趙友國，劉尚偉，王冠中，徐海柱，李富偉，逄 春

（1.東方電子股份有限公司，山東 煙臺 264000；2.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310008）

0 引言

大規(guī)模隨機波動的新能源發(fā)電設(shè)備正廣泛改變傳統(tǒng)可控/可計劃的電網(wǎng)運行模式，其中，新能源并網(wǎng)功率的隨機性、間歇性導(dǎo)致電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)難以準(zhǔn)確估計，對EMS（能量管理系統(tǒng)）的功能實施帶來了挑戰(zhàn)[1]。量測數(shù)據(jù)的可觀性分析是保證狀態(tài)估計有效實施的前提，當(dāng)量測數(shù)據(jù)不完全可觀時，可以提供可觀孤島等信息，進(jìn)而指導(dǎo)量測裝置的選址，以實現(xiàn)系統(tǒng)量測數(shù)據(jù)的完全可觀。有必要指出，隨著中國電力事業(yè)的快速發(fā)展，高壓網(wǎng)架的可觀性已滿足狀態(tài)估計需求，但對于海量節(jié)點的中低壓網(wǎng)架，特別是配電網(wǎng)絡(luò)，由于節(jié)點數(shù)量大、投資成本高，當(dāng)前尚未將數(shù)據(jù)測量覆蓋至每一個節(jié)點，因此仍有必要研究狀態(tài)估計的可觀性問題，這對于構(gòu)建成本可控的配電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計系統(tǒng)具有實際意義。

針對狀態(tài)估計可觀性分析的研究可以追溯到上世紀(jì)70 年代，E.E.Fetzer 等將現(xiàn)代控制理論中的可觀性概念引入到電力系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)估計問題，通過將線性系統(tǒng)中的動態(tài)過程置零，證明了電力系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)估計的可觀性本質(zhì)上與線性系統(tǒng)可觀性保持一致[2]。

可觀性分析的方法主要分為圖論類方法和數(shù)值計算法。電力系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)估計的可觀性概念建立以后，首先發(fā)展的是圖論類方法[3]。圖論類方法將量測裝置獲得的數(shù)據(jù)與輸電網(wǎng)絡(luò)的線路相互關(guān)聯(lián)，通過量測裝置數(shù)據(jù)覆蓋到的線路能否組成連通樹來判斷系統(tǒng)的可觀性。圖論類方法幾乎不用進(jìn)行數(shù)值計算，具有形象直觀、應(yīng)用簡單的優(yōu)勢[4]，但其所得結(jié)果不能與數(shù)值計算保持完全一致，導(dǎo)致在一些復(fù)雜場景下結(jié)果不夠準(zhǔn)確[5]。數(shù)值計算法直接對狀態(tài)估計方程組的雅可比矩陣H[6]及其增益矩陣HTH 或者Gram 矩陣HHT[7-8]進(jìn)行分析，檢驗矩陣是否奇異，若奇異則認(rèn)為系統(tǒng)不完全可觀。但考慮到實際系統(tǒng)的雅可比矩陣具有非常高的維數(shù)，且不具有稀疏性，因此數(shù)值計算法面臨的主要挑戰(zhàn)是計算效率低。為提高數(shù)值計算法的效率，目前主要采用兩類研究辦法，分別是迭代法[9-10]和直接法[5]。迭代法通過迭代求解部分狀態(tài)變量的方式完成對增益矩陣或Gram矩陣的分解，并從結(jié)果中直接判定系統(tǒng)是否完全可觀。直接法則不進(jìn)行狀態(tài)變量的計算，轉(zhuǎn)而對矩陣直接分析，當(dāng)分析對稱矩陣如增益矩陣或Gram 矩陣時多采用矩陣三角分解的方式[7-8]，而對非對稱矩陣如雅可比矩陣進(jìn)行分析時多采用行/列變換的形式[11]。

