葛敏輝

[摘 要]學(xué)習(xí)分數(shù)除法的關(guān)鍵在于理解運算算理，即為什么可以通過顛倒相乘來實現(xiàn)除法向乘法轉(zhuǎn)化。以鞏子坤教授提出的4種有理數(shù)運算理解為理論依據(jù)，深入分析A、B、C三個版本教材在“分數(shù)除法”中的算理理解編排部分，意圖借助同一把理論的標尺進行分析，更好地把握教材的編排邏輯，使教學(xué)更有效。

[關(guān)鍵詞]教材;分數(shù)除法;算理;理解水平;編排邏輯

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0015-04

各個版本教材對分數(shù)除法的算理理解達到了怎樣的水平？學(xué)生對分數(shù)除法算理理解的局限性是否與教材編排有關(guān)？教材是如何對分數(shù)除法運算進行說理的？本文以鞏子坤教授提出的4種有理數(shù)算理理解為標尺，對三個不同版本教材進行分析。

一、什么是算理理解水平

鞏子坤教授在《程序性知識教與學(xué)研究》中提出有理數(shù)運算理解的4種類型：

程序理解，是按照計算法則得出正確的計算結(jié)果。如：20×0.1= 2.0。

直觀理解，是用畫圖等直觀方式說明運算結(jié)果的合理性。如：20×0.1=2。

抽象理解，是提取認知結(jié)構(gòu)中的已有知識，用語言、算式等說明運算結(jié)果的合理性。如：求20×0.1 就是把20平均分成10份，取其中的1份，結(jié)果是2。又如：20×0.1=20÷10=2。

形式理解，是用已知規(guī)則、規(guī)律證實運算結(jié)果的合理性。如：20×0.1=（20÷10）×（0.1×10）=2，利用的是商不變的規(guī)律。

鞏教授通過實驗研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對分數(shù)除法運算的理解水平層次由低到高依次為程序理解、直觀理解、抽象理解、形式理解。

二、不同版本教材的分數(shù)除法算理理解水平如何

A、B、C三個版本教材的編排都分為兩個層次：第一個層次是分數(shù)除以整數(shù)，第二個層次是一個數(shù)除以分數(shù)。在具體編排中細化為分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)三部分。

1.分數(shù)除以整數(shù)的算理理解編排

遵循從特殊到一般的原則，A、B兩個版本教材在分數(shù)除以整數(shù)部分都安排了兩道例題，分別是分子能被整數(shù)整除和不能被整除兩種情況。

A版本教材（如圖1）對4/7?÷2的算理理解為第二水平直觀理解：借助直觀圖，利用整數(shù)除法到分數(shù)除法的遷移來幫助學(xué)生理解算理。在算理一般化的部分，即4/7?÷3，教材直接舍棄了第二水平直觀理解，遞進為第三水平抽象理解。在此學(xué)生需要從已有認知中調(diào)取三種知識來幫助理解，分別是除法的意義（平均分）、分數(shù)的意義以及分數(shù)乘法的意義，此處直觀圖的作用在于喚醒學(xué)生對分數(shù)乘法的已有認知。

B版本教材（如圖2）為了在兩道例題之間進行邏輯銜接，對特殊數(shù)據(jù)4/5?÷2的算理理解同時呈現(xiàn)了第二水平直觀理解和第三水平抽象理解，目的是體現(xiàn)從直觀理解到抽象理解的優(yōu)化過程，進而一般化。

可以發(fā)現(xiàn)，兩個版本教材在分數(shù)除以整數(shù)的算理理解編排中都有這樣一種假設(shè)：抽象理解比直觀理解更容易，因為抽象的意義解釋具有一般性，可以把對b/a?÷2等于b/a×1/2的解釋應(yīng)用到分數(shù)除以整數(shù)的一般情形，而直觀理解的方法是有條件限制的，即分子必須能夠被整數(shù)整除。

教材編排中有這樣的兩點需要引起關(guān)注：

第一，出場即“消亡”的直觀理解是不是真的不具有一般性？直觀理解在A版本教材中毫無銜接地遞進到抽象理解，出場后就無聲無息地消失了;在B版本教材中存在的價值也僅僅是為了凸顯抽象理解的普適性。

第二，學(xué)生真的是這樣思考的嗎？根據(jù)《直觀表征與形式表征，孰難孰易——師生選擇的分數(shù)除法算理表征方式比較研究》一文，鞏子坤教授等人通過問卷調(diào)查法和訪談法，對學(xué)生理解分數(shù)除法算理進行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對算理的理解有三個水平，其中直觀表征最容易，其次是抽象表征，最難的是形式表征。顯然教材的假設(shè)與學(xué)生的實際理解情況不相符，教材回避了直觀表征，這不太符合學(xué)生的認知習(xí)慣。

2.整數(shù)除以分數(shù)的算理理解編排

A、B兩個版本教材的算理理解都是第二水平直觀理解。所不同的是，如圖3所示，A版本教材借助兩種面積模型幫助學(xué)生逐步深化算理理解，但是在說理的過程中選用的數(shù)據(jù)都是單位分數(shù);如圖5所示，B版本教材遵循從特殊到一般的原則，在數(shù)據(jù)上有了一般化的處理，除數(shù)包含單位分數(shù)（如1/2、1/3、1/4）和一般分數(shù)（如2/3）;如圖4所示，C版本教材直接出示一般分數(shù)，理解水平包含抽象理解和形式理解。其中抽象理解包含兩種，一是把分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進行計算，二是根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系進行抽象的意義解釋：3/4分行的路程為900米，900÷3等于900×1/3，也就是1/4分行的路程，1分鐘包含4個1/4分，所以1分鐘行的路程為900×1/3×4。此處直觀圖的作用是提供解決問題的思路。形式理解則表現(xiàn)為借助商不變規(guī)律解決問題，但與為什么顛倒相乘的算理理解無關(guān)。

