孫秀榮

（河北環(huán)境工程學院，河北 秦皇島 066102）

0 引言

碳纖維連續(xù)抽油桿具有質輕、高強、耐腐蝕等優(yōu)越特性，在國內(nèi)一些油田逐步得到了規(guī)?；瘧肹1-3]。與鋼制桿抽油桿柱不同，碳纖維連續(xù)抽油桿一般由上部碳纖維桿和下部加重鋼制桿組成。碳纖維桿以碳纖維材料為內(nèi)心，殼層為玻璃纖維材料，兩者結合處是玻璃纖維纏繞層[4-5]。作為一種新型材料，其力學性能備受關注。文獻［6-7］對碳纖維抽油桿柱進行了超沖程分析；文獻［8-9］對碳纖維抽油桿柱展開縱向振動力學分析，求出了固有頻率等參數(shù)。上述研究均未考慮桿柱的橫向變形，而碳纖維桿柱在井下運動過程中，是被局限在油管的狹小空間內(nèi)，桿柱的在油管徑向尺寸上的變形，直接決定了碳纖維桿柱是否有偏磨、斷桿和脫扣現(xiàn)象，以及桿柱壽命情況是否受影響。本文立足于碳纖維桿柱在油管內(nèi)的徑向動力學變形，研究碳纖維桿柱斷桿、脫扣機理。

1 力學模型

不考慮碳纖維桿柱的扭轉變形，假設油管完全豎直狀態(tài)，碳纖維復合桿柱軸心與油管中心重合。以碳纖維桿柱的井口為坐標原點，桿柱在油液中除了受底端的往復性端部載荷P(t)以外，還受到油管不同深度位置處分布節(jié)點載荷q(x)。在上述假設條件下，建立圖1所示的復合桿柱橫向彎曲變形的力學模型。

圖1 桿柱受力和橫向彎曲變形

2 數(shù)學模型

將整根碳纖維連續(xù)桿柱的彎曲變形分為三部分：上部段、中間段（桿管接觸）、下部段，兩段連接處滿足連續(xù)性條件，即位移相等、轉角相等、彎矩相等。在實際抽油過程的下行程某一時間段，按照桿柱受力分析可知，碳纖維材料桿柱為柔性桿柱，只受拉力，不受壓力。而鋼制桿柱可以處于受拉或受壓狀態(tài)，其某一位置點（中位點）至底端桿柱超過受壓極限載荷出現(xiàn)屈曲變形，中位點以上則處于受拉狀態(tài)。按工程實際，桿柱由于屈曲導致的接觸段全集中在鋼制桿，鋼制桿柱屈曲變形段則與油管內(nèi)壁接觸[10]。因此，上述變形階段中，中間段和下部段均假設為鋼制桿，上部段則由碳纖維材料桿和鋼制桿合并組成。

中間段桿柱屈曲假設完全與油管內(nèi)壁接觸，即變形為圓柱螺旋形狀，其變形微分方程為：

上部段包含兩部分：上面的部分為碳纖維材料，下面的部分為鋼質材料，兩部分均不與油管內(nèi)壁接觸，其變形微分方程為：

碳纖維材料桿和鋼制材料桿交界處連續(xù)性條件：

底部段變形微分方程為：

碳纖維桿柱頂端的邊界假設為固定端，鋼制桿的底部假設為可滑動的固定端，則邊界條件為：

假設碳纖維復合桿柱的初始條件為豎直狀態(tài)，即：

碳纖維復合桿柱在油井中往復運動，底部抽油泵柱塞位置處桿柱的載荷也是隨往復運動而變化的，其變化曲線如圖2所示：

圖2 端部柱塞載荷變化規(guī)律

由于桿柱的中下部段出現(xiàn)了屈曲變形，此變形作為橫向動力學的空間位移激勵，相應時刻桿柱的屈曲變形為：

3 數(shù)值仿真方法

此方程為變系數(shù)高階線性微分方程，含耦合變量時間變量t和空間變量x。當桿柱產(chǎn)生的彎曲變形與油管內(nèi)壁接觸后，將與油管壁面產(chǎn)生碰撞后反彈，碰撞過程的發(fā)生為非線性接觸問題。因此分析整個過程需要分為兩部分：求解高階變系數(shù)線性耦合微分方程和接觸碰撞問題的簡化處理。

接觸碰撞問題本文引入較常用的方法恢復系數(shù)法，即當桿柱節(jié)點與油管壁發(fā)生碰撞后，節(jié)點沿圓周徑向的速度發(fā)生反向，節(jié)點切向的速度方向和大小不變，且碰撞后節(jié)點落在油管內(nèi)壁上，參見文獻[11-12]。