為了進(jìn)一步降低狀態(tài)估計可觀性分析的計算負(fù)擔(dān)，本文從正交分解角度提出一種可觀性分析的直接法，該方法僅涉及到線性代數(shù)理論，便于工程應(yīng)用[12-14]。主要思路是將雅可比矩陣行空間進(jìn)行正交分解得到一組正交基，正交基的快速構(gòu)造利用了啟發(fā)式方法，若正交基的維數(shù)與狀態(tài)變量的數(shù)量一致，則系統(tǒng)完全可觀，否則需要補充量測數(shù)據(jù)，而量測數(shù)據(jù)的篩選也是通過正交分解的辦法進(jìn)行選擇。最后通過標(biāo)準(zhǔn)算例驗證了所提方法的有效性。

1 旋轉(zhuǎn)變換與正交分解

從數(shù)學(xué)角度介紹所提算法的原理。按照從一般到特殊的順序，首先介紹旋轉(zhuǎn)變換，在此基礎(chǔ)上介紹線性空間關(guān)于向量、子空間的正交分解，最后闡明施密特正交化與正交分解之間的聯(lián)系。

1.1 旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，如高斯消元等，了解其定義有助于深入認(rèn)識很多常見算法的共有屬性[15]。旋轉(zhuǎn)變換的定義式如下所述。

由式（1）可知，旋轉(zhuǎn)變換由兩個步驟組成，第一行是對作為旋轉(zhuǎn)軸的向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，改變其大小；第二行代表旋轉(zhuǎn)，將Hj中其余向量減去標(biāo)準(zhǔn)化后的旋轉(zhuǎn)軸向量的倍。

1.2 正交分解

假設(shè)存在向量uj≠0，令（向量uj和的內(nèi)積），k=1，…，n。若，則有下面結(jié)果成立：

式中：L（Hj）⊥為從子空間L（Hj）中分解出的關(guān)于向量uj正交的子空間，又稱uj的正交補空間。

下面介紹子空間L（Hj）關(guān)于子空間L（{u1，…，un}）的正交分解。

假設(shè)有子空間L（{u1，…，un}）。按照下標(biāo)順序依次對u1，…，un和L（H0）執(zhí)行正交分解步驟，可獲得L（H0）中關(guān)于L（{u1，…，un}）正交的子空間。具體地，若令并且，則：

可知，若對L（H0）和u1，…，uj依次執(zhí)行正交分解步驟，那么余下的就是子空間L（{u1，…，uj}）的正交補空間。此外，還有另外一個性質(zhì)，即：

式（6）說明hj與uj除外的所有ui，i≠j 正交。

1.3 施密特正交化

給定子空間L（H0），其中，向量線性無關(guān)，目標(biāo)是得到L（H0）中一組單位正交基，則施密特正交化過程可以描述如下：

由步驟（1）—（3）可見，本文介紹的正交分解與施密特正交化具有類似對偶的關(guān)系，即正交分解是根據(jù)給定的L（{u1，…，un}）來求取其在L（H0）中的正交補空間，而施密特正交化則是從L（H0）的一組基中找到相互正交的{u1，…，un}。

通過本文對旋轉(zhuǎn)變換、正交分解的介紹，可以加深對施密特正交化的認(rèn)識，尤其是關(guān)于正交化與正交補空間的關(guān)系的認(rèn)識，有助于直觀理解下文所提可觀性算法的原理。

2 狀態(tài)估計與可觀性分析

高、中壓交流電網(wǎng)狀態(tài)估計的重點在于計算節(jié)點電壓的相角，故一些文獻(xiàn)采用直流潮流模型來進(jìn)行狀態(tài)估計及其可觀性分析，因此量測方程可表示為：

式中：H∈Rm×n為有功雅可比矩陣；θ∈Rn為節(jié)點電壓相角向量；z∈Rm為SCADA（數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控）系統(tǒng)的測量數(shù)據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)配置有PMU（同步相量測量單元）時，z 中包含部分節(jié)點相角θ 的測量值或兩個節(jié)點相角差，此時H 中對應(yīng)一行有唯一非零元1 或兩個非零元+1，-1。n 為測量數(shù)據(jù)和狀態(tài)變量的維數(shù)，m 為實際量測數(shù)據(jù)的維數(shù)。矩陣H 具體表示為向量形式如下：

