要]“商不變規(guī)律”在有余數(shù)除法的應(yīng)用中，對(duì)于余數(shù)的判斷常常是難點(diǎn)。尤其是當(dāng)遇到“300÷11○600÷22”這類(lèi)比大小的習(xí)題時(shí)，學(xué)生的困惑就尤為明顯：為何商一樣，余數(shù)不一樣，這兩個(gè)算式卻是相等的呢？要想突破這樣的認(rèn)知困惑，教師就要從知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)入手，借助直觀手段，讓學(xué)生明白余數(shù)的意義及其與除數(shù)的關(guān)系，無(wú)痕修復(fù)知識(shí)斷層，最終破解教學(xué)難點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]商;余數(shù);除法;策略

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0023-02

在四年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末檢測(cè)后，有一道習(xí)題的批改引起了一位學(xué)生的不解：“老師，這道題計(jì)算后明明是‘27……6>‘27……3，怎么是“=”呢？

經(jīng)他這樣一說(shuō)，馬上又有學(xué)生說(shuō)：“您不是說(shuō)過(guò)，‘實(shí)在看不出誰(shuí)大誰(shuí)小時(shí)，算一算不就知道了嘛?？伤愠鰜?lái)明明不一樣，為什么填‘=卻是對(duì)的？”

填“=”的學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“左邊式子的被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，商不變，所以是等于……”

“不對(duì)！商雖然不變，但是余數(shù)變了，所以是不相等的?！痹诜磳?duì)聲中，原本認(rèn)為相等的學(xué)生也開(kāi)始動(dòng)搖——雖然商不變，可余數(shù)的的確確不一樣呀？?jī)蓚€(gè)算式還能用等號(hào)連接嗎？

在學(xué)生的爭(zhēng)論聲中，筆者意識(shí)到了研究這個(gè)問(wèn)題的必要性。

一、原因追溯

學(xué)生之所以對(duì)這道題存在爭(zhēng)議，原因有三。

第一，所學(xué)知識(shí)的局限性。我們知道，判斷結(jié)果是否相等，只要學(xué)習(xí)了小數(shù)除法，得到結(jié)果均是27.27，或用分?jǐn)?shù)表示，結(jié)果都是300/11，那就可以確定是相等的。然而，現(xiàn)在學(xué)生還未學(xué)到小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)，只會(huì)用商帶余數(shù)的方式來(lái)表示結(jié)果，結(jié)果的“同中有異”造成了學(xué)生的困擾。

第二，應(yīng)試教育的副作用。在教學(xué)過(guò)程中，基于應(yīng)試需求，我們有時(shí)會(huì)教給學(xué)生一些技巧來(lái)提高學(xué)生做題的正確率。尤其是在比大小一類(lèi)的題中，有些學(xué)生不能利用觀察來(lái)比出大小時(shí)，有的教師往往會(huì)說(shuō)：“實(shí)在看不出誰(shuí)大誰(shuí)小，算一算不就知道了嘛?！痹谏侠?，正是教師教給的應(yīng)試技巧，學(xué)生放棄了用“商不變規(guī)律”來(lái)解決此題，而用了計(jì)算的方法，進(jìn)而產(chǎn)生困惑。

第三，余數(shù)算理教學(xué)的簡(jiǎn)單化。這是問(wèn)題產(chǎn)生的根源所在。學(xué)生應(yīng)用“商不變規(guī)律”在有余數(shù)除法中進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，教材直接采用討論的方式展開(kāi)。

我們看到，這里僅僅是讓學(xué)生用驗(yàn)證的方法來(lái)解決“余數(shù)到底是多少”的難點(diǎn)。這樣的教學(xué)，學(xué)生受到的是“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以10，商不變，余數(shù)變了”的強(qiáng)化記憶，卻沒(méi)有理解“為什么余數(shù)不一樣”。算理教學(xué)的簡(jiǎn)單化為后續(xù)比大小埋下了“禍根”。

二、策略重構(gòu)

那么，如何讓學(xué)生利用現(xiàn)階段的知識(shí)來(lái)解決文章開(kāi)頭所講的困惑呢？筆者嘗試進(jìn)行了以下策略重構(gòu)。

1.本質(zhì)入手，借助直觀，明晰余數(shù)所表示的含義

教學(xué)“商不變規(guī)律”在有余數(shù)除法中的簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，對(duì)于“余數(shù)究竟是多少”，驗(yàn)算僅是一種表面的方法，實(shí)際上教師完全可以從本質(zhì)入手——依托“計(jì)數(shù)單位”來(lái)給學(xué)生解惑。

首先，可改變例題數(shù)據(jù)，換成900÷40，這樣余數(shù)正好是除數(shù)的一半，學(xué)生更容易理解。告知學(xué)生，把900÷40看成90÷4來(lái)簡(jiǎn)便計(jì)算，實(shí)際上就是在求“90個(gè)十”里面有幾個(gè)“4個(gè)十”。通過(guò)計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有22個(gè)，還?！?個(gè)十”。（如下圖所示）

其次，還可以通過(guò)直觀圖，讓學(xué)生理解900÷40進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算后余數(shù)2所表示的意義，如下圖所示。

通過(guò)計(jì)數(shù)單位來(lái)理解余數(shù)所表示的意義，對(duì)于后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法來(lái)說(shuō)，也是有很大幫助的。

2.提早介入，情境支撐，體會(huì)余數(shù)與除數(shù)的關(guān)聯(lián)

900÷40與90÷4的余數(shù)不同，正反映出余數(shù)與除數(shù)的關(guān)聯(lián)。因此，在學(xué)生理解了把900÷40看作90÷4來(lái)簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，余數(shù)該如何判定之后，教師應(yīng)及時(shí)介入，出示判斷題：900÷40=90÷4=22……2。

