王旦霞, 賈宏恩, 李亞倩

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024)

1 引言

Cahn-Hilliard方程是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)物理模型，該方程是由Cahn和Hilliard在1958年提出，用于描述復(fù)雜的相分離和粗化現(xiàn)象[1-3].本文要研究的Cahn-Hilliard方程具有如下形式

許多學(xué)者針對快速數(shù)值求解非線性問題進(jìn)行了研究.例如，文獻(xiàn)[9]中研究了有限差分格式和自適應(yīng)時(shí)間步長方法，文獻(xiàn)[10]提出了大時(shí)間步長方法，文獻(xiàn)[11]提出了兩層空間網(wǎng)格方法.最近，針對時(shí)間分?jǐn)?shù)階水波模型，文獻(xiàn)[12]中提出了時(shí)間雙層網(wǎng)格有限元方法，文獻(xiàn)[13]中使用該方法快速求解空間分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn方程，并證明了該方法的有效性和可行性.

受文獻(xiàn)[12,13]的啟發(fā)，本文針對非線性Cahn-Hilliard方程，提出了時(shí)間雙層網(wǎng)格有限元方法，該方法需要分兩步進(jìn)行：第一步，在粗的時(shí)間步長上求解非線性系統(tǒng)；第二步，在細(xì)的時(shí)間步長上求解線性系統(tǒng).相比傳統(tǒng)的Galerkin有限元方法，在精確度相同的情況下，本文提出的方法可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間.

2 理論準(zhǔn)備

為了之后證明的方便，首先引入一些范數(shù)的定義和引理.L2(Ω)是平方可積函數(shù)空間，內(nèi)積和范數(shù)分別是

H1(Ω)是通常的Sobolev空間，半范和范數(shù)分別是

其中

且

采用以下的記法

注1 引理1和引理2中的常數(shù)C獨(dú)立于時(shí)間t.

3 數(shù)值格式與TT-M FE方法

3.1 全離散格式

令Th={e}為Ω的擬一致剖分，hi是空間網(wǎng)格步長，且h=max0≤i≤n hi，對任意的整數(shù)k，定義有限元空間

其中Pk(x,y)是x,y的次數(shù)不超過k∈Z+的多項(xiàng)式的集合.問題(1)的的全離散格式為：求Un:[0,T]?→Vh，使得

其中U0=uh0(x)是u0(x)的一個(gè)逼近，Un代表u(x,t)的全離散逼近.

3.2 時(shí)間雙層網(wǎng)格有限元方法

步驟3 基于插值結(jié)果UmI，考慮時(shí)間細(xì)網(wǎng)格上線性系統(tǒng)，即求UmF:[0,T]?→Vh，

其中fu是f關(guān)于u的導(dǎo)數(shù).

4 穩(wěn)定性分析

定理1 對于時(shí)間粗網(wǎng)格系統(tǒng)(6)式，TT-M系統(tǒng)(7)式，下面的不等式成立

證明 分兩步完成：第一步，時(shí)間粗網(wǎng)格系統(tǒng)(6)式的等價(jià)形式為

先利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式對(11)式左端第二項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)有

結(jié)合(11)式和(12)式，故有

不等式兩邊從1加到n，得

再根據(jù)離散的Gronwall不等式，(8)式得證.

第二步，TT-M系統(tǒng)(7)式的等價(jià)形式為

在(15)式中，令

類似于(8)式，有

為了估計(jì)‖UkI‖2，使用下面的拉格朗日插值公式

結(jié)合(16)式和(18)式，并根據(jù)離散的Gronwall不等式，(9)式得證.

5 誤差估計(jì)

為了對我們的數(shù)值格式進(jìn)行誤差估計(jì)，引進(jìn)下面的定義和引理.定義B(u,v)=ε2(Δu,Δv).

引理3[15]實(shí)數(shù)r滿足2≤r≤3，存在常數(shù)C與h無關(guān)，對任意函數(shù)

有

證明 首先，將初始問題(1)式等價(jià)于ut+Δ(ε2Δu?f(u))=0.其弱形式為

其中

下面分兩步證明：第一步，令

(25)式兩端從1加到n，可得

然后，根據(jù)離散的Gronwall不等式，可推得

最后，根據(jù)正交投影算子Ph的性質(zhì)以及半范|u|H1和范數(shù)‖u‖H1的等價(jià)性質(zhì)，(21)式得證.

第二步，首先估計(jì)時(shí)間細(xì)網(wǎng)格上的誤差‖u(tm)?UmI‖H1，由(17)式可得

其中?m∈(tn?1,tn)，結(jié)合(28)式和(21)式，由三角不等式得

將(23)式中n和τc替換為m和τ，再用(15)式減去所得結(jié)果得：對任意的vh∈Vh，有

其中

然后，使用泰勒展開式估計(jì)上式右端第一項(xiàng)，可得

結(jié)合(30)和(31)，類似于(21)式，可推得

最后，根據(jù)正交投影算子的性質(zhì)，半范|u|H1和范數(shù)‖u‖H1的等價(jià)性質(zhì)，(22)式得證.

6 數(shù)值分析

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，采用數(shù)值例子驗(yàn)證理論分析的正確性和有效性.選擇初始條件和精確解分別為

u0=cos(πx)cos(πy)e,u(x,y,t)=cos(πx)cos(πy)ecos(t),

計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0,2π]×[0,2π].

6.1 空間與時(shí)間收斂階

表1 TT-M FE方法的空間收斂階τc=10τ=

表1 TT-M FE方法的空間收斂階τc=10τ=

h ‖u?UF‖‖u‖ 收斂節(jié) ‖u?UF‖H 1‖u‖H 1 收斂節(jié)1 8 0.324612 0.393574 1 16 0.0887456 1.871 0.193534 1.024 1 32 0.0226662 1.969 0.0960736 1.010

表2中，給出了當(dāng)ε=1,M=2,h=τ2時(shí)的L2相對誤差和H1相對誤差.由表2可知，關(guān)于時(shí)間的H1相對誤差是二階收斂的，同理論分析部分一致.

表2 TT-M FE方法的時(shí)間收斂階h=τ2

6.2 TT-M FE方法和Galerkin FE方法的CPU耗時(shí)比較

表3 TT-M FE方法和Galerkin有限元方法的CPU耗時(shí)

6.3 TT-M FE方法數(shù)值解UF和精確解u的比較

圖1精確解u

圖2 TT-M FE解UF

6.4參數(shù)M對CPU和誤差的影響

圖3中，當(dāng)M從2增大到20時(shí)，TT-M FE方法的CPU耗時(shí)逐漸減小，趨于平穩(wěn).這表明用TT-M FE方法求解Cahn-Hilliard方程時(shí)，可以選擇較大參數(shù)M以提高數(shù)值求解的速度.

圖3 M對計(jì)算時(shí)間的影響

圖4中，隨著參數(shù)M的增大，TT-M FE方法的L2相對誤差在很小的范圍內(nèi)波動(dòng)，這表明參數(shù)M對數(shù)值計(jì)算的精度有較小的影響.

圖4 M對誤差的影響

7 結(jié)論

本文對Cahn-hilliard方程的時(shí)間雙層網(wǎng)格有限元方法進(jìn)行了研究.從理論上證明了該方法的穩(wěn)定性和誤差估計(jì).最后通過數(shù)值例子驗(yàn)證該方法的有效性和可行性.