馮依虎 莫嘉琪

(1-亳州學(xué)院電子與信息工程系，亳州 2 36800; 2-上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 2 00436;3-安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，蕪湖 2 41003)

1 引言

非線性積分-微分方程模型在數(shù)學(xué)物理、工程數(shù)學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué)、物理化學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中都有很廣泛的應(yīng)用.利用奇異攝動方法來求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，諸多學(xué)者已經(jīng)做了很多研究[1-9].Mo等[10-17]用多重尺度、同倫映射、變分迭代等理論，討論了一類反應(yīng)擴(kuò)散、大氣物理、光晶格等方面的問題.Feng等[18-26]也用奇異攝動方法對一類孤立子波、分?jǐn)?shù)階微分方程、自治系統(tǒng)等模型也做了一些工作.

本文是利用奇攝動理論和方法來討論一類發(fā)展方程Robin問題，得到了相應(yīng)模型的一致有效的廣義漸近解.

現(xiàn)討論如下奇攝動積分-微分發(fā)展方程Robin問題

微分算子

系數(shù)αμσ是在C∞(Ω)中的實值函數(shù)，L為一致橢圓型算子，T為積分算子

(v,z)是被定義在H1(Ω)上的內(nèi)積.

我們假設(shè)：

(H1): 微分-積分發(fā)展方程(1)–(3)的退化情形的積分方程

有解U00∈H1(Ω)；

(H2): 下列方程

成立，其中c1為正的常數(shù).

2 Fredholm積分方程廣義解

現(xiàn)構(gòu)造發(fā)展方程模型(1)–(4)的廣義外部解U.設(shè)

將(6)式代入積分-微分發(fā)展方程(1)，按ε和μ的冪展開對應(yīng)的非線性項F，合并εrμs同次冪的系數(shù).取對應(yīng)ε0μ0的系數(shù)為零，它就是Fredholm積分方程(5).由假設(shè)知，它的解為U00.

取對應(yīng)εrμs(r,s=0,1,···,r+s?=0)冪的系數(shù)為零，可得如下Fredholm積分方程

其中

由Fredholm積分方程(7)，可以得到對應(yīng)的廣義解Urs(r,s=0,1,···,r+s?=0).將它們代入(6)式，便得到積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)的廣義外部解U.但它未必滿足模型的邊界條件(2)和初始條件(3),(4).因此，我們還需構(gòu)造積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)廣義解的邊界層校正項V和初始層校正項W.

3 解的邊界層校正

在區(qū)域Ω邊界?Ω的鄰域上建立一個局部坐標(biāo)系(ρ,φ)：設(shè)在邊界?Ω的鄰域中的點P∈Ω的坐標(biāo)ρ(ρ≤ρ0)是點P到?Ω的距離，這里ρ0>0為足夠小的常數(shù)，使得在?Ω上的每一點的內(nèi)法線在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0中互不相交.坐標(biāo)φ=(φ1,φ2,···,φn?1)是在n?1維邊界?Ω上的一個非奇異坐標(biāo)系，并設(shè)?Ω的鄰域中點P的坐標(biāo)φ是通過點P的內(nèi)法線與邊界?Ω的交點Q的坐標(biāo)φ相同.因此，在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0中

其中

現(xiàn)作多重尺度變量[1,2]

而

設(shè)模型(1)–(4)的邊界層校正項為V，模型的廣義解z為

將(11)式代入關(guān)系式(1),(2)，可得

其中邊界算子～B[·]為

再設(shè)

將(11),(14)式代入式(12),(13)，并按ε及μ的冪展開，合并εrμs的同次冪項，有

其中Grs(r,s=1,2,···,r+s?=0)為逐次已知的函數(shù)，其表示式從略.

由廣義積分-微分發(fā)展方程問題(15)–(18)，依次可得vrs(r,s=1,2,···).再由假設(shè)知vrs具有如下廣義邊界層型的性態(tài)

4 模型廣義解的初始層校正

設(shè)廣義積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)的初始層校正項為W，而模型的廣義解z為

且設(shè)

將(20),(21)式代入關(guān)系式(1),(3)和(4)，按ε,μ的冪展開非線性項，合并εrμs同次冪的系數(shù)，有

再由假設(shè)知，vrs具有如下廣義初始層型的性態(tài)

因此，我們構(gòu)造兩參數(shù)非線性廣義積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)的廣義解z有如下形式漸近展開式

5 廣義解的一致有效性

現(xiàn)在用泛函分析不動點理論來估計積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)廣義漸近展開式(29)的余項R.設(shè)

其中

利用(30)式和邊界層，初始層校正項的性態(tài)(19)和(28)式，有

由(31)–(35)式，有

固定ε,μ，取線性賦范空間N:N={q|q∈C2((0,T]×Ω)}，得

且有范數(shù)

設(shè)Banach空間B和范數(shù)分別為

由假設(shè)

其中C1,C2和C均為獨立于ε,μ的常數(shù)，且對任意的q1,q2在球KN(r),‖r‖≤1中成立.再由泛函分析不動點定理[1,2]，奇攝動非線性積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)廣義解的漸近展開式(29)的余項R滿足

這里

λ=max(εM+1μM,εMμM+1),0<ε,μ?1.

因此，得到如下定理：

6 結(jié)論與應(yīng)用前景

廣義非線性奇異攝動積分-微分發(fā)展方程模型的奇攝動求漸近解的方法在應(yīng)用數(shù)學(xué)，工程數(shù)學(xué)等各學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.本文是利用冪級數(shù)展開技術(shù)，伸長變量和多重尺度變換技巧，合成展開理論來求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了廣義解的近似展開式并用不動點理論證明了廣義解的漸近展開式的一致有效性.

用奇異攝動方法得到的解是漸近解析式，它不同于用一般的數(shù)值計算方法得到的解.因為得到的漸近解析式還可繼續(xù)進(jìn)行微分，積分等解析運算，從而來進(jìn)一步得到解的更多性態(tài)及相關(guān)的物理量的定性、定量的描述.然而，用一般的數(shù)值計算方法所得到的模擬解是不能達(dá)到的.因此，從這一觀點來說，在本文中對廣義非線性奇異攝動積分-微分發(fā)展方程模型用奇攝動方法得到解的漸近解析式具有良好的應(yīng)用前景.