學(xué)生很快就判斷出這樣寫(xiě)是錯(cuò)誤的，原因是900÷40的商是22，但余數(shù)應(yīng)該是20。此時(shí)，教師追問(wèn)：“看來(lái)，這個(gè)等式錯(cuò)在最后一步，兩個(gè)算式的商一樣，余數(shù)卻不一樣，那么前面一步‘900÷40=90÷4對(duì)嗎？”由此，暴露出學(xué)生的困惑：如果按照商不變規(guī)律，這兩個(gè)算式是相等的，但是它們的余數(shù)不一樣呀！商不變規(guī)律可以用在不能整除的除法算式中嗎？這兩個(gè)算式的結(jié)果到底相等嗎？這就直接聚焦于文章開(kāi)頭提到的學(xué)生心中之困惑了。

那么，如何引導(dǎo)學(xué)生理解結(jié)果是相等的？我們可以依托現(xiàn)實(shí)情境來(lái)解決。

把“900÷40”看成900個(gè)蘋(píng)果平均分給40個(gè)小朋友，把“90÷4”看成90個(gè)蘋(píng)果平均分給4個(gè)小朋友，“900÷40”是否等于”90÷4”，就在于每個(gè)小朋友分到的蘋(píng)果是否一樣多。

如何求證兩個(gè)情境中每個(gè)小朋友分到的蘋(píng)果個(gè)數(shù)是否一樣？?jī)煞N情況都是每個(gè)小朋友分到了22個(gè)，即商是一樣的，余數(shù)不同。剩下的蘋(píng)果就不能整個(gè)整個(gè)分了，但如果要繼續(xù)分的話，過(guò)程可以用下圖來(lái)表示。

兩個(gè)算式最終的結(jié)果都是22個(gè)蘋(píng)果加半個(gè)蘋(píng)果，等式成立。至此，教師追問(wèn)：“為什么余數(shù)不一樣，我們通過(guò)分蘋(píng)果卻發(fā)現(xiàn)實(shí)際結(jié)果是一樣的呢？”讓學(xué)生觀察得到：余數(shù)是不能單獨(dú)比較的，還要根據(jù)除數(shù)進(jìn)行判斷。就如同20個(gè)蘋(píng)果看上去多，但它對(duì)應(yīng)的是平均分給40個(gè)人，而2個(gè)蘋(píng)果看上去少，但它對(duì)應(yīng)的卻是平均分給4個(gè)人，這兩種情況其實(shí)結(jié)果是一樣的。

至此，學(xué)生就會(huì)深刻體會(huì)，在比較有余數(shù)除法結(jié)果的大小時(shí)，不能孤立地看待余數(shù)，而應(yīng)關(guān)注與余數(shù)相對(duì)應(yīng)的除數(shù)，要從兩者之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行分析。

3.有意滲透，告知后續(xù)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的有效銜接

當(dāng)學(xué)生通過(guò)具體情境明白了余數(shù)與除數(shù)的關(guān)聯(lián)之后，我們可以繼續(xù)做一件事：“同學(xué)們，剛才通過(guò)分蘋(píng)果，我們發(fā)現(xiàn)‘900÷40與‘90÷4的計(jì)算結(jié)果實(shí)際上是相等的，那么到底是不是這樣的呢？我們可以用計(jì)算器來(lái)驗(yàn)證一下?！蓖ㄟ^(guò)計(jì)算器驗(yàn)證，學(xué)生清晰地看到900÷40=90÷4=22.5，由此確定之前的推理是正確的。接著，教師可以明確告訴學(xué)生：“其實(shí)，等到了五年級(jí)，我們學(xué)習(xí)了小數(shù)除法以及分?jǐn)?shù)表示商之后，就可以用小數(shù)或分?jǐn)?shù)來(lái)表示商?！?/p>

通過(guò)上述環(huán)節(jié)，一方面讓學(xué)生提前了解有余數(shù)除法中商的不同表示方法，感受知識(shí)的延續(xù)性;另一方面，再一次讓學(xué)生明確“商不變規(guī)律”在有余數(shù)的除法算式中依舊成立。

三、反思感悟

學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，很大程度上印證著教師在教學(xué)中的疏漏與欠缺。這是在本次問(wèn)題提出與解決過(guò)程中筆者的最大感受。幸好“亡羊補(bǔ)牢，為時(shí)不晚”，通過(guò)上述環(huán)節(jié)的明理之后，學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)了為何“商不變規(guī)律”在有余數(shù)除法中同樣適用以及該怎么使用的問(wèn)題。至此，學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的暫時(shí)性的“知識(shí)斷層”被修復(fù)，教學(xué)難點(diǎn)也終于得到破解。

由此，筆者深切體會(huì)到，在開(kāi)展教學(xué)的過(guò)程中，教師既要站在學(xué)生已有知識(shí)能力水平的基礎(chǔ)上去設(shè)計(jì)教學(xué)，又要應(yīng)用足夠的知識(shí)儲(chǔ)備來(lái)預(yù)設(shè)問(wèn)題，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的疑點(diǎn)與困惑，真正做到未雨綢繆、有的放矢地開(kāi)展教學(xué)。教師要始終站在知識(shí)的本質(zhì)角度出發(fā)，努力去尋求新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，適度改編教材，創(chuàng)新教學(xué)手段，讓學(xué)生的困惑真切地獲得破解與落地。

當(dāng)然，另外值得一提的是，在教學(xué)中，教師應(yīng)該多一點(diǎn)關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，把握每一道習(xí)題的用意與初衷，切不可一味追求結(jié)果，再用一些所謂的“應(yīng)試小技巧”來(lái)限制學(xué)生的思維。

（責(zé)編 李琪琦）