高階變系數(shù)線性耦合微分方程無法采用解析方法求解，最理想的方式為數(shù)值分析方法。本文采取有限差分法和Newmark-β法相結合的方法，有限差分法用于離散空間變量x，Newmark-β法用于離散時間變量t。空間離散的模型如圖3所示，將整個細長桿柱離散成n個單元，n+1個節(jié)點，以碳纖維桿和鋼制桿連接處為分界點，分別采用不同的步長?x1和?x2，時間步長均為?t。

圖3 空間節(jié)點離散

則空間離散并進行中心有限差分后，兩邊界處的差分形式為：

同理，將桿柱邊界范圍內(nèi)的空間節(jié)點進行差分處理，得到不同節(jié)點處各階差分形式(8-10)：

采用Newmark-b法對時間進行離散，按Newmark-b假設形式，則有：

式中，β和γ是積分精度相關的參數(shù)。當β≥0.5，γ≥0.25（0.5+β）2時，為無條件穩(wěn)定的形式。本文取β=0.5，γ=0.25，滿足穩(wěn)定條件。由式（11）得到的表達式，即：

則進一步得到t+?t時刻的微分方程：

將式（12-13）代入（14），得到關于yt+?t的方程

4 仿真結果

4.1 基本參數(shù)

碳纖維桿柱組合形式為二級桿柱：一級桿為19mm×1700m的碳纖維桿柱，二級桿為25mm×500m的鋼桿。鋼質桿彈性模量E2=206 GPa，碳纖維桿彈性模量E1=103 Gpa。分布軸向力為如圖4所示，分布軸向力隨桿柱的節(jié)點位置和運動瞬時時刻而變化。其他相應參數(shù)如圖5所示。

圖4 碳纖維復合桿柱不同節(jié)點位置處的分布載荷

4.2 桿管接觸的仿真結果

經(jīng)數(shù)值仿真得到了碳纖維復合桿柱隨井深和抽油時間變化的規(guī)律，如圖5所示。由圖可知，碰撞接觸力在中下部相比上部段碰撞接觸力顯著增長，具有較大碰撞力的桿柱位置分布在鋼制桿上，而中上部碳纖維桿柱碰撞力很小。由此說明，碳纖維材料的桿柱能有效減少桿管的接觸碰撞，即相應的延長桿柱的壽命。

仿真界面的基本參數(shù)

圖5 接觸力變化

4.3 桿柱彎曲應力

對數(shù)值仿真結果進一步進行處理，得到了桿柱在油管內(nèi)產(chǎn)生動力學彎曲變形后的彎曲應力分布，如圖6所示。圖6a為鋼制桿部分彎曲應力分布，圖6b為碳纖維桿柱彎曲應力分布。由圖可知，在一個行程內(nèi)，碳纖維桿和鋼制桿的彎曲應力最大值隨著井深的增加而增大，碳纖維桿的最大彎曲應力可達30MPa，鋼制桿的最大彎曲應力可達150MPa。鋼制桿的彎曲應力并為超過本身的屈服極限，說明鋼制桿在井眼內(nèi)的受力多為往復磨損及疲勞破壞。而碳纖維桿受到的彎曲應力大幅減小，碳纖維桿柱的壽命大大延長。

圖6 碳纖維復合桿柱彎曲應力變化

5 結論

本文建立了碳纖維復合桿柱的橫向動力學仿真模型，對桿柱和油管的橫向碰撞和接觸力進行了仿真分析，得到如下結論：

（1）碳纖維-鋼制桿復合桿柱與油管發(fā)生碰撞劇烈的位置在鋼制桿靠近底端幾十米至幾百米之間，上部碳纖維桿的碰撞明顯較弱，且碰撞力較低，說明碳纖維復合桿柱主要在鋼制桿處發(fā)生偏磨，而傳統(tǒng)鋼制桿柱偏磨幾乎發(fā)生在全井。因而，碳纖維桿柱的桿管偏磨現(xiàn)象大大降低。

（2）桿柱在油管內(nèi)發(fā)生彎曲變形的應力并未超過材料許用應力，材料仍在彈性范圍內(nèi)變形。說明發(fā)生的破壞多是疲勞磨損。

（3）本文的動力學仿真結果驗證了碳纖維桿的良好的力學性能和較低的桿管接觸偏磨現(xiàn)象，解釋了碳纖維桿相比全鋼制桿具有較長壽命的原因，為碳纖維桿的工程應用提供了理論支撐。