通過分析筆者得出以下兩點思考：

第一，直觀理解的結(jié)論具不具備一般性？A版本教材采用特殊的單位分數(shù)，獲得的結(jié)論并不能走向一般化;B版本教材在編排整數(shù)除以幾分之一時借助直觀理解提出顛倒相乘的猜想，但是在一般化（整數(shù)除以一般分數(shù)）時的直觀圖并不直接指向為什么可以顛倒相乘，它的作用在于展示直觀圖顯示的計算結(jié)果與顛倒相乘的結(jié)果與是相同的，從而利用等量公理間接證明顛倒相乘這一算理。因此A、B兩個版本教材在直觀理解顛倒相乘的算理過程中都出現(xiàn)了局限性。

第二，教材中的算理理解水平有遞進嗎？C版本教材看起來理解水平更高，但實際上這里的形式理解（商不變規(guī)律）以及抽象理解（將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進行計算）均不指向顛倒相乘的算理理解，而是作為一種解決問題的方法呈現(xiàn)。

3.分數(shù)除以分數(shù)的算理理解編排

如圖6、圖7所示，A版本和C版本教材都是第一水平程序理解，即直接用規(guī)則解決問題;而B版本教材，如圖8所示，則是第二水平直觀理解，教材選取了同分母分數(shù)除法的特殊數(shù)據(jù)，借助直觀圖，說明直觀圖顯示的計算結(jié)果與顛倒相乘的結(jié)果是相同的，這與該版本在整數(shù)除以分數(shù)中的編排思路一致。

還一個很重要的問題值得思考：為什么三個版本教材在分數(shù)除以分數(shù)這里都直接跳過了說理、證明的過程？雖然B版本教材在分數(shù)除以分數(shù)的算理理解上試圖借助圖像來解釋說理，但也不難發(fā)現(xiàn)，這里用的都是特殊數(shù)據(jù)，即同分母分數(shù)相除，那么這樣理解和得到的結(jié)論并不具有一般性。其他版本的教材更是完全省略，只是在練習(xí)中讓學(xué)生直接用法則計算。

通過對分數(shù)除法的三個學(xué)習(xí)任務(wù)（分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)）的算理理解編排進行分析，研究教材的算理理解水平，在思考中深入把握教材的編排邏輯。

三、教材的算理理解中要處理好哪幾個關(guān)系？

用同一把理論的標尺分析研究教材，在理性的把握中，筆者把目光聚焦在如何處理好以下幾個關(guān)系上：

1.如何處理好從特殊到一般的關(guān)系

教材編排一般都是先從特殊數(shù)據(jù)出發(fā)，再走向一般化。在這個過程中，只是通過一個例子就得到一個法則是可怕的，用一個特殊的例子得到了結(jié)論就更可怕了，都不利于學(xué)生對于算理的理解，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的培養(yǎng)。因此，處理好從特殊到一般的關(guān)系是教材編排要重視的問題。

2.如何處理好教材假設(shè)與學(xué)生認知之間的關(guān)系

教材對于算理理解更關(guān)注的是抽象理解，而學(xué)生更容易接受直觀理解。鞏子坤教授通過研究發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對分數(shù)除法的算理理解是以程序理解為主，直觀理解和抽象理解都比較少。可見，單純的抽象說明對學(xué)生來說有一定的難度，而教材、教師對于以直觀的方式理解算理不夠重視，造成直觀理解不能成為學(xué)生的有效學(xué)習(xí)路徑。筆者認為，學(xué)生的思維水平有差異，因此教材編排在遵循學(xué)生認知的基礎(chǔ)上可以有多路徑的設(shè)計，盡可能讓學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上發(fā)展更高的理解水平。

3.如何處理好直觀理解和其他理解水平間的轉(zhuǎn)化與遞進

直觀理解真的不具有一般性嗎？答案是否定的。然而不同教材在“分數(shù)除以整數(shù)”一般化的過程中，都回避了直觀理解，這與學(xué)生是以直觀理解為主的特點是相違背的。

對于算理理解來說，我們還是希望學(xué)生能夠往更高水平去發(fā)展。直觀理解真的不能走向更高水平的理解嗎？如何才能實現(xiàn)算理理解水平的遞進？我認為，在算理一般化的過程中，理解水平的遞進需要學(xué)生充分經(jīng)歷對已有知識的改造和對思考過程的優(yōu)化，這樣，學(xué)生就可以從直觀理解走向更高水平的理解。

以上分析說明，教材的編排本身是一種學(xué)習(xí)路徑，不一定適用于所有學(xué)生。在教學(xué)實踐中，教師要加強對教材的分析研究，更要基于學(xué)生的認知基礎(chǔ)優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑，盡可能讓不同層次的學(xué)生都能選擇合適的方式去理解算理，讓學(xué)生在原有的理解水平上發(fā)展更高的理解水平。

（責(zé)編 吳美玲）