式中：hi，i=1，…，m 為矩陣H 的行向量。

可觀性分析的目的在于判斷量測方程的數(shù)據(jù)采集是否滿足計算節(jié)點電壓相角向量θ 的要求，否則需要補充量測數(shù)據(jù)并增加方程組的方程數(shù)。當(dāng)量測方程完全可觀時，矩陣H 所張成的線性子空間將具有n 個正交基；若矩陣H 不可觀，從子空間中找到的正交向量組可用來恢復(fù)可觀性或計算可觀性孤島。下面介紹的可觀性分析算法便是上述思路的具體展開。

可觀性分析算法的輸出結(jié)果主要分兩方面，一方面是確定矩陣H 行向量中的線性無關(guān)部分，另一方面是給出矩陣H 行空間的一組正交基。若線性無關(guān)的向量數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，那么系統(tǒng)完全可觀，并且余下行向量代表冗余的量測數(shù)據(jù)。

本文所提可觀性分析算法的具體步驟如下：

（1）首先初始化向量j=[j1，…，jm]T=0 和子空間X=span{0}。

（2）從矩陣H 中任選一行向量hk標(biāo)準(zhǔn)化為，令X1=span{u1}，j1=k。

（3）計算H 行向量（除hk以外）到子空間X1的投影，記投影為，以及投影與原向量的誤差（或者說是hi到子空間X1的距離），記為，i=1，…，m。

（5）對向量組{u1，hj2}作施密特正交化處理，即，以及，進(jìn)而得到子空間X2=span{u1，u2}。若對X2重復(fù)步驟（3）—（4），同理可得j3和hj3。

（6）繼續(xù)上述步驟，給定向量組{u1，u2，…，hji}，并對上述向量進(jìn)行施密特正交化，可得對應(yīng)的子空間Xi=span{u1，ui}。

（7）對于j=1，…，m，向量hj對子空間Xi的投影為。

從幾何的角度看，上述算法步驟（2）—（10）本質(zhì)上是從H 行向量中選出距離子空間最遠(yuǎn)的一個作為新的基，將其加入子空間Xi并再次施密特正交化為一組新的正交基Xi+1，周而復(fù)始，得到H 行空間的一組正交基。利用最大距離來選擇行向量是一種啟發(fā)式方法，該方法的優(yōu)點是計算負(fù)擔(dān)小，因此可加快可觀性分析的速度。

從代數(shù)的角度看，上述步驟（2）—（10）與矩陣的QR 分解[7]在形式上十分接近，最大不同在于本文算法將雅可比矩陣H 的行向量重新進(jìn)行了排序，因此避免了矩陣求逆的操作，此外，也避免了矩陣迭代過程中由于部分行接近0 而附加的旋轉(zhuǎn)變換。

此外，聯(lián)系本文第一節(jié)的旋轉(zhuǎn)變換與正交分解的理論背景可知，所提算法過程不改變原始矩陣H 行空間的維數(shù)，因而算法輸出的正交基的數(shù)量恰是行空間維數(shù)，若其與狀態(tài)變量數(shù)量一致，則系統(tǒng)完全可觀。

3 重構(gòu)可觀性的量測數(shù)據(jù)選擇方法

當(dāng)系統(tǒng)為不可觀系統(tǒng)且雅可比矩陣的階數(shù)為n-r 時，上述算法可用于補充篩選r 個量測數(shù)據(jù)來重構(gòu)可觀的系統(tǒng)或n 階雅可比矩陣。此時，經(jīng)過步驟（1）—（10）所篩選出的正交的量測數(shù)據(jù)集合為Xn-r=span {u1，u2，…，un-r}，然后，以Xn-r為初始數(shù)據(jù)對其余量測數(shù)據(jù)所構(gòu)成的雅可比矩陣Hc繼續(xù)執(zhí)行算法步驟（6）—（10）直到篩選出的正交量測數(shù)據(jù)的數(shù)量達(dá)到n。至此，通過上文所提算法實現(xiàn)了不可觀系統(tǒng)的可觀性重構(gòu)。

4 仿真分析

4.1 5 節(jié)點系統(tǒng)算例分析

仿真分析的主要目的是驗證基于正交分解的可觀性分析算法的有效性。首先采用某5 節(jié)點系統(tǒng)[16]拓?fù)潋炞C算法流程及結(jié)果的正確性，其量測裝置配置如圖1 所示，其中，3 號和5 號節(jié)點注入功率數(shù)據(jù)可測，線路4-5 和線路1-5 的有功潮流可測。

圖1 5 節(jié)點系統(tǒng)

根據(jù)圖1 中的測量裝置配置情況，該系統(tǒng)的狀態(tài)估計雅可比矩陣H 為：

矩陣H 的四列分別對應(yīng)節(jié)點1，2，4，5 的狀態(tài)變量（電壓相角），節(jié)點3 為平衡節(jié)點故不在此列。本文所提算法初始向量為矩陣H 的第一行，對應(yīng)節(jié)點3 的功率注入量測數(shù)據(jù)，此時有u1=[0，-0.71，-0.71，0]和j1=1。接著計算其余三行到X1=span{u1}的投影，可得對應(yīng)的誤差分別為。最大誤差對應(yīng)測量數(shù)據(jù)P5，繼續(xù)執(zhí)行算法流程，選擇向量h2，且j2=2，經(jīng)施密特正交化后得u2=[-0.43，0.21，-0.21，0.85]。計算矩陣H 的最后兩行向量到X2=span（u1，u2）的投影及誤差，。上面兩個誤差值相等，可選矩陣H 的最后一行h4，對其進(jìn)行施密特正交化后得u3=[-0.75，-0.45，0.45，-0.15]，計算h3到X3=span（u1，u2，u3）的投影及誤差，得，算法執(zhí)行到終止判據(jù)。最后輸出結(jié)果為j=[1，2，4]T，結(jié)論是系統(tǒng)不完全可觀。

若繼續(xù)補充量測數(shù)據(jù)以恢復(fù)系統(tǒng)可觀性，那么根據(jù)上面得到的X3=span（u1，u2，u3），計算候補量測數(shù)據(jù)到X3的投影與誤差，繼續(xù)執(zhí)行算法的（6）—（10）步，即可選擇最少的候補量測數(shù)據(jù)來恢復(fù)系統(tǒng)可觀性。新增加的量測數(shù)據(jù)雅可比矩陣為：

重構(gòu)可觀性算法運行后P2被選擇用于恢復(fù)可觀性。

4.2 118 節(jié)點系統(tǒng)的算例分析

通過118 節(jié)點系統(tǒng)[16]進(jìn)一步說明本文所提算法的計算效率。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到117 時，此時的收斂誤差為0.86，增加一次迭代后誤差收斂到5×10-5，繼續(xù)增加一次迭代誤差收斂到1.5×10-7，此外，當(dāng)前集合中正交的量測數(shù)據(jù)數(shù)量已經(jīng)達(dá)到118。由于118 節(jié)點系統(tǒng)的雅可比矩陣階數(shù)不超過118，因此繼續(xù)增加迭代次數(shù)失去必要性。從迭代次數(shù)可見本文所提算法對于大規(guī)模電力系統(tǒng)拓?fù)渚哂辛己玫倪m應(yīng)性。

最后，有必要指出本文所提算法從矩陣行空間的角度進(jìn)行迭代，迭代次數(shù)不超過矩陣的行數(shù)，而以文獻(xiàn)[6]為代表的算法需將Gram 矩陣或增益矩陣進(jìn)行多次矩陣分解，每一次分解都需要將矩陣中的每一行進(jìn)行變換進(jìn)而實現(xiàn)對角化或稀疏化，因此本文所提算法對于行向量的運算次數(shù)最少。

5 結(jié)語

本文提出了一種基于正交分解的狀態(tài)估計可觀性分析方法，該方法屬于直接法，從雅可比矩陣行空間及其正交基的角度，依托投影距離篩選量測數(shù)據(jù)，簡化了可觀性分析的計算過程，便于實際工程應(yīng)用且易于被工程人員掌握。通過算例分析驗證所提方法的